2023年高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案（四）

2023年高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案(四)

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知集合A={xx2-X-2<0},B={x|y=ln(1-|x)},則AG([

RB)=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,1)D.(1,2]

2.已知命題p：若a,b是實(shí)數(shù)，則a>b是a2>b2的充分不必要條

件；命題q：'勺x￡R,x2+2>3x”的否定是"Vx￡R,x2+2<3xw,則下

列命題為真命題的是()

A.pAqB.]p/\qC.pA-'qD.-'pA^q

1V3.

3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2二3可1,則z2+z+l的值為()

A.-1B.1C.0D.i

4,設(shè)向量W=(2,1),b=(0,-2).則與W+2E垂直的向量可以是

()

A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6)

22

xy

5.已知雙曲線而一鼠二1上有一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)Fi的距離為18,則

點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離是()

A.8B.28C.12D.8或28

2

6.等比數(shù)列{aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且ai+2a2=4,a4=4a3a7,則a5=()

11

A.亙B.正C.20D.40

7.現(xiàn)有編號為①、②、③的三個(gè)三棱錐(底面水平放置)，俯視圖分

別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三

棱錐的所有編號是（)

圖1圖2圖3

A.①B.①②C.②③D.①②③

141

8.已知a>0,b>0,a+b=gW,則的最小值為（）

A.4B.2亞C.8D.16

9.如圖所示是一個(gè)算法程序框圖，在集合A={x|-IOWXWIO,xe

R）中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值作為x輸入，則輸出的y的值落在區(qū)間［-5,

3］內(nèi)的概率為（）

/三/

10.已知函數(shù)f（x）=sin（mx+巾）（u）>0）的圖象關(guān)于直線x=4對稱

16

且f（-2）=0,如果存在實(shí)數(shù)Xo，使得對任意的X都有f（Xo）Wf

16

（x）Wf（xo+子），則3的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

22

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓彳+年=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

A(1,1),B(0,-1),則|PA|+|PB|的最大值為()

A.5B.4C.3D.2

12.已知函數(shù)f(x)=x-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=mx+l,

(m￡R),若對于任意的2],總存在x°￡[-1,1],使得

成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()

g(x0)=f(xi)m

A.(-8,-e]U[e,+8)B.[-e,e]

C.(-8,-2-白U[-2+p+8)D.[-2-p-2+-]

二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.已知點(diǎn)A(L0),過點(diǎn)A可作圓x2+y2+mx+l=0的兩條切線，則

m的取值范圍是.

y*Cx-ly_

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足卜《3,則受的取值范圍是.

x+y》2

15.如圖所示，直四棱柱ABCD-AiBiGDi內(nèi)接于半徑為?的半0,

四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時(shí)，AB的長

為?

16.意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)

列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即F

(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n23,n￡N*),止匕

數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此

數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛bn｝，b2017=?

三、解答題（共5小題，滿分60分）

17.已知數(shù)列國｝為等差數(shù)列，其中az+a3=8,a5=3a2.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）記bn——，設(shè)｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn?求最小的正整數(shù)n,使

anan+l

得S＞空弛

付n2017,

18.已知某企業(yè)的近3年的前7個(gè)月的月利潤（單位：百萬元）如下

面的折線圖所示：

（1）試問這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤較高？

（2）通過計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤的發(fā)展趨勢；

（3）試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)（如下表），用線性回歸的擬合模

式估測第3年8月份的利潤.

月份x1234

利潤V（單位：百萬4466

元)

E(Xj-x)(y「y)￡Xiyj-nxy

相關(guān)公式：=11nZ=JTT__，=-x.

22

￡(x「x)2￡xi~n(x)

i=li=l

19.如圖，直三棱柱ABC-AiBiJ中，AC±BC,AC=BC=yAAi=l,D是

棱AAi上的點(diǎn)，DCilBD.

(I)求證：D為AAi中點(diǎn)；

(H)求直線BCi與平面BDC所成角正弦值大小.

Xv

20.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓C：T+T=1

的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A(xo,2)在拋物線上，過焦點(diǎn)F的直線I交拋

物線于M、N兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值；

.-----?

(2)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,若MF"FNJBM12+1BN12=40,

求實(shí)數(shù)人的值.

21.已知函數(shù)f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(aGR,e為自然對數(shù)

的底數(shù)，e=2.7181281.?).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方ly=程2+ts是inQ°(t為參

數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲

94

2

線c的極坐標(biāo)方程為p=7_c；s2e.

