2023年黑龍江省高高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

ln(x+l),x>0

1.已知函數(shù)/(x)=h,八，若m<〃,且f(m)=/(n),則〃一加的取值范圍為()

-x+l,x<0

12

A.[3-21n2,2)B.[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

2.已知數(shù)列｛4｝是公比為2的正項等比數(shù)列，若明,、an滿足2%<am<1024%,貝+〃的最小值為()

A.3B.5C.6D.1()

3.函數(shù)/(月=850與8(6=-一攵在[-6,8]上最多有〃個交點，交點分別為(x,y)㈠=1....〃)，則

豆(蒼+%)=()

f=l

A.7B.8C.9D.10

4.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的。勿相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用?！āǖ闹饕猛?，隨機抽取了56290名大學(xué)生進行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計使用。加主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；

②可以估計不足10%的大學(xué)生使用。以主要玩游戲；

③可以估計使用。班主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的；.

其中正確的個數(shù)為()

SS4n般人卿天

[445。I看ILK、新聞、資訊

廠e-I玩游戲

[-0”。-I升視狼、圖片

[精I聽苦樂

[)小—I找附近的人

[:坤)二I找共同興趣的人

A.0B.1C.2D.3

5.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）

-?包中6%

二Yl5歲攀幼京17?

-.>18”右波皇生4%

4H他玳反眄

從配人

fil2^

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶

22

6.已知雙曲線Cx:=v=1（。>0/>0）的左，右焦點分別為片，工，o為坐標原點，P為雙曲線在第一象限上的

ab」

點，直線尸。，P與分別交雙曲線C的左，右支于另一點若歸6|=3歸用，且NgN=60,則雙曲線的離

心率為（）

C2"

B.3

7.已知集合用={劃一14》<5},'=卜|國<2},則Mp|N=()

A.{x|-lKx<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X|0<X<2}

x+y<2

8.若變量乂兒滿足，2x-3y<9,則f+爐的最大值為（)

x>0

八81

A.3B.2C.—D.10

13

9.已知數(shù)列｛4｝的通項公式是%=/sin|—貝！+。2+/+…+。12=<）

A.0B.55C.66D.78

10.2021年部分省市將實行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生

物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為

c.21

62

11.AABC的內(nèi)角A,且C的對邊分別為q,b,c,已知a+2c=2/7cosA,則角B的大小為（）

12.設(shè)函數(shù)〃%）=￡-/111尤+%+勺恰有兩個極值點，則實數(shù)/的取值范圍是（

)

1

B.—,+oo

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在四面體ABCD中，與她DC都是邊長為2的等邊三角形，且平面4?。，平面8DC,則該四面體外接

球的體積為.

/v2

14.在平面直角坐標系X。），中，雙曲線二-2=1（4＞08＞0）的焦距為2c,若過右焦點且與X軸垂直的直線與兩條漸

a-b-

近線圍成的三角形面積為/,則雙曲線的離心率為?

15.已知雙曲線C：「一與=1（?＞（）,b＞。）,直線/：x=4。與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A,B兩點.

a2b2

若AQ鉆（點。為坐標原點）的面積為32,且雙曲線C的焦距為2石，則雙曲線C的離心率為.

16.等邊AABC的邊長為2,則而在而方向上的投影為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在AABC中，內(nèi)角A&C的對邊分別是a/,c,滿足條件c=2＞一缶,C=色.

4

（1）求角A;

（2）若△ABC邊A3上的高為百，求A3的長.

18.（12分）如圖，三棱柱ABC-48?中，側(cè)面BBQC為菱形，AC±AB,,ABBC.

B

（1）求證：BC|_L平面ABC；

（2）若AB_LB,C,NCBB]=60°,求二面角B,-A4,-0的余弦值.

19.（12分）一張邊長為2m的正方形薄鋁板ABC。（圖甲），點E,尸分別在AB,BC上，且A￡=CE=x（單

位：，"）.現(xiàn)將該薄鋁板沿E尸裁開，再將A/ME沿DE折疊，AQCT沿。尸折疊，使D4,。。重合，且4。重合

于點制作成一個無蓋的三棱錐形容器D—（圖乙），記該容器的容積為V（單位：//），（注：薄鋁板的厚

度忽略不計）

圖甲

（1）若裁開的三角形薄鋁板EEB恰好是該容器的蓋，求x,V的值;

（2）試確定x的值，使得無蓋三棱錐容器。-MER的容積V最大.

x=2+tcosa

20.（12分）在直角坐標系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為〈,。為參數(shù)，a為實數(shù)）.以坐標原點。為

y=2+tsin。

極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為〃=8sin（9,曲線G與曲線G交于A6,兩點,

線段AB的中點為".

