江蘇省2024屆高三年級上冊期末迎考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省2024屆高三上學(xué)期期末迎考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={20,24},3={20,23},則中合數(shù)的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.已知復(fù)數(shù)2=??&-3i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)()

32

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知函數(shù)/"(x)=cos(x+°J-|^夕，則"y=/(x)為奇函數(shù)”是“0■”的

()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

4.平面上的三個力耳，F(xiàn)2,居作用于同一點，且處于平衡狀態(tài).已知耳=(1,0),園=2,

(耳礙=120。，則園=()

A.1B.1C.V3D.2

6

5.已知卜+三{a>0)的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是()

45_454525

A.B.C.D.

352353353353

6.如圖，函數(shù)/(x)=2ta?i血+：卜。>0)的部分圖象與無軸相交于45兩點，與V軸

JT

相交于點C,且。的面積為彳，則0的值為()

2

2C.3D.4

7.設(shè)數(shù)列{%}滿足2?！?。用+。1("22且〃eN*),S“是數(shù)列{%}的前〃項和，且

試卷第1頁，共4頁

5s7—7$5=35,4=1,貝ij數(shù)歹U^的前2024項和為()

202420255062023

A.------B.------C.------D.------

2025202610134050

2x+3,x<0,__

8.已知函數(shù)/(x)=2n則函數(shù)g(x)=[/(x)T-/[/a)]的所有零點之和為

Ix-2),x>0,

()

A.2B.3C.0D.1

二、多選題

9.已知某地區(qū)秋季的晝夜溫差且p(x>9)=g,該地區(qū)某班級秋季每

天感冒的人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x(℃)的經(jīng)驗回歸方程為y=bx+l,秋季某天該班級感冒

的學(xué)生有9人，其中有4位男生，5位女生，則下列結(jié)論正確的是()

(參考數(shù)據(jù)：y=19,x=")

21

A.若=則P(7<X<9)=正

B.從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中至少有一位女生的概率為=

6

4

C.從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中男生人數(shù)4的期望為:

D.晝夜溫差每提高re,該班級感冒的學(xué)生大約增加2人

10.已知函數(shù)/(x)=(/+ax+b)e[下列結(jié)論正確的是()

A.若函數(shù)“X)無極值點，則“X)沒有零點

B.若函數(shù)/(無)無零點，則/(尤)沒有極值點

C.若函數(shù)/(x)恰有一個零點，則/(x)可能恰有一個極值點

D.若函數(shù)/(x)有兩個零點，則/(x)一定有兩個極值點

11.已知點4,2均在拋物線C:/=x上，點尸(0,3),貝I]()

A.直線以的斜率可能為：

B.線段E4長度的最小值為石

C.若P,A,2三點共線，則存在唯一的點2,使得點/為線段尸2的中點

D.若尸，A,3三點共線，則存在兩個不同的點3,使得點/為線段網(wǎng)的中點

試卷第2頁，共4頁

12.如圖，四棱錐尸-力BCD的底面是梯形，BC//AD,AB=BC=CD=\,AD=2,

PA=PD=亞,平面尸4。，平面力BC。，。，E分別為線段4D,尸/的中點，點。是

底面45CZ）內(nèi)（包括邊界）的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACIBP

B.三棱錐5-49￡外接球的體積為我

4

3

C.異面直線尸C與OE所成角的余弦值為:

4

D.若直線P。與平面/BCD所成的角為60。，則點。的軌跡長度為百兀

三、填空題

13.若圓C與直線標(biāo)-4了-12=0相切，且與圓/-2x+/=o相切于點/（2,0）,寫出

一個符合要求的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:—.

14.計算：4sin40°—tan40°=.

15.與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球.若圓臺的上、下底面

半徑分別為4名，且24+々=2逝，則它的內(nèi)切球的體積的最大值為.

16.反比例函數(shù)”工的圖象是雙曲線（其漸近線分別為x軸和y軸）；同樣的，“對勾函

X

數(shù)"y=蛆+己（">0,〃>0）的圖象也是雙曲線.設(shè)機(jī)=Yi,〃=1,則此“對勾函數(shù)”所對

X34

應(yīng)的雙曲線的焦距為.