(1)求曲線c的普通方程；

(2)若直線I與曲線C交于不同兩點(diǎn)A,B,求tana的取值范圍.

［選修4-5］

23.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+2x-3|,x￡R.

(1)解不等式f(x)W5；

(2)若不等式m2-m<f(x),VxGR都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

參考答案與試題解析

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知集合人=僅僅2-*-2V0},B={x|y=ln(1-|x|)},則AG([

RB)=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,1)D.(1,2]

【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【分析】求出集合A中不等式的解集，確定出集合A,求出集合B中

函數(shù)的定義域，確定出集合B,找出R中不屬于B的部分，求出B的

補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可.

【解答】解：由集合A中的不等式x2-x-2V0,解得：-1VXV2,

；.A=(-1,2),

由集合B中的函數(shù)y=ln(1-|x|),得到即集VI,

解得：-lVxVl,

B=(-1,1),又全集R,

.*.CRB=(-8,-1]u[1,+8),

則An(CRB)=[1,2).

故選B

2.已知命題p：若a,b是實(shí)數(shù)，則a>b是a2>b2的充分不必要條

件；命題q：Tx￡R,x2+2>3x”的否定是"Vx￡R,x2+2<3xw,則下

列命題為真命題的是()

A.pAqB.^pAqC.pA-'qD.-'pA^q

【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假.

【分析】分別判斷出p,q的真假，再判斷出復(fù)合命題真假即可.

【解答】解：命題P：若a,b是實(shí)數(shù)，則a>b是a2>b2的充分不必

要條件；是假命題；

比如：a=l,b=-2,

勺x￡R,x2+2>3x"的否定是"Vx￡R,x2+2^3xw,

故命題q："3xGR,x2+2>3x”的否定是"Vx￡R,x2+2V3x”是假命題,

故「pA「q是真命題，

故選：D.

3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)則z2+z+l的值為（）

A.-1B.1C.0D.i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】先求出Z2的值，然后代入Z2+Z+1計(jì)算.

【解答】解：i,

.2,1.73.^21V3.31\[3.

??z=（工F）;不亍丁方丁》

貝!Jz2+z+l=-y--i-1-Hy-i+l=O.

故選：C.

4.設(shè)向量4（2,1）,工（0,-2）.則與1+2芯垂直的向量可以是（）

A.（3,2）B.（3,-2）C.（4,6）D.（4,-6）

【考點(diǎn)】9T：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【分析】求出,+2b=(2,-3),由此利用向量垂直的性質(zhì)能求出與'+2b

垂直的向量的可能結(jié)果.

【解答】解：..?向量三(2,1),b=(0,-2).

—?—?

a+2b=(2,-3),

(2,-3)?(3,2)=6-6=0,

—?—?

.,.與a+2b垂直的向量可以是(3,2).

故選：A.

22

xy

5.已知雙曲線元方=1上有一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)Fi的距離為18,則點(diǎn)M

到右焦點(diǎn)F2的距離是()

A.8B.28C.12D.8或28

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】求得雙曲線的a,b,c,運(yùn)用雙曲線的定義，可得||1\/^1|-

|MF2||=2a=10,解方程可得所求值，檢驗(yàn)M在兩支的情況即可.

22

xy1廬”我

【解答】解：雙曲線而一的a=5,b=3,c==,

由雙曲線的定義可得IIMF/-IMF2I|=2a=10,

即為118-|MF2||=10,解得|MF2I=8或28.

檢驗(yàn)若M在左支上，可得|MFi|2c-a=a-5,成立；

若M在右支上，可得|MFi|2c+a="'%+5,成立.

故選：D.

6.等比數(shù)列63的各項(xiàng)均為正數(shù)，且ai+2a2=4,a42=4a3a7,則a5=()

A.當(dāng)B.表C.20D.40

【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì).

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式列方程組解出首項(xiàng)和公比，再計(jì)算as.

【解答】解：設(shè)公比為q,則q>0,

+2a?Q—4

由題意得：26f26,

q_4alqa】q

a1=2

解得_1as=2X=,

q=T

故選A.

7.現(xiàn)有編號為①、②、③的三個(gè)三棱錐（底面水平放置），俯視圖分

別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三

棱錐的所有編號是（）

圖1圖2圖3

A.①B.①②C.②③D.①②③

【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖.