（1）求線段A8長的最小值；

（2）求點M的軌跡方程.

21.（12分）已知a,h,c為正數(shù)，且出7c=1,證明：

（1）（267+1）（2^+1）（2C+1）＞27；

111,3

（2）------------------------------T---------------------T——

a（0+c）-0（a+c）~c（a+b）~4,

22.（10分）如圖所示，已知AC,平面COE,BD//AC,AECD為等邊三角形,F為邊ED上的中點，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求證：CFP面A3E；

(II)求證：平面ABE，平面BDE;

(HI)求該幾何體E-ABDC的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

分析：作出函數(shù)/(力的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.

詳解：作出函數(shù)“X)的圖象，如圖所示，若根<〃，且“加)=/(〃)，

則當(dāng)ln(x+l)=l時，得x+l=e,即x=e—1,

則滿足()<〃<<?-1,-2<777<0,

貝！Jln(〃+l)=4m+l,即加=ln(〃+1)—2,則〃一相=〃+2-21n(〃+1),

2

設(shè)〃⑺="+2—21n(〃+l),0<“?e—l,則〃，(“)=]+一]=?—j->

當(dāng)〃(")〉0,解得l<〃We—1,當(dāng)〃'(〃)<0,解得()<〃<1,

當(dāng)〃=1時，函數(shù)〃(〃)取得最小值〃⑴=l+2-21n(l+l)=3—21n2,

當(dāng)〃=0時，A(0)=2-21nl=2；

當(dāng)〃=e-l時，〃(e-l)=e—1+2—21n(e-1+1)=e-l<2,

所以3-21n2〈力（〃）<2,即〃一機的取值范圍是［3—21n2,2）,故選A.

點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解

答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于

中檔試題.

2.B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)幕的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1<m-〃<1。再根據(jù)此范圍求（〃Liy+〃的

最小值.

【詳解】

數(shù)列｛a,,｝是公比為2的正項等比數(shù)列，a,n、%滿足2%<%,<1024?！?，

由等比數(shù)列的通項公式得2a,-2'-'<2m-'<1024a,-2"-',即2"<<2,,+9，

.-.2<2,n','<2|0?可得1<加一九<10,且加、"都是正整數(shù)，

求（〃Liy+〃的最小值即求在1<加-〃<10,且加、〃都是正整數(shù)范圍下求m-1最小值和〃的最小值，討論山、”

取值.

,當(dāng)加=3且〃=1時，（m—if+〃的最小值為（3—1）2+1=5.

故選：B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)第的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思

想，是中等題.

3.C

【解析】

根據(jù)直線g（x）過定點（1,0）,采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：直線g(x)=^-太過定點(1,0)

且/(x)=cos?^在［-6,8］是關(guān)于(1,0)對稱

如圖

通過圖像可知：直線g(x)與“X)最多有9個交點

同時點(1,0)左、右邊各四個交點關(guān)于(1,0)對稱

所以Z&+%)=2x4+1=9

/=!

故選:c

【點睛】

本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)y=cosx的性質(zhì)，屬難題.

4.C

【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用

“〃〃主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用?！āㄖ饕胰肆奶斓拇髮W(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用社〃主要聽音樂的人數(shù)為5380,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

Q13()

使用物主要玩游戲的人數(shù)為8130,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為56290,?上20.14,故超過10%的大學(xué)生使用。印主

56290

要玩游戲，所以②錯誤；

使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為16540,因為所以③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷，計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶），B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計算離心率，即可.

【詳解】

結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而「。="。，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形P耳MF?為

平行四邊形，結(jié)合NM&N=60°,故?=60°

對三角形片Mg運用余弦定理，得到，RM?+F2M°-F1Fj=2?MF1??cos"MF]

而結(jié)合上用=3|「用，可得|A閨=4眼用=3匹后鳥=2c,代入上式子中，得到

a2+9a2-4c2=3a2，結(jié)合離心率滿足e=',即可得出6=￡=也，故選D.

aa2

【點睛】

本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難.

7.A

【解析】

考慮既屬于M又屬于N的集合，即得.

【詳解】

:N={x|-2<x<2},二A/cN={x|-1Wx<2}.

故選：A

【點睛】

本題考查集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

\+y<2

解：畫出滿足條件2x-3y?9的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點坐標分別為A（0,-3）,B（3,-l）,C（0,2）,

目標函數(shù)9+產(chǎn)的幾何意義為，可行域內(nèi)點（x,y）與坐標原點（0,0）的距離的平方，由圖可知8（3,-1）到原點的距離

最大，故任+嚴、=32+（T）2=]o.

