2024屆蘇州高三年級上冊學業(yè)質量陽光指標調(diào)研卷數(shù)學試題

2023?2024學年第一學期學業(yè)質量陽光指標調(diào)研卷

高三數(shù)學模擬試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合人=仲嗚1｝,8=｛小=2。421則（）

A.=BB,Au8=AC.AC\B=BD.R

2.已知復數(shù)z滿足zi=l+3i（其中i是虛數(shù)單位），貝ijz的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.3知2=（-1,3）,分=（x,2）,若則％=（）

A.4B.--C.|D.-4

33

4.已知A,8是一個隨機試驗中的兩個事件，且P（A）=；,P（B）=；,P⑷8）=：,則P（B|A）=（）

A.-B.|C.-D.-

6336

5.已知公比不為1的等比數(shù)列｛〃,｝的前〃項和為S“，也r/eN*,記P：S,“,S,,S,為等差數(shù)列；q：對任意

自然數(shù)猊4“,。,，。"為等差數(shù)歹U，則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.在平面直角坐標系xOy中，設a,￡都是銳角，若a,￡,a+〃的始邊都與x軸的非負半軸重合，終邊分

別與圓f+y2=1交于點（%,%）,（%,%），（思，為），且滿足%=%%，則當夕最大時，tan24的值為（）

A.V2B.迪C.正D.—

728

7.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，直線x=?iy+l與C交于A,B兩點，與其準線交于點。，若

/=而，則|8用=（）

14

A.—B.1C.—D.4

33

8.已知函數(shù)〃x）=e'-',過點3〃）作了（x）的切線/,若〃=加+］（g1）,則直線/的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

.已知一組樣本數(shù)據(jù)X],9,…，無”為不全相等的"個正數(shù)，其中“24,若由％=34-2住=1,2,…⑼生成

一組新的數(shù)據(jù)則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中可能相等的量有（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標準差

10.已知圓O:f+y2=4,過點尸（1,拒）作兩條互相垂直的弦貝U（）

A.弦A8長的最小值為1B.四邊形ACBO的面積的最大值為5

C.弦AC長的最大值為君+百D.|AB|+|CD|的最大值為2而

11.關于函數(shù)/（X）=2COS2（0X+9）+1（0>O,O<"<7T）有下列4個結論：

①函數(shù)"X）的最小正周期為兀；②函數(shù)“X）的圖象經(jīng)過點

③函數(shù)“X）的圖象關于點2）對稱；④函數(shù)“X）的圖象關于直線x=-聿對稱

若這4個結論中恰有3個是正確的，則這3個結論的序號可以是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

12.下列物體，能夠被半徑為2m的球體完全容納的有（）

A.所有棱長均為3m的四面體B.底面棱長為1m,高為3.6m的正六棱錐

C.底面直徑為1.6m,高為3.8cm的圓柱D.上、下底面的邊長分別為Im,2m,高為3m的正四棱

臺

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（Y+1）（工-1），的展開式的常數(shù)項為.

X

14.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點

4（%,%）,8（尤2，%）的“曼哈頓距離”為〃（4,8）=|再-司+|%-%|，已知動點N在圓。+/=9上,定點

M（3,4）,則M,N兩點的“曼哈頓距離”的最大值為.

15.定義在R上的可導函數(shù)滿足：①/⑵=0；②值域為[-1』；③對任意xeR,有

〃x）+〃x+2）=0及廣（同=廣（4-x）,請寫出同時滿足上述所有條件的一個函數(shù)解析式：

f（x）=-

16.已知雙曲線C的離心率為e,左、右焦點分別為耳，入，點M在C的左支上運動且不與頂點重合，

記/為口叫區(qū)的內(nèi)心，％=%等，若ee[2,4],則彳的取值范圍為____.

tan2//2尸1

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且＞=。-2法0$4.

⑴求證：A=2B；⑵若DABC的面積為15萬，且2a=3b,求b.

18.已知數(shù)列｛外,｝滿足弓=g,%=,，且數(shù)列｛3"為｝是等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛凡｝的前幾項和S..