【分析】根據(jù)題意，畫出編號為①、②、③的三棱錐的直觀圖，判斷

是否存在側(cè)面與底面互相垂直的情況即可.

【解答】解：編號為①的三棱錐，其直觀圖可能是①，

⑦

其側(cè)棱VC，底面ABC,.?.側(cè)面VAC_L底面ABC,滿足條件;

編號為②的三棱錐，其直觀圖可能是②

其側(cè)面PBC_L平面ABC,滿足條件；

編號為③的三棱錐，其直觀圖可能為③,

其中不存在側(cè)面與底面互相垂直的情況.

綜上，滿足題意的序號是①②.

故選：B.

I1I9

8.已知a>0,b>0,a+b=—?jiǎng)t的最小值為（）

2近

A.4B.C.8D.16

【考點(diǎn)】7F：基本不等式.

19

【分析】先求出ab=l,從而求出:看的最小值即可.

【解答】解：由a+b=￥f號，有ab=l,

貝*哈%=2亞，

故選：B.

9.如圖所示是一個(gè)算法程序框圖，在集合A={x|-IOWXWIO,xG

R）中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值作為x輸入，則輸出的y的值落在區(qū)間［-5,

3］內(nèi)的概率為（）

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【分析】可得x的取值共21中可能，由程序框圖可得x共17個(gè)，由

概率公式可得.

【解答】解：集合A={x|-IOWXWIO,x￡R}中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)值共

有21種可能，

x+3x<0

再由程序框圖可知y=x-5x>。，

0x=0

要使y值落在區(qū)間［-5,3］內(nèi)，需x=0或｛其或｛H_543,

解得x=0,或x=-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,x=l,2,

3,4,5,6,7,8,共17個(gè)，

17

???所求概率P=元y0.8.

故選:A.

71

10.已知函數(shù)f(x)=sin(u)x+4))(u)>0)的圖象關(guān)于直線*=正對稱

冗一

且f(-正)=0,如果存在實(shí)數(shù)xo,使得對任意的x都有f(xo)Wf

K

(x)Wf(Xo+彳)，則U)的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值；H6：正弦函數(shù)的對稱性.

71

【分析】由題意直線x=是對稱軸，對稱中心為(-而，0),根據(jù)三

角函數(shù)的性質(zhì)可求U)的最小值.

JT

【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(UJX+巾)(u)>0)的圖象關(guān)于x=正對稱

且f(-強(qiáng)=0,

兀71兀3兀兀

「?3正+。=1<71+〒…①,-3正+4)=klL.?②,3X0-+9W虧+2kn且

/、兀C

(3XO+4))三--+2kn...(3)

冗

由①②解得a)=4,4)=kn+-^~,(kez)

兀

當(dāng)k=0時(shí)，u)=4,巾=彳，③成立，滿足題意.

故得U)的最小值為4.

故選B.

yx

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓才+T=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

A(1,1),B(0,-1),則|PA|+|PB|的最大值為()

A.5B.4C.3D.2

【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì).

【分析】根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,-1)和B'

(0,1).因此連接PB。AB',根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+

(2a-lPB'1)=4+(|PA|-|PB'|).再由三角形兩邊之差小于第三邊，

得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長線上時(shí)，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5達(dá)到最

大值，從而得到本題答案.

y2x2

【解答】解：???橢圓彳+玄=1,

，焦點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,-1)和夕(0,1),

連接PB'、AB',根據(jù)橢圓的定義，

得|PB|+|PB'|=2a=4,可得|PB|=4-|PB'|,

因此|PA|+|PB=|PA|+(4-IPB'I)=4+(|PA-|PB'|)

|PA|-|PB'||AB'|

A|PA|+|PB|^2a+|AB'|=4+l=5.

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB，延長線上時(shí)，等號成立.

綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為5.

故選：A.

12.已知函數(shù)f(x)=x-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=mx+l,

(m￡R),若對于任意的2],總存在x°￡[-1,1],使得

g(xo)=f(xi)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.(-8,-e]U[e,+8)B.[-e,e]

C.(-8,-2-U[-2+~,+8)D.[-2-p-2+-]

【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)在[-1,1]上的值域，再分類求出

g(x)在[-1,1]上的值域，把對于任意的xi￡[-1,1],總存在xo

e[-l,1],使得g(xo)=f(xi)成立轉(zhuǎn)化為兩集合值域間的關(guān)系

求解.