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出sin（爸!■）］的值，可進一步得到數(shù)列｛%｝的通項公式，然后代入

4+%+%+…+42轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.

【詳解】

解：由題意得，當(dāng)"為奇數(shù)時，sinF乃）=sin（〃7+'）=sin^+y'|=sin^=-l,

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時，4=-〃②；當(dāng)〃為偶數(shù)時，4=/,

所以4+%+。3■1-----弓2

=-12+22-32+42-------112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故選：D

【點睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

10.B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有C；C：=12種，甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有C=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率P=—=：,

124

故選B.

11.A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡，可求出解A

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sin3cosA,即sinA+2sin(A+8)=2sin5cosA,即有sinA(1+2cos8)=0,

12萬

因為sinA>0,貝！JcosB=——，而8e(0,?),所以8=—.

23

故選:A

【點睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

/(“恰有兩個極值點，則戶?)=0恰有兩個不同的解，求出力")可確定x=l是它的一個解，另一個解由方程

xex

—e—-f=0確定，令g(x)=J(犬>0)通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.

xI2xI2

【詳解】

由題意知函數(shù).“X)的定義域為(0,+?),r(x)=(f_peT仕+]_與

\'x\xX)

(xT)[e-(x+2)](x-l)(x+2)

因為/(x)恰有兩個極值點，所以/々0=()恰有兩個不同的解，顯然x=l是它的一個解，另一個解由方程

E—'二°確定'且這個解不等于1?

x+l)ev

令g(x)=上一(尤>0),則g'(x)―^->0,所以函數(shù)g(x)在(。,+?)上單調(diào)遞增，從而gG)〉g@=g，

x+2"+2)一

p1P/(》)=三-(lnx+x+彳]恰有兩個極值點，即實數(shù)/的取值范圍是

且g(i)=??所以，當(dāng)且時,

Nr

故選：C

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.■

27

【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進而可得球的面積.

【詳解】

取的外心為。I，設(shè)。為球心，連接。則。平面BDC,取80的中點M,連接AM,0.M,過。

做OGL4W于點G,易知四邊形。QMG為矩形，連接0C,設(shè)。4=R,=MG=/i.連接MC,則0-

M,C三點共線，易知MA=MC=g,所以0G=M0]=￥，CQ=羊.在R/A4Go和心八。。1。中,

+/=R2,所以。=正，R25

GA2+GO2=,QC2+GO?=

33

z=7154八320V15

得Rn=-----?所fiC以hIKlzJJC=-7TR=---------71?

3球0327

D

/.........1/????A\

【點睛】

本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半

徑；二是利用熟悉的模型求解半徑，比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.

14.V2

【解析】

利用SMOB=；x|￡0||A8=即可建立關(guān)于4b,c的方程?

【詳解】

設(shè)雙曲線右焦點為壓,過右焦點且與x軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于A8兩點，

behe*1hr*

則A(c,—),B(c,一一),由已知，S=-X|F,O\\AB\=C2,即一?c=c2,

aa2MOBa

所以。=8，離心率e=J+(,)2=JL

故答案為：V2

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立。力,c的方程或不等式，是一道容易題.

15.6或1

【解析】

用。力表示出603的面積，求得〃等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及片+尸=。2,即可容易求得a,匕，則離心

率得解.

【詳解】

x=4a,

聯(lián)立《b解得y=4〃.

y=-x

a

所以公。45的面積5=、4。?昉=16"=32,所以必=2.

2

而由雙曲線C的焦距為2逐知，c=逐，所以/+從=5.

a—\,{a=2,

聯(lián)立解得，c或，，

b=2m=1,

故雙曲線C的離心率為右或立.

2

故答案為：逐或好.

2

【點睛】

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.

16.-1

【解析】

建立直角坐標系，結(jié)合向量的坐標運算求解AB在前方向上的投影即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：A(0,0),5(2,0),C(l,百)，

則：AB=(2,0),=AB.BC^-2

且網(wǎng)=2,函=屈，

.BC-2

據(jù)此可知福在肥方向上的投影為=彳=T.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(2)26-2

【解析】

(1)利用正弦定理的邊角互化可得sinC=2sin8—0sinA，再根據(jù)87T-A-C=+利用兩角和的

正弦公式即可求解.

(2)已知CO=J5,由A=。知A￡>=1,在ABAC中，解出BO即可.