19.如圖所示，四邊形ABCO為圓柱ST的軸截面，點尸為圓弧BC上一點(點尸異于8,C).

(1)證明：平面E43_L平面B4C；

(2)若AB=BP=2PC=6,AM-2AC(0<2<1)且二面角P——C的

余弦值為巫，求九的值.

5

20.某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的“九23)位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每

位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，

這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第

2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第n-l位員工再從第n-l個暗

盒里面取出1個球并放入第〃個暗盒里.第〃位員工從第〃個暗盒中取出1個球，游戲結束.若某員工取出的

球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設第i(l4區(qū)〃)位員工獲得獎金為X,

元.

⑴求X?=1000的概率；

(2)求X,的數(shù)學期望E(XJ,并指出第幾位員工獲得獎金額的數(shù)學期望最大.

21.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*+以？，aeR.

⑴討論Ax)的單調(diào)性；

⑵當時，若"X)的極小值點為升,證明：/(X)存在唯一的零點七，且占-%2ln2.

22.設函數(shù)〃x)=Mx-l)e'+x,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，keR

⑴若“X)為R上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍；

⑵討論的零點的個數(shù).

.設雙曲線C:1-，=l(a>0,b>0)的離心率為6,且頂點到漸近線的距離為孚.已知直線/過點

(0,-1),直線/與雙曲線C的左，右兩支的交點分別為M,N,直線/與雙曲線C的漸近線的交點為P,Q,

其中點。在y軸的右側.設口OMPIOPQ口。QN的面積分別是工,$2,$3.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵求m不的取值范圍.

24.在平面直角坐標系xOy中，點A,B的坐標分別為(0,1)和(0,-1),設口的面積為S,內(nèi)切圓半

q

徑為乙當2=3時，記頂點M的軌跡為曲線C.

r

(1)求C的方程；

(2)已知點E,F,P,。在C上，且直線E尸與PQ相交于點A,記EF,PQ的斜率分別為左，k2.

⑴設防的中點為G,尸。的中點為H,證明：存在唯一常數(shù)2,使得當發(fā)他=2時，OG1OH；

k4

(ii)若寸=耳，當II所l-IPQII最大時，求四邊形砂股的面積.

蘇州市2023?2024學年第一學期學業(yè)質量陽光指標調(diào)研卷

高三數(shù)學模擬試卷參考答案

1【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出集合A,由指數(shù)函數(shù)的性質求出集合8,即可得到即可得解.

【詳解】由logzXVl,則log?xWlog22,所以0<xW2,

所以A={x|log2X<l}={x[0<x<2},又3=卜卜=2￡,%42}={引0<”4},

所以則=AnB=A.故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則即可求出結果.

【詳解】因為zi=l+3i,所以z=葉包=3-i,得到復數(shù)z的虛部為T,

1

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)向量垂直結合數(shù)量積的運算律，利用模的坐標表示以及數(shù)量積的坐標表示，即可求得答案.

【詳解】由題意得以=o,；*2-商z=o,

即10-(-x+6)=0,

x=-4f

故選：D.

4.D

【分析】由條件概率計算公式直接計算即可.

j_

6,

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)條件得出命題夕應均等價于%再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，即可得出

結果.

【詳解】因為命題。:黑成等差數(shù)列，所以2S,=鼠+S,,又數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，且公比不為1,

所以2x"1(1一力=%(]—/"')+"1(1-力

整理得到2q，=d"+q',

l-q\-q\-q

又命題q:am+k,ar+k,a,+k成等差數(shù)列，所以2ar+k=am+k+at+k,即2%尸=%產(chǎn)+而叱整理得到

。2qJ~q+.qt,

所以p是4的充要條件,

故選：C.

6.B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，由%=%W，有sinQ=sinecos(e+〃)，利用兩角差的正弦公式化簡得

tan(a+^)=2tana,由兩角差的正切公式結合基本不等式求tan用的最大值，再由倍角公式求tan2夕的值.