四、解答題

17.已知的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=2,2a=6ccosC+c.

（1）求角B的大??；

（2）若麗=皮，|刀用正ACAD=~,求△48C的面積.

6

18.抽屜里裝有5雙型號相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套，

每次使用手套時，從抽屜中隨機(jī)取出1雙（2只都為一次性手套或都為非一次性手套）,

試卷第3頁，共4頁

若取出的是一次性手套，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經(jīng)過

清洗再次放入抽屜中.

(1)求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率；

(2)記取了3次后，取出的一次性手套的雙數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在直三棱柱N8C-44G中，M,N分別為棱N4，的中點，ACVAB,

⑴求證：0^1_1平面。陽汽；

(2)求二面角C-qN-M的正弦值.

20.已知函數(shù)〃x)=e。等.

(1)當(dāng)°=1時，求曲線>=/(》)在點處的切線方程；

(2)若0<a<l,求證：2+lna.

21.已知數(shù)列｛。"｝滿足％=1,且對任意正整數(shù)小，"都有%+“=%+%,+如".

(1)求數(shù)列｛6｝的通項公式；

⑵求數(shù)列的前〃項和S",若存在正整數(shù)上使得2Sk+Sz=0,求左的值；

⑶設(shè)4=2141+，+—L]，1是數(shù)列低｝的前〃項和，求證：/；</；.

22.已知橢圓￡:，+\=1e>6>0),點0(0,-1)和點0[-|,-||在橢圓￡上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)尸是橢圓上一點(異于C,D),直線PC,與x軸分別交于M,N兩點.證明:在x

軸上存在兩點/,B,使得邁?礪是定值，并求此定值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】利用集合的并集運(yùn)算與合數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因為/={20,24},3={20,23},

所以/U8={20,23,24},則/u3中的合數(shù)為20和24.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與乘方運(yùn)算化簡即可.

【詳解】因為小吟一-一圣，

故選：A

3.C

【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和差的余弦公式，求再根據(jù)充分，必要條件

的定義，即可判斷選項.

【詳解】若y=f(X)為奇函數(shù)，貝！|/(x)滿足/(-x)=-/(x),所以cos(-x+°)=-cos(x+p),

貝U有cosxcos9=0,

則cos9=0,因為-■|《夕4(所以0=±：,所以“V=/(x)為奇函數(shù)”是“9=：”的必要不

充分條件.

故選：C

4.C

【分析】首先由R+E+月=6變形，再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】由題意得耳+瓦+瓦=0,所以-耳=耳+瓦，兩邊平方得同=網(wǎng)+*/+后

即同=1+2X1X2X(_￡|+4=3,所以園=6.

故選：C

5.A

答案第1頁，共15頁

【分析】利用二項式定理展開公式，結(jié)合系數(shù)最大列出不等式即可求解.

【詳解】卜+16的展開式的通項為7川=晨13廠（口=晨.小”4,

七?一>（："45

由題可知::，解得

ICl>ClJL

故選：A

6.B

【分析】由三角形面積求得函數(shù)的周期，由周期得參數(shù)值.

7T

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)尤=0時，/⑼=2tan；=2,

JT1TT7T

又?:“BC的面積為5，，S.ABC=-x2x^S=AB=-,

；?函數(shù)/（x）的周期為可得周期7=方=/0=2,

故選：B.

7.C

【分析】由題意易得｛%,｝為等差數(shù)列，遞推得出也為等差數(shù)列，結(jié)合裂項相消法求和

即可.

【詳解】因為2。"=。用+。,1（〃22且〃eN*）,所以數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列,

設(shè)公差為d,

因為S,+

所以區(qū)=%+3”，染L一曳=邑(常數(shù))，

n2n+1n2

則也為等差數(shù)列.

因為5s7-7s5=35,所以之一邑=1,則數(shù)列的公差為:，

75Lnj2

Sw—1n+1〃(幾+1)111

所以％=1+?=彳，所以_-=———

n224S“S,+]("+1)("+2)n+\n+2

所以數(shù)列的前2024項和為

4“用

23+34+45'+20252026—22026~1013

答案第2頁，共15頁

故選：c.

