山東泰安知行學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

山東泰安知行學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．邊長(zhǎng)為1的正方形上有一動(dòng)點(diǎn)，則向量的范圍是（）A． B． C． D．2．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．3．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A． B． C． D．4．在空間中，給出下列說(shuō)法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過(guò)平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③5．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．48．三棱錐中，平面且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．9．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．10．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則____．12．如圖是一正方體的表面展開(kāi)圖.、、都是所在棱的中點(diǎn).則在原正方體中：①與異面；②平面；③平面平面；④與平面形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號(hào)是______.13．已知為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，，則{an}的首項(xiàng)的所有可能值為_(kāi)_____14．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則該扇形的面積為_(kāi)______.15．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式______．16．已知，向量的夾角為，則的最大值為_(kāi)____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線過(guò)點(diǎn)，已知米，米.（1）要使矩形的面積大于64平方米，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，矩形花壇的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?18．在中，角所對(duì)的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．19．在等比數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，∴，當(dāng)在邊或上時(shí)，，所以，當(dāng)在邊上時(shí)，，，當(dāng)在邊上時(shí)，，，∴的取值范圍是．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，通過(guò)建立坐標(biāo)系，把向量和數(shù)量積用坐標(biāo)表示，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．2、A【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A．3、B【解析】

已知兩角及一對(duì)邊，求另一邊，我們只需利用正弦定理.【詳解】在三角形中由正弦定理公式:，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題直接屬于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

說(shuō)法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說(shuō)法④：可以通過(guò)反證法進(jìn)行判斷.【詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.5、D【解析】

首先確定題中，，的取值范圍，再根據(jù)大小排序即可.【詳解】由題知，，，，所以排序得到.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較指數(shù)對(duì)數(shù)的大小問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

試題分析：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個(gè)平面，所以A不正確；兩個(gè)相交平面內(nèi)的直線也可以平行，所以B不正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正確；根據(jù)面面垂直的判定定理知C正確.考點(diǎn)：空間直線、平面間的位置關(guān)系.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、A【解析】

由得，根據(jù)向量的運(yùn)算和兩點(diǎn)間的距離公式，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設(shè)，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M(jìn)在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，以及點(diǎn)圓的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．8、C【解析】根據(jù)已知中底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．9、C【解析】分析：先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.10、D【解析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時(shí)取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出的值.【詳解】如下圖所示，由切線長(zhǎng)定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動(dòng)點(diǎn)的位置，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由于，則，然后將代入中，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.12、①②④【解析】

將正方體的表面展開(kāi)圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關(guān)系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)條件將正方體進(jìn)行還原如下圖所示：對(duì)于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對(duì)于命題②，、分別為所在棱的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對(duì)于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對(duì)于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯(cuò)誤.故答案為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關(guān)系的判斷以及線面角、二面角的計(jì)算，判斷時(shí)要從空間中有關(guān)線線、線面、面面關(guān)系的平行或垂直的判定或性質(zhì)定理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，在計(jì)算空間角時(shí)，則應(yīng)利用空間角的定義來(lái)求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.13、【解析】

根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，利用式相加，得到，進(jìn)而得到，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，將以上各式相加，得，又，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式應(yīng)用，其中解答中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)的方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14、【解析】

用弧度制表示出圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形的面積.【詳解】圓心角為對(duì)應(yīng)的弧度為，所以扇形的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)圖象的最高點(diǎn)得到，由圖象得到，故得，然后通過(guò)代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)或運(yùn)用“五點(diǎn)法”得到，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．【詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【點(diǎn)睛】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進(jìn)而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運(yùn)用代點(diǎn)法求解，通過(guò)把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求出的值；②運(yùn)用“五點(diǎn)法”求解，即由函數(shù)最開(kāi)始與軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為(即令，)確定．16、【解析】

將兩邊平方，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】將兩邊平方并化簡(jiǎn)得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）時(shí)，【解析】

（1）設(shè)，有題知，得到，再計(jì)算矩形的面積，解不等式即可.（2）首先將花壇的面積化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出面積的最小值.【詳解】（1）設(shè)，.因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?即：，解得：.所以，.所以，，解得或.因?yàn)?，所以?所以的長(zhǎng)度范圍是.（2）因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查了函數(shù)模型，第二問(wèn)考查了基本不等式，屬于中檔題.18、（1）或；（2）.【解析】試題分析：（1）利用升冪公式及兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)已知等式，可得，從而得，注意兩解；（2）由，得，利用正弦定理得，從而可變?yōu)椋萌切蔚膬?nèi)角和把此式化為一個(gè)角的函數(shù)，再由兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)三角函數(shù)形式，由的范圍（）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．試題解析：（1）由已知，得，化簡(jiǎn)得，故或；（2）∵，∴，由正弦定理，得，故，∵，所以，，∴．19、（1）（2）【解析】

（1）將已知條件化為和后，聯(lián)立解出和后即可得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋越獾霉实耐?xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，①，②①-②得.所以故.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.20、（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】

(1)利用，時(shí)單獨(dú)討論.求解.

(2)對(duì)時(shí)單獨(dú)討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)從到的和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，即.所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以(2)設(shè)，則..當(dāng)時(shí)，當(dāng)