【詳解】由必=yxx3,有sin￡=sinacos(a+夕)，即sin[(a+/?)-a]=sinacos(a+〃),

則有sin(a+p)cosa=2sinacos(a+p),得tan(a+0=2tana,

‘a(chǎn)加阿(……卜―，推=字，當且僅當協(xié)考時等號成立,

尸是銳角，所以當尸最大時,

V2

2tan夕V4V2

貝！Jtan2尸=

1-tan2^

故選：B.

7.C

[分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程可得%+%=4/+2,由通=而可求得A(3,2],將A[3,21代入拋物

線的方程可得蘇=g,結合題意即可求出比2=g，再由拋物線的定義即可得出答案.

【詳解】C:f=4x的焦點為“1,0),準線方程為：尤=-1,

由題，顯然〃-0,令直線了="，+1中x=-l,則y=-2,所以。1一1,-21,

mkm)

設A(/f),、5(/”)、聯(lián)立I『x=m為y+消1心

得y2-4加＞一4=0,方程＞2—4沖一4=0的判另1」式八=16m2+16＞0,

%+%=4m,x%=-4，

所以石+/=加(％+%)+2=4m2+2,

由衣=而可得：％=2,石=3,所以A(3,2],

m\mJ

因為A(3,Z]在CB=4X上，所以3=12,解得：病=：,

VmJm3

以西+%2=3+%—4m2+2―以％2二§，

由拋物線的定義可得：\BF\=X2+1=^.

8.C

2

【分析】先得到〃x）=e=］在（0,1）處的切線方程為y=x+i,點（八〃）一定不在“X）上，y=x+i一定為

過（八〃）的一條切線，再設切點坐標為-0，蟆-毛）/力°，得到切線方程，將（犯加+1）代入，化簡得到

爐

（%-1戶一1+1,廝彳0,構造函數(shù)，求導，得到其單調(diào)性，從而得到除y=x+l外，過點（皿”）作

III一

e聞_XQ_1

/（九）的切線還有一條，得到答案.

【詳解】f\x）=Qx-x,令q（x）=e-x,則/（x）=e"-l,

當x＞0時，0（%）＞0,夕（力單調(diào)遞增,當兀＜0時，當力＜0,q（x）單調(diào)遞減，

＜7（%）＞^（0）=1,故〃x）=e-1在R上單調(diào)遞增，

2

又"0）=1，/⑼=1，故〃x）=e-q■在（0,1）處的切線方程為y=x+l,

點（丸〃）在y=x+l上,

故=上只有點（。,1）滿足〃=w+l,

又因為所以機*0,故點O，"）一定不在“X）上，

且y=x+l一定為過（加,〃）的一條切線，

設切點為，C。干，廝他則切線/的斜率為ef,

故切線方程為y-卜。-段|=卜'。7o）（x-xo）,

因為（九7〃+1）在切線上，故根+1-卜&-1=（薩-%）（加-%），

2

整理得（e陽一/_1）根=（/_1）6%一￡+1,

由q（x）2q（O）=l可知，e&-Xo-l>O恒成立，

故.廠舊一1修‘-1+1,無(產(chǎn)0,

e'°—XQ—1

令（、（xT）e，-1+l

,x。0,

(xe*-x)(e"-％-1)-(x-l)ex-

則w'(x)=

—(e^-x-1)2

令g(x)=e"一(I,則g'(x)=e-x-l>。在(田,0)U(0,+8)上恒成立,

故8(k=/-97-1在(-鞏0),(。,+4上單調(diào)遞增,

又g(O)=O,當x>0時，g(x)〉0,當xvO時，g(x)<0,

又x>0時，e”-l〉0,xvO時，e"-l<0,

XX2

故M（x）〉0恒成立，卬晨）二上藝工2在（-8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞增,

叫叼——ex-x-li

故"?=（%Te”-首+1,%WO只有1個根，

1

e**-x0-1

即除y=x+l外，過點（見力作”x）的切線還有一條，共2條.

故選：C

【點睛】應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）已知切點求斜率h即求該點處的導數(shù)%=/'（x。）；

⑵己知斜率k求切點A（%J（xj）,即解方程尸（占）=%；

⑶已知切線過某點（不是切點）求切點，設出切點利用

左」（西）-/。）=解.