8.D

【分析】令，=/(無)，得到g(。=?-/■(。，令g⑺=0,可得f2=/⑴，列出方程求得f=±1，

得到/(x)=±l,在結(jié)合函數(shù)的解析式，列出方程，即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)g(x)=[〃x)了h"(x)],令f=/(x),則g(/)=r-/(f),

令g?)=0,可得/="/),

當(dāng)f>0時，由r=/。)，可得「="2)2,即-47+4=0,解得f=l；

當(dāng)/<0時，由廠=/(/),可得?=2f+3,即/―2/—3=0,解得/=—1或1=3(舍去)，

所以f=±l,即〃x)=±l,

當(dāng)x>0時，令(尤-2)2=1或(X-2)2=-1(舍去)，解得x=l或x=3；

當(dāng)x<0時，令2x+3=±l,解得x=—l或x=—2,

所以函數(shù)g(x)=[〃x)[一/[/(X)]的零點之和為1+37-2=1.

故選：D.

9.ABD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布、超幾何分布的概率與期望的計算方法，以及線性回歸分析的基本概

念可得到答案.

【詳解】由尸(X>9)=g,可得〃=9,1=9,所以

171

P(7<X<9)=P(9<X<11)=P6>9)-尸“>11)=—父—,故A正確；

C25

因為1一元==，故B正確；

C96

《服從超幾何分布，其中N=9,M=4,n=2,所以￡(/=噂=|,故C錯誤；

因為最=9，亍=19,所以19=4+1，所以石=2，故D正確.

故選：ABD

10.AD

【分析】畫出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項即可.

答案第3頁，共15頁

【詳解】

①②③④

/,（x）=[x2+（a+2）x+?+Z>]eJC,設(shè)g（x）=f+（a+2）x+a+b

若函數(shù)〃x）無極值點則，則A=（a+2）2-4（a+b）40,

此時/-4b+4V0,即/-WWT,所以/'（x）=（/+ax+6）e*>0,沒有零點，如圖①；

若函數(shù)/（X）無零點，貝!J有片一46<0,此時/-46+4<4,

當(dāng)/-46+4>0時，/'（X）先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點，如圖②；

若函數(shù)〃x）恰有一個零點，則/一46=0,

此時°2-46+4=4>0,/''（X）先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖

③；

若函數(shù)/（x）有兩個零點，則/_46>0,此時片-46+4>4>0,/'（x）先正再負(fù)再正，

函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖④；

所以AD正確.

故選：AD.

11.BD

【分析】對A：直接判斷心「=『=￡是否有解；對B：四=加+（3-M丫，用導(dǎo)數(shù)

求最值即可；對CD：根據(jù)A為線段尸B的中點可得2療-12必+9=0,判斷此方程解的個數(shù)即

可.

【詳解】設(shè)/（和弘）,8（電,%），則再=才,％=為.

對于A,假設(shè)直線P/的斜率為，，則心?=J?T0%+3°=°,

由于A=100-120<0,則該方程無解，所以直線P4的斜率不可能為，，故A錯誤；

對于B:平卜加+（3-M丫,記了=.+（3一乂『，則…弁一2（3-必）,

記8（%）=4弁-2（3-乂），貝山'（乂）=12弁+2>0,3/=85）單調(diào)遞增.

答案第4頁，共15頁

由于VI”1=O,因此，當(dāng)必〉1時，/>0/=必4+（3-必）2單調(diào)遞增,

r

當(dāng)必<1時，y<09y=y^+（3-必『單調(diào)遞減，

故當(dāng)必=1時，>=才+（3-必『取最小值5,

因此|尸）=㈠：+（3-乂）的最小值為退,故B正確；

對于C,若R48三點共線，A為線段的中點，貝1]0+尤2=2玉,3+%=2%，

所以9=2&,%=2“一3.

又弁=占4=X2，所以（2乂-3）一=x2=2%=2y；,即2y；-12弘+9=0,

A=144-4X2X9=72>0,故2爐-12必+9=0有兩個不相等的實數(shù)根，

所以滿足條件的點8不唯一，故C錯誤，D正確.