【解答】解:由f(x)=x-ex,得f(x)=1-ex,

當(dāng)x￡[-l,0)時(shí)，fz(x)>0,當(dāng)乂￡(0,1]時(shí)，f(x)<0,

/.f(x)在[-1,0)上為增函數(shù)，在(0,1]上為減函數(shù)，

Vf(-1)=-1-pf(0)=T，f(2)=1-e.

，f(x)在[-L1]上的值域?yàn)閇1-e,-1]；

當(dāng)m>0時(shí)，g(x)=mx+l在[-1,1]上為增函數(shù)，值域?yàn)閇1-m,

1+m],

要使對于任意的xie[-1,1],總存在xo￡[-1,1],使得g(x0)

=f(xi)成立，

則[1-e,-l]c[1-m,1+m],

(1irrC1-e

解得m^e；

當(dāng)m=0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閧1},不合題意;

當(dāng)m<0時(shí)，g(x)=mx+l在［-1,1］上為減函數(shù)，值域?yàn)椋?+m,1

-m]，

對于任意的XiG[-1,1],總存在xO￡[-1,1],使得g(xo)=f(xi)

成立，

則[1-e,-l]c[1+m,1-m],

(l+irr<l-e

解得mW-e.

11-m〉-1'

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,-e]U[e,+8).

故選：A.

二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.已知點(diǎn)A(l,0),過點(diǎn)A可作圓x2+y2+mx+l=0的兩條切線，則

m的取值范圍是(2,+8).

【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程.

【分析】過點(diǎn)A可作圓x2+y2+mx+l=0的兩條切線，即為A在圓外，

把已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和半徑r,列出關(guān)于

2

m的不等式，同時(shí)考慮4-1大于0,兩不等式求出公共解集即可得

4

到m的取值范圍.

2

【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(X+5)2+丫2=4一1,所以

____乙4

IDC2-

—/mv

圓心坐標(biāo)為(-2,0),半徑同丁工

由題意可知A在圓外時(shí)，過點(diǎn)A可作圓x2+y2+mx+l=0的兩條切線,

2

所以d>r即l+m+l>。，且以-l>0,解得：m>2,

4

則m的取值范圍是(2,+8).

故答案為：(2,+8).

VCx-1y__1_2_

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足卜43,則■的取值范圍是［3可

x+y》2

【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】由約束條件作出可行域，再由會(huì)的幾何意義，即可行域內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)0(0,0)連線的斜率求解.

【解答】解：由約束條件,x<3作出可行域如圖,

x+y)2

會(huì)的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)0(0,0)連線的斜率,

聯(lián)立方程組求得A(3,-1),B(3,2),

又卜0人二?,koB=y-

??.(的取值范圍是［=,1］.

故答案為：［專1乳9

15.如圖所示，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi內(nèi)接于半徑為?的半0,

四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時(shí)，AB的長為2.

命

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【分析】設(shè)AB=a,BBi=h,求出a2=6-2h2,故正四棱柱的體積是

V=a2h=6h-2h3,利用導(dǎo)數(shù)，得到該正四棱柱體積的最大值，即可得

出結(jié)論.

【解答】解:設(shè)AB=a,BBi=h,

貝0B=^a,連接OBi,0B,貝OB2+BBI2=OBI2=3,

2

a_+h2=3,

2

/.a2=6-2h2,

故正四棱柱的體積是V=a2h=6h-2h3,

"=6-6h2,

當(dāng)OVhVl時(shí)，Vz>0,lVh<\"時(shí)，Vz<0,

...h=l時(shí)，該四棱柱的體積最大，此時(shí)AB=2.

故答案為：2.

16.意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)

列"：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即F

(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n23,n￡N*),lit

數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此

數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛bj,b?oi7=1.

【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理.

【分析】由題意可得數(shù)列從第三項(xiàng)開始，后一項(xiàng)為前兩項(xiàng)的和，再分

別除以3得到一個(gè)新的數(shù)列，該數(shù)列的周期為8,即可求出答案.