\~x0

9.BC

【分析】利用極差的定義可判斷A；利用特殊值可判斷BC；利用標準差的定義可判斷D.

【詳解】對于A,因為樣本數(shù)據(jù)%,9，…,土為不全相等的"個正數(shù)，所以極差大于0，

所以由％=34-2（左=1,2,…生成一組新的為的極差是不極差的3倍，故A錯誤；

對于B,設了為再,馬，…，%的平均數(shù)，9為%,%，…，%的平均數(shù)，可得y=3元-2,

當牙=1時，可得了=1,故B正確；

對于C,當力為正奇數(shù)時，設樣本數(shù)據(jù)占,超，…，%的中位數(shù)為4，

則數(shù)據(jù)認，%，…，”的中位數(shù)％=3々-2,當4=1時，%=34-2=1,故C正確；

對于D,名為工,馬,…,Z的標準差，因為樣本數(shù)據(jù)占,可,為不全相等的幾個正數(shù),

所以A*。，設52為無，的標準差，可得歹=3元-2,

（乂-丹+（%-5）~+…+（%-歹）-=（（占一元）-+9（2一丁）一+—.+9（＞一?。?=飛,故口錯誤.

n\n1

故選：BC.

10.BCD

【分析】當A3,尸。時弦48長的最小，計算結果判斷A選項；。到的距離為4，。到。的距離么,則

d；+d；=3,四邊形ACBD的面積S=JJ-2也一片.2/,利用基本不等式求最大值判斷B

選項；|AC「=|PA「+|PC「=4/（4-42）+844"?5/^二十+442（4-4）利用配方法和基本不等式求最

大值判斷C選項；|AB\+\CD\=2+274^,利用基本不等式求最大值判斷D選項.

【詳解】\PO\=y/3,當AB,尸。時，弦AB長的最小，最小值為|4向=2耳與=2,A選項錯誤；

。至UAB的距離為4,。至I]8的距離4,貝ljd；+成=3,

四邊形AC8O的面積的最大值為5,B選項正確；

AB+CD=2個4-4+,

（|AB|+|CD|）2=32一4（“：+4）+8/6_4（d；+d；）+d；d；=20+85+“：因<20+8x|=40,

當且僅當4=4=暫時等號成立，則|AB|+|cq的最大值為2瓦，D選項正確；

lACl=\PA\+\PC\=[4+^-+4+^-J

=d；+d?A3+4—d；+d；+d、CD+4—d；=8+&|+41cq,

222

（J2AB+4CD）=dl|AB|+ldxd2\AB\?|C￡）|+d.|CD|

=4遙（4-d；）+84d21"d；也_/+4d：（4-d；）

=4（3-d；）（4—d；）+844J]6-4（d：+d；）+d；d；+4d：（1+d；）

=(—d+d)+ddyj+dd

</—J+—+(d+d)d+1^^)v，

當且僅當4=4=監(jiān)時等號成立，

則348+2厲=(6+a2,AC4石+百，C選項正確.

故選：BCD.

11.AB

【分析】利用二倍角降募公式結合余弦函數(shù)的圖象與性質一一分析即可.

尤+夕)+

【詳解】/(x)=2cos2(01=2xg[l+cos(2<wx+2e)]+l=cos(2tyx+2p)+2

2兀

①正確,貝[|——=71,/.a)=l,f(x)=cos(2x+2。)+2；

2co

②正確,則cos2e=1,因為0<9<兀，則2夕e(O,2兀)，則20=:或"，則夕或學；

23366

SirJTJTTTT

③正確，則2啰---+2。=—+E,/.一。+20=—+wZ；

12262

，兀、兀

0)正確,貝1——I+2^?—k^Ji,—~co~\~2^7—k^n,GZ

57r

若①②③正確,則啰=1,。=④不成立，滿足條件，A要選;

6

TT

若①②④正確，則。=1,夕=/，③不成立，滿足條件，B要選;

6

則魯'私〃"不可能成立，不選.