故選：BD

12.AC

【分析】根據(jù)平面平面/SCO,得到R9工平面/BCD,可判斷A,B選項；異面直線

PC與所成角的余弦值在APCD中由余弦定理，可判斷C選項；若直線P。與平面/8CD

所成的角為60。，點。的軌跡為以。為圓心，如為半徑的半圓可判斷D選項.

易證四邊形48co為菱形，所以3O//C,

連接PO,因為PA=PD=6.，所以尸OL4D,

因為平面P4D_L平面/BCD,平面P/Dc平面48co=40,尸Ou平面P/D,

所以尸。工平面48CD,

因為/Cu平面48cD,所以尸O_L/C,

又POCOB=O,所以/C_L平面尸QA又5Pu平面尸。8,所以/C_LAP,故A正確；

易證△/。￡為等腰直角三角形，"05為等邊三角形，且平面P4DL平面/BCD,

所以三棱錐B-AOE外接球的球心為等邊三角形AOB的中心，所以三棱錐B-AOE外接球

答案第5頁，共15頁

的半徑為巨，

3

所以三棱錐3-NOE外接球的體積為憶=&乃x(1)3=9兀,故B錯誤；

3327

因為P0//OE,所以/。尸。為異面直線尸C與OE所成的角(或其補(bǔ)角)，

因為P0=NPD2-0D?=1，所以尸C=,尸。2+。。2=血,

2_|_2—13

在APCD中，由余弦定理，得cosNCPO=2x后x￡="故C正確；

因為尸。，平面ABCD,所以。。為尸。在平面ABCD內(nèi)的射影，

若直線PQ與平面ABCD所成的角為60°,則NPQO=60°,

因為尸。=1,所以0°=立，故點。的軌跡為以。為圓心，心為半徑的半圓,

33

所以點0的軌跡長度為回，故D錯誤.

3

故選：AC.

13.(x+l)2+y2=9(或(x-2]+/=[)

【分析】分兩圓是內(nèi)切和外切兩種情況，結(jié)合點到直線的距離公式運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)圓C的半徑為「，圓心C到直線%-勺-12=0的距離為"，

由題知兩圓心連線過點/(2,0),

2

圓x?-2x+/=o,BP(X-1)+/=1,圓心為(1,0),半徑為1,

故圓C的圓心C在x軸上.

若兩圓內(nèi)切，則C(2T,0),

由題意可得做2一)-4x0-12|」,解得「=3,

5

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x++/=9；

若兩圓外切，則。(2+廠,0),

右的*一,曰|3(2+八—4x0—12|3

由題意可得U——1-------------U「解得"“

5

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

答案第6頁，共15頁

故答案為：（x+l『+/=9（或x-HE2=Q,

【分析】將原式切化弦，進(jìn)而通分并結(jié)合倍角公式化簡，然后再利用兩角和與差的正弦公式

化簡，最后求得答案.

_,?.,ccsin40°4sin40°cos400-sin40°2sin800-sin40°

【詳解】4sm400-tan40°=4sm40°-----------=--------------------------------=-----------------------

cos40°cos40°cos40°

_2sin(120°-40o)-sin40°_2sin120°cos40°-2cos120°sin40°-sin40°

cos40°cos40°

Gcos400+sin40°-sin40°_百

cos40°

故答案為：V3.

【分析】根據(jù)圓臺的軸截面圖，結(jié)合圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征以及基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，畫出截面圖,

可得OXB=BE=rvO2C=CE=r2,貝jJ3C=q+&,

記內(nèi)切球的半徑為幾可知。。2=2尺，

過3作BG_LDC,垂足為G,

貝1JCG=%—八，BG=O]Q=2R,

答案第7頁，共15頁

所以（八+々）2=4廢+化-功二解得4上=4M產(chǎn)j=4,即火W1,

當(dāng)且僅當(dāng)2八=々=0時，等號成立，

44

所以它的內(nèi)切球的體積的最大值為1兀叱=：兀.

4

故答案為：—71.

16.2A/2

【分析】求得雙曲線為卜=立彳+且可得漸近線方程，運(yùn)用對稱性可得實軸所在的直線方

34%

程，與函數(shù)聯(lián)立，求得交點坐標(biāo)，由兩點的距離公式，可得。的值，從而可得瓦。值，即可

得雙曲線的焦距.