【詳解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-V2sinA

71

由己知C=,而8=萬—A—C=zr—+i

4

也=2sin(A+7)-V2sinA

V

cosA+^-sinA-5/2sinA

2

=>/2cosA

“兀

:.cosA=-A=—

293

(2)已知cr)=G，

冗

則由A=一知AO=1

3

CD

B=K-A-C^—7T,DB

12tanB

先求sin^/r=sin7171；(夜+向

43

57171

COS—71=-COS一+一T迷一揚

1243

5(#+3)^

：.tan—7t=、=——=2+J3

12(V6-V2)

/o

/.DB=^-^=2y/3-3

2+V3

，AB=AD+=1+26-3=26-2

【點睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)見解析(2)-

7

【解析】

(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知BQ±B,C,結(jié)合AC1A用可得0A=0C=。4，進而可證明ABOA三ABOC,即

BQ10A,即可由線面垂直的判定定理證明BG1平面AB,C；

(2)結(jié)合(1)可證明。4。5,。4兩兩互相垂直.即以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向，|礪|為單位長度,

建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面耳A4和平面GA41的法向量，即可求得二面角與-的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：設(shè)BGn4c=。，連接。4,如下圖所示：

側(cè)面8BCC為菱形，

：.BCXVByC,且。為耳。及Bq的中點,

又AC1AM，則AC4B1為直角三角形，

/.0A=0C=OB1,

又AB=BC,

:.MOA=ABOC,(SSS)

:.OA±OB,即BCJOA,

而OA,B?為平面AB,C內(nèi)的兩條相交直線，

/.Bq，平面ABC.

⑵：AB1BC，BQ±B[C,ABcBC】=B

4c_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

：.B^CLAO,即QA_LO31,

從而04,。氏。與兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向，|而|為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系。-孫z

?/ZCBB,=60°,

???ACB⑸為等邊三角形,

?：AB=BC,

A(0,0,^^

,0),C(0,-芋0),

,()］石=/=0，-卓-

，例=陰=-1,手

：.AB}

*(y_z)=O

ntAB=0

設(shè)平面4AA的法向量為％=(x,y,z),則V1即

in-AAj=0

T+爭=0

**?可取n=(1,V3,V3)，

設(shè)平面￡然的法向量為嬴則《/力.三AC二—。0

同理可取〃?=(i,G,-G)

---n-m1_1

vcos<n,m>=T——1

叫叫V7X5/7|7

由圖示可知二面角耳-AA-￡為銳二面角，

...二面角的余弦值為L.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

19.(1)x=l,V=|；(2)當(dāng)x值為逐-1時，無蓋三棱錐容器O—ME廠的容積V最大.

【解析】

(1)由已知求得x=l,求得三角形包印的面積，再由已知得到MD_L平面代入三棱錐體積公式求V的值;

4(%

(2)由題意知，在等腰三角形Affi尸中，ME=MF=x,則EF=VJ(2-x),cosZEMF=；0,寫出三角形面積,

X'

求其平方導(dǎo)數(shù)的最值，則答案可求.

【詳解】

解：(1)由題意，八七陽為等腰直角三角形，又AE=CF=x,

BE=BF=2-x(0<x<2),

???AEFB恰好是該零件的蓋，；.x=l,貝

由圖甲知，AD±AE,CDA.AF,

則在圖乙中，MDA.ME,MDA.MF,ME[}MF=M,

又ME,平面項/，平面EM/,

?■'V=^5'AEWF，M￡>=^5EBF，W￡)=^X^X2=|；

(2)由題意知，在等腰三角形M律中，ME=MF=x,

則￡F=夜(2-x),cosNEMF=火.”,

x

S—十sinN麗

令/(x)=(S碼干尸=J，-16(x—1尸］,

f\x)=x3-8(x-1)=(x-2)(x24-2x-4),

*/0<x<2,:.X=45-1?

可得：當(dāng)xw(0,百一1)時，/x(x)>0,當(dāng)xw(布-1,2)時，r(x)<0,

二當(dāng)x=J?—1時，S^EMF有最大值.

由(1)知，“。_1平面￡/0~，

，該三棱錐容積的最大值為V=；5蛇叱〃。，且M￡>=2.

:?當(dāng)x=6-l時，/(x)取得最大值，無蓋三棱錐容器。-AffiF的容積V最大.

答：當(dāng)x值為近-1時，無蓋三棱錐容器。-ME/7的容積V最大.

【點睛】

本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題.

20.(1)4X/2(2)(x-l)2+(y-3)2=2.

【解析】

(1)將曲線G的方程化成直角坐標方程為/+產(chǎn)=8',當(dāng)PGLA8時，線段AB取得最小值，利用幾何法求弦

長即可.

(2)當(dāng)點M與點尸不重合時，設(shè)M(x,y),由利用向量的數(shù)量積等于0可求解，最后驗證當(dāng)點”