若①③④正確,rTC

niI(5兀兀)2〃+1-3(2〃+1)2〃+1兀7

若②③④正確,貝I]-----10)=-------71,幾￡Z,G)=-------------,----------71H=匕兀

A63J27731

P，2n+l5兀7

或-------兀+——二匕兀，D不可能,

73

故選：AB.

12.ABD

【分析】求出正四面體外接球的半徑，將此半徑與所給球的半徑比較大小即可判斷A；可假設正六棱錐的

外接球半徑為2m,底面棱長為1m,求出此時正六棱錐的高，將求出的高與所給高進行比較可判斷B；求

出底面直徑為1.6m,高為3.8cm的圓柱外接球的半徑可判斷C；求出上、下底面的邊長分別為Im,2m,外

接球的半徑為2cm正四棱臺的高可判斷D.

【詳解】對于A,設所有棱長均為3m的四面體ABC。的外接球的球心為。，頂點在底面的射影為E,

外接球的半徑為mi,貝l」CE=gxtx3=6m,AE=AC1-CE2=A/9-3=V6m>

因為CG>2=CE2+O爐，所以產(chǎn)=3+("-)，解得一苧<2,故A正確；

對于B,底面棱長為1m的正六棱錐的底面外接圓的半徑為1m,

并設此時的外接球的半徑為2m設球心到底面的距離為,

則由球的性質可知22=1?+/,解得人=6或人=-6（舍去），

此時正六棱錐的高的最大值為2+力=2+君23.732>3.6,故B正確;

對于C,圓柱的底面半徑為0.8m,高的一半為1.9m,設其外接球的半徑為Rm,

所以R=40.82+L92="^>2,故C錯誤;

對于D,正四棱臺中，上底面的對角線長為血m，上底面外接圓的半徑長為停m,

下底面的對角線長為20m，下底面外接圓的半徑長為亞m，

易知外接球的球心在正四棱臺的上、下底面中心的連線上，且在上底面的下方,

設球心到上底面的距離為dm(d<3),球的半徑為/m,

當球心在兩底面之間時，球心到下底面的距離為(3-d)m,

、2

(6

d~+=產(chǎn)

則2J,解得d=L75<3,符合題意;

2

(3-d『+(何=r.2

球心到下底面的距離為(d-3)m(d>3),

不符合題意,

【點睛】思路點睛：本題解題的思路是利用空間幾何體的結構特征、外接球結合每個選項的條件，逐一對

各個選項分析判斷.

13.-11

【分析】把4-1)5按照二項式定理展開，可得(Y+1)(工-1)5的展開式的常數(shù)項.

%X

【詳解】由于(/+1)(!-1)5=(/+1)(二一3+與一與+*一1),

XXXXXX

故展開式的常數(shù)項為=

故答案為：-11.

.7+372

【分析】設點N(3cosO,3sinO),根據(jù)曼哈頓距離公式結合三角函數(shù)的性質即可得出答案.

【詳解】由題意，設點N(3cos6,3sinO),則兩點的曼哈頓距離為

^=|3-3cos0|+|4-3sin6?|=3-3cos6i+4-3sin6>=7-3V2sin^+^<7+3V2,

3兀

當且僅當。=-3+2配，上eZ時等號成立，

4

所以M,N兩點的曼哈頓距離最大值為7+3行.

故答案為：7+30.

TT

15.sin—x(答案不唯一)

【分析】根據(jù)/(%)的值域為[T1],設〃%)=sin(s+。)，再由“[+〃?2)=0得到八％)的周期為4,從

而〃x)=sin，x+\,再由/(2)=5皿(兀+0)=。求解.

【詳解】解：因為〃x)的值域為[-1』，所以可設“x)=sin(s+9),

又〃x)+〃x+2)=0,則〃x+2)=-〃x),

所以〃x+4)=-〃x+2)=〃x),則〃x)的周期為4,

所以G=則/(x)=sinqx+"J,

2

又/(2)=sin(兀+0)=0,則兀+夕=kn,keZ,取*=0,

JT

所以/(x)=sin,x,

則/'(x)=；cos；x,

jr71

又廣(4-尤)=5cos-=-cos271--X=—cos—x=fr(x)

2222v7

即滿足了'(%)=/(4-%),

/(x)=sin^x.