【詳解】由題可得雙曲線為y=*x+*,所以漸近線為x=0及y=漸近線夾角為

60°,KiJ-=—

a3

所以，焦點所在的直線方程為歹二6％,

'_A_V6_V6

y->J3x.—.—x——x--------

由,V36，得6%=/■%+》■解得“4廠或，4

y=—x+—34x3V23V2

、34xy--'7~y-

I4I4

所以C=JQ2+62二亞,則焦距為2VL

故答案為：2VL

兀

17.（1）B=-

⑵2百

【分析】（1）利用余弦定理即可求解;

（2）利用正弦定理和面積公式即可求解.

【詳解】（1）因為2〃=6ccosC+c,C=2,所以Q=Z?COSC+1,所以由余弦定理得

7a2+b2-c21

a=b-------------+1,

2ab

答案第8頁，共15頁

所以

所以2〃2=。2+/一+2。，所以。2+。2一/=4。，cossJ+c?"

lac2

又840,兀)，所以5g

7171

(2)設(shè)NDC4=Q,則N/Z)5=a+—,NBAD=—?a.

62

BDAD

BD

在△45。中,由正弦定理有si。即-------=.71.

cosasmj

DC

AD

在△4CD中,由正弦定理有.兀=

sin—sina

6

.Ticosa

因為5D=Z)C,所以6=?兀，BPsinacosa=sin—sin—,

--sin-63

sina3

所以sin2a=".因為aeH，所以2aq或2a4,

2

所以?；?舍去).

63

15

18.(1)—

23

(2)分布列見解析，1.606

【分析】(1)根據(jù)條件概率的計算公式，分別求出對應(yīng)事件的概率，代入計算即可；

(2)根據(jù)題意，計算離散型隨機(jī)變量的概率，得出分布列，計算期望即可.

【詳解】(1)設(shè)“第1次取出的是一次性手套”為事件/,“第2次取出的是非一次性手套”為

事件2，

3177313

貝lJP(5)=x+x=P(^)=JPU)P(SM)=-x-=-,

JJJJ4I\J

所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率為

答案第9頁，共15頁

15

23,

（2）記取出的一次性手套的雙數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

(I]=0.064,尸(X=l)=gx出+|xgxg+1|jxg=0.366,

則P(X=2)=1-0.064-0.366-0.1=0.47,

則X的分布列為：

X0123

p0.0640.3660.470.1

數(shù)學(xué)期望E(X)=0.366+2x0.47+3x0.1=1.606

19.(1)證明見解析

⑵平

【分析】（1）先利用線面垂直證明/8LCN,再利用平行證明CM通過計算長度

利用勾股定理證明CM,由線面垂直判定定理即可證明CM，平面

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求解二面角.

【詳解】（1）在直三棱柱N3C-N4G中，平面N8C,

又4Bu平面ABC,AAX1AB,

又ACCyAAl=A,/C,A4]u平面NCC14,

AB1平面ACQA,.

又。/u平面/CG4，ABLCM.

?：M,N分別為44，臺片的中點，

AMN//AB,：.MN1CM.

/M=4A/=3,AC=AlC1=3,

答案第10頁，共15頁

CM=C、M=V9+9=3yH,

222

：.CM+CXM=18+18=36=CQ,/.CM1CXM,

又；MNcQM=M,TW，GMU平面C|M7V.

/.CM_L平面CXMN.

（2）?.?44，平面/3。，ABIAC,...以A為原點，分別以48,NC,44所在直線為x軸、

y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系/-孫z,如圖.

Ac（o,3,o）,G（0,3,6）,M（0,0,3）,N（4,0,3）,

.,.CQ=（0,0,6）,序=（4,一3,-3）,CM=（0,-3,3）.

設(shè)平面CQN的法向量為3=（x,為z）,

n-CC=0,fz=0,1、

則,，即,；二八可取〃=3,4,0.

H-C\N=0,〔4x-3y-3z=0,''

由（1）知CM_L平面G〃N,

故可取平面的法向量浣=（0,-1,1）.

m-n_（0,-1,1）-（3,4,0）2>/2

MWV2x5

二面角C-GN-M的正弦值為

20.（1）>=（e-l）x+l；（2）證明見解析.

【解析】（1）首先求導(dǎo)得到/（可=/0）,從而得到左=e-l,再利用點斜式求切線

方程即可.

答案第11頁，共15頁

(2)首先求導(dǎo)得到/'(x)=e，-，=Uxe，-L],根據(jù)〉=x，在(0,+向上單調(diào)遞增，且

ye(O,y),且!>1,得到存在唯一x°e(O,+8),使得/*-工=0,再根據(jù)函數(shù)〃x)的

aa

單調(diào)性得到〃x)1nh,,利用基本不等式即可證明/'(x)2馬詈.

【詳解】⑴當(dāng)a=l時，f(x)=ex-\nx=>f(x)=ex—(x>0).

：.k=f'^=e-\,又〃l)=e,

.?./(x)在點A處的切線方程為y-e=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x+l.

(2)〃x)="=>/(%)=ex--=—fxex—\x>0),

aaxx\aJ

易知y=xex在(0,+8)上單調(diào)遞增，且歹￡(0,+8),

又0<。<1=4>1,

a

???存在唯一/e(0,+oo),使得與e與一工二0,即=olnx0=-x0-lntz.

aCIXQ

當(dāng)0<x<x°時,r(x)<0,〃x)為減函數(shù)；

當(dāng)x>Xo時，f^x)>0,/(x)為增函數(shù).

???“XL=，(％)=*一皿=—^

aaxQa

1f.IV[)2+ln〃

N—2IXQxFIn67-------.

a(Vx0J'a

當(dāng)且僅當(dāng)％=',即％=1時，等號成立.

X。

.,.當(dāng)0<a<1時，/(X)>2+>“.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)

鍵為找到導(dǎo)函數(shù)的隱藏零點，屬于中檔題.

21.(1)%=/

(2)2

(3)證明見解析

【分析】⑴令加=1得。用=a“+l+2〃，通過累加的方式即可得解.

答案第12頁，共15頁

(2)首先分類討論結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到S“表達(dá)式，然后對上分類討論列方程求解即

可.

(3)首先將數(shù)列｛〃｝通項公式化簡，通過不等式放縮，然后裂項相消即可求解.

【詳解】(1)由對任意正整數(shù)加，n都有=%+。”+2"〃7,令加=1,可得。"+i=an+1+2",

所以4+1一%=2〃+l.

當(dāng)“22時，a”=%+(a2-4)+(%一%)"I-----(見一an-\)=1+3H------F(2〃-1)=〃2,

當(dāng)〃=1時，4=1,符合上式，所以

(2)由(1)得%=/,當(dāng)〃為偶數(shù)時,

222222

5B=(-1+2)+(-3+4)+---+[-(H-1)+H]=

3+7+11+…

當(dāng)〃為奇數(shù)時，…為偶數(shù)，S“=%+(-」年.

-2

二^,〃為偶數(shù)

綜上所述，Sn=\\

土為奇數(shù)

[2

若k為偶數(shù),則上+1為奇數(shù)，由2'+8華=0,即尸+"m+.+^+1=0,整理得

2

左2一左一2=0,角軍得左二一1(舍去)或左=2;

若左為奇數(shù)，貝北+1為偶數(shù)，由2》+1+產(chǎn)0,即_后2_4+(左+1，+，+1=0,整理得

2

左2一左一2=0,角由得左=一1或左=2,均不合題意，舍去.

綜上，所求左的值為2

(3)由〃=」ln1+上+^—]=Lnj+_1

田21%+J2$M(〃+i)2

J”，(〃+1)，+/+(〃+In2(n+1)2+n2+n2+2n+l

22

=ln\n2(n+l)2=ln\H(H+1)

答案第13頁，共15頁

n2(n+Ip+2n(n+1)+1nR+1-1

=In=In

2

n

1

=In1+

\nw+1

現(xiàn)在我們來證明x>0時，ln(x+l)<x,

令/(x)=ln(x+l),x>0,求導(dǎo)得/[x)=l一占=W>0,

所以/(x)=x—ln(x+l),x〉O單調(diào)遞增，所以/(x)=x—ln(x+l)〉/(0)=0,x>0,

1111

結(jié)合當(dāng)x>0時，ln(x+l)<x,有合=ln1+<

In