故答案為：sin］尤

16.?3

【分析】過/作直線畫，MF2,月外的垂線，垂足分別為A,8,。，根據(jù)角平分線性質及雙曲線定義求

2

得|耳D|二c-〃，\FD\=a+c,即可求解4=1+一,利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.

2e-\

【詳解】設雙曲線C的方程為C：W-1=Ka>0,b>0),過/作直線兩，MF2,耳耳的垂線,

ab

垂足分別為A,B,D,如圖：

因為/為口加打外的內(nèi)心，

由角平分線的性質可知1=1M31,\FiA\=\F1D\,\F2D\=\F2B\,

所以|叫|一|町|=|"2|+|瑪8|-|肱4|-|44|=趨。1一14。1=2。，

因為|可瑞|=2c,所以|￡￡>|=c-a,|F2D|=a+c,

\ID\

士生工比21=坨

77

tanN/鳥耳”0\FXD\c-ae-1e—l'

\F2D\

顯然2關于e單調(diào)遞減，由ee[2,4]易知實數(shù)彳的取值范圍為1,3

故答案為：|,3

17.（1）證明見解析

⑵b=8

【分析】（1）方法一：利用余弦定理化角為邊，再結合余弦定理及二倍角的余弦公式即可得解；

方法二：利用正弦定理化邊為角，再結合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可得解；

（2）方法一：由（1）結合余弦定理及平方關系求出sinC,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

方法二：利用正弦定理結合（1）中結論求出sinB,再根據(jù)A=2B求出sinA,根據(jù)三角形的面積公式即可

得解.

【詳解】（1）證明:(方法一)由余弦定理，得cosA="^-

2bc

.b2+c2—a2_c-b

又?：b=c-2Z?cosA

**2bc一~^~'

??/=b+be，

..”a1+C1-b1c2+bcc+ba

?cosB=--------------=---------=------=——

24clac2a2b

COS2B=2COS2B-1=2.[^]T=^~bc-b1_c-b

2b2~~W

cosA=cos2B,

又?.?4匹(0,兀)，AA=2B；

/、、，、.Fr、-e，sinC-sinB

(萬法二)由正弦定理，得cosA=二

2sinB

sinC=2cosAsinB+sinB,

,:A,B,。為△ABC的內(nèi)角，AA+B+C=n,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

:.sinAcosB-cosAsinB=sin5,

即sin(A-B)=sinB,

XVA,Be(0,ir),：.A=2B；

(2)(方法一)由(1)可知—

*.*2a=3b,f—=b2+be,BPc=—/?,

⑴4

22

+/_5b

9

cosC=￡l±^z

2ab23b.b16

2

VCe(0,7i),AsinC>0sinC=Vl-cos2C=亞

16

,,S0e=-^sinC=--—=1577,

AB22216

Z?=8.

abab

（方法二）由正弦定理，得,即

sinAsinB2sinBcosBsinB

.,*cosB=—,又2a-3b,cosB=—,

2b4

sinB=Jl-cos.B=,

4

]3Fl

cosA=cos2B=2cos2B-l=—,/.sinA=—,

88

5^/y

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

,,SQABC-afesinC=-—=1577,

22216

.*./?=8.

2n-l

18.⑴%=

3n

(2電=1-祟

【分析】（1）由數(shù)列｛3"%,｝是等差數(shù)列,結合等差數(shù)列性質計算即可得;

（2）利用錯位相減法求和即可得.

【詳解】（1）???｛3"%｝是等差數(shù)列，記其公差為d,

27x--1

則有33%-3%

Cl-—27—=2'

22

3"4〃=1+2(〃-1)=2n—l,

2n-l

1352n-32n-l

(2)S,H---------

§+—+...+3“T3〃

.1132〃一52〃-32n-l

則no/=門+…+―+丁+尸'

1222

則—I——H—T+???H------

2332333"

22及+2

19.【答案】（1）證明見解析

C2

（2）2=—

3

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及線面垂直的性質得出：PC1PB,AB1PC；再根據(jù)線

面垂直的判定定理證得：尸（71_平面以8；最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.

（2）先建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，依據(jù)向量共線求出點z0）；再求出平面尸與平

面BMC的法向量；最后根據(jù)面面所成角的向量計算方法即可求解.

【小問1詳解】

證明：P為圓弧BC上一點，BC為圓S直徑，PCLP3,

;在圓柱ST中，431平面8。尸，「。匚平面8。尸，AABLPC,

:PBcAB=B,PBu平面氏8,平面P4B,

PC_L平面E4B,：PCu平面陰C,

平面PA3,平面PAC.

【小問2詳解】

以點8為坐標原點，BC、所在直線分別為》軸、z軸，在平面BCP以過點8且垂直于的直線為尤

軸、建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為卜忸P|=2|PC|=6,

31

則忸q=J忸呼+|c呼=A/62+32=375，sinZPBC=^

3V5

所以8(0,0,0),4(0,0,6),C(0,375,0),P(6sinZPBC,6cosZPBC,0)，即尸Allo

56

設M(%o，%，Zo)，由葡=4元得：(x(),%,Zo—6)=4(0,36,—6b

%o=°

即<%=3A/52,BP=BM=

ZQ—6—6X

設平面PBM的一個法向量〃i=(x1,y1,z1),

612.廣、

.一丁+忑”，令必=-1,得成=2,-1,后

3辰％+(6—62)4=0I("

：彳軸，平面BMC,

平面BMC的一個法向量后=(1,0,0),

2V10

二=----2

5225，解得：A=—.

5+-------73

4(1-2)

【分析】(1)首先要理解X?=1000包含兩類情況，分別運用獨立事件的概率乘法公式計算即得;

(2)弄清第，+1位員工取出紅球的概率4M與第i位員工取出紅球的概率弓的關系式，從而構建一個等比數(shù)

列1金-|1,求出其通項，列出分布列，計算數(shù)學期望即得.

【詳解】(1)兀=1000的情形為第2位員工從第2個盒子中摸出紅球，包括兩種情況：

①第1位員工從從第1個盒子中摸出紅球放入第2個盒子后第2位員工摸出紅球；

②第1位員工從從第1個盒子中摸出白球放入第2個盒子后第2位員工摸出紅球.

、.331111

故X2=1000的概率為：P(X=1000)=-x-+-x-=—.

2444216

31ii

(2)設第i位員工取出紅球的概率為片.則有以］=-^+-(1-^)=-^+-,

即：4M一1且片=』，片一2=-1/0

34V3J14312

故I月-g1組成首項為4,公比為:的等比數(shù)列.

??斤

第i位員工取出白球的概率為1-邛=:-1\］.

易知X的所有可能取值為1000,500,則X的分布列如下:

顯然E(XJ關于i單調(diào)遞減，.?.第1位員工獲得獎金額的數(shù)學期望最大.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查獨立事件的概率乘法公式和隨機變量的分布列和數(shù)學期望.其中在求解

E(X,)時，關鍵在于要推理分析出第，+1位員工取出紅球的概率匕?與第i位員工取出紅球的概率，的關系

式，再借助于數(shù)列遞推式推導出￡的通項公式，為后續(xù)列出分布列，求數(shù)學期望奠定基礎.

21.(1)答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)求得/'(x)=xe"+2ox=x(e*+2a),分類討論和-；<a<0,分析函數(shù)

/'(X)的正負，即可得出答案；

(2)由題意先表示出無1-尤o=21nXi-ln(2%-2),再令8(?=2111”111(2工-2),利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單

調(diào)性，可得g(x)有最小值g(2)=ln2,即可證明再-無021n2.

［詳解］(1)f\x)=xex+2ax=x(ex+2a),

若。20,由6*+24>0,則X￡(0,+oo)時，fr(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

X￡(—oo,0)時，f(x)<0,/(九)單調(diào)遞減；

a<時，令f'M=0,得*=0或％=ln(-2a),

若貝口€(-00,0)或苫€(111(-2。),+8)時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增；xe(0,ln(-2a))時，f(x)<0,

單調(diào)遞減；

若。=-1,則7(x)20在R上恒成立，"X)在R上單調(diào)遞增；

若-工<a<0,則xe(-oo,ln(-2a))或尤e(0,+co)時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；xe(ln(-2a),0)時，

2

/,?<0,單調(diào)遞減.

綜上，當a20時，在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-%。)上單調(diào)遞減；

當。<-)時，Ax)在(-甩0),(ln(-2a),+s)上單調(diào)遞增，在(0,ln(-2a))上單調(diào)遞減；

當a=-5時，/(X)在R上單調(diào)遞增；

當時，Ax)在(-8,ln(-2a)),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減.

2

(2)由(1)知，時，/(X)在(-8,0),(ln(-2a),+co)上單調(diào)遞增；

在(0,ln(-2a))上單調(diào)遞減，則以x)的極小值點為％=In(-2a),

由極大值/(。)=-1<0,/⑴="<0且當》趨近正無窮時，Ax)趨近正無窮，

"X)存在唯一的零點再>1,滿足/(xj=。-1)爐+◎:=0,

化簡得，2(再-l)e*=-2叫2,

ln(2x,-2)+Xj=ln(-2?)+21nXj,即ln(-2?)=ln(2%—2)+%—21n石,

xx-xQ=xx-ln(-2a)=21nXj-ln(2%-2),

設gCr)=21nx-ln(2x-2),x>\,

,(、_21x-2

g⑴丁

當xe(2,+8)時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

xe(l,2)時，g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

從而當x=2時，g(x)有最小值g(2)=ln2,

綜上所述，Ax)存在唯一的零點X1,且%-%21n2.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖

象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形

結合思想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由"X)=0分離變量得出。=g(x),將問題等價轉化為直線>與函數(shù)y=g(x)的圖

象的交點問題.

22.(l)[O,e]

(2)答案見解析

【分析】(1)依題需使r(x)z。在R上恒成立，接著對左的取值分類討論，確保條件滿足即得上的取值范

圍；

(2)借助于一階、二階導數(shù)，就上的取值范圍分類進行分析、討論函數(shù)/(x)的零點情況.

【詳解】(1)因/(切為R上的單調(diào)增函數(shù)，故/(%)=^d+120對VxeR恒成立，

①當上=0時，顯然符合；

②當左<0時，當Xf+8時，/不合題意，舍去；

③當%>0時，令g(x)=公;e*+l,g〈x)=Mx+l)e*,則當x<-l時，g'(x)<0,當x>-l時，g'(x)>0,

故g(x)在(-°°,T)上遞減,在(-L+8)上遞增,則g(x)1nto=g(T)=-"+l，

e

依題意，需使---H1>0,即上Ve,故得：0<k<e.

e

綜上：實數(shù)上的取值范圍為[0,e].

(2)/'(x)=fed+1,/"(x)=k(x+l)e*

①當上=。時，”x)=x有且僅有一個零點尤=0；

②當左>0時，若無<0,則〃x)<0J(x)無零點，當x>0時，尸(外>0,〃尤)遞增，注意到

/(0)=-^<0,/(1)=1>0,

由零點存在定理，“X)在(0,1)上有唯一的零點；

③當％<0時，令廣(x)=0nx=-l,當x<-l時，r(x)>0,當x>-l時，r(x)<0,

故尸(x)在上遞增，在(T+8)上遞減，

X<時，((x)>0,x>0時，/⑺遞減，注意到r(O)=l>OJ［一￡|=_5%+1<0,

則廣(x)在(0,-￡|上有唯一的零點』,且當x<x°時，/(x)>0J(x)遞增；當x>x0時，/'(x)<0,

遞減，

注意到/仕)=H(0l)e*+l］〈O，〃O)=_Qoj(l_；］=_eK+l_J<O,

一kKJK

:./(x)在化0)和(0』-J上各有一個零點斗,x2,

綜上：當左<0時，〃x)有兩個零點；當％20時，