【解答】解：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,

3779...9

此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛bn｝,

則｛bn｝,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,

其周期為8,

故b2017=b227x8+l=bi=l,

故答案為：1

三、解答題(共5小題，滿分60分)

17.已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列,其中a2+a3=8,a5=3a2.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

2

(2)記設(shè)｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn.求最小的正整數(shù)n,使

anan+l

付,n2017,

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

可得首項(xiàng)和公差的方程，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式;

2211

（2）求得1京7=⑦-1）（291）=不F-而「運(yùn)用數(shù)列的求和方法:

裂項(xiàng)相消求和，再解不等式，即可得到所求n的最小值.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

依a2+a3=8,a5=3a2>

‘2a1+3d=8

>

有］a1+4d=3a1+3d

解得ai=l,d=2,

從而｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n-l，n€N*,

/八E、I,_2211

（2）因?yàn)閎n=anan+「（2n-l）（2n+l）=2n-l-2n+「

所以Sn=（K）+普蔣）+…+（2n'氏）

=1'2n+l,

口2n+l2017,

解得n>1008,

故n的最小值為1009.

18.已知某企業(yè)的近3年的前7個(gè)月的月利潤（單位：百萬元）如下

面的折線圖所示：

（1）試問這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤較高？

（2）通過計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤的發(fā)展趨勢；

（3）試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)（如下表），用線性回歸的擬合模

式估測第3年8月份的利潤.

月份x1234

利潤y（單位：百萬4466

元）

z**

￡n——n—

ayb

￡（Xi-x）（y「y）￡XjyjFxy

相關(guān)公式：~ZT=-X.

￡（x「x）之￡Xj-n（x）

i=li=l

【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程.

【分析】（l）結(jié)合圖象讀出結(jié)論即可；（2）根據(jù)圖象累加判斷結(jié)論即

八Z*.

可；（3）分別求出對應(yīng)的系數(shù)，13的值，代入回歸方程即可.

【解答】解：（1）由折線圖可知5月和6月的平均利潤最高.…

（2）第1年前7個(gè)月的總利潤為1+2+3+5+6+7+4=28（百萬元），...

第2年前7個(gè)月的總利潤為2+5+5+4+5+5+5=31（百萬元），…

第3年前7個(gè)月的總利潤為4+4+6+6+7+6+8=41百萬元），...

所以這3年的前7個(gè)月的總利潤呈上升趨勢.…

2222

(3),.?K=2.5,y=5,1+2+3+4=30,1X4+2X4+3X6+4X6=54,

，律二9■咨5午

人30-4X2.52

.第

??5-2.5X8=3，???

???y=0.8x+3，???

當(dāng)X=8時(shí),k88X8+3=9.4(百萬元)，

估計(jì)8月份的利潤為940萬元.…

19.如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC±BC,AC=BC=yAAi=l,D是

棱AAi上的點(diǎn),DCilBD.

(I)求證：D為AAi中點(diǎn)；

(H)求直線BCi與平面BDC所成角正弦值大小.

【考點(diǎn)】Ml：直線與平面所成的角；LX：直線與平面垂直的性質(zhì).

【分析】(I)由已知可得AC,BC,CCi兩兩互相垂直，分別CA、CB、

CCi所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合DJ_LBD,

利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得D的豎坐標(biāo)，可得D為AAi的中點(diǎn)；

(H)求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直線BCi與平面BDC

所成角正弦值.

【解答】證明：(I)由已知可得AC,BC,CCi兩兩互相垂直，分別

以CA、CB、CCi所在直線為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

VAC=BC=1AAi=l,D是棱AAi上的點(diǎn)，

AD(1,0,h),Ci(0,0,2),B(0,1,0),Bi(0,1,2),

DC1=(-1,o,2-h),BD=(1,-1,h),

VDCi±BD,.?.DC[?BD=0,得-i+h(2-h)=0,解得h=l,

.\D為AAi的中點(diǎn)；

解：(II)BC1=(0,-1,2),

—?

設(shè)面BDC的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

n?CB=y=0

則i；a=x+z=(r取x=L得=(L。，-1)，

設(shè)直線BJ與平面BDC所成角為&

G?西|-2_VTo

則皿=而鬲產(chǎn)赤5?

直線BCi與平面BDC所成角正弦值大小為手.

x.y

20.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓C：TT=1

的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A(xo,2)在拋物線上，過焦點(diǎn)F的直線I交拋

物線于M、N兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值；

(2)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,若誣二人而，|BM12+jBN12=40,

求實(shí)數(shù)人的值.

【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】⑴依題意F(1,0),故學(xué)1,則2P=4,可得拋物線C的

方程.將A(xo,2)代入拋物線方程，解得xo,即可得|AF|的值

(2)依題意，F(xiàn)(1,0),設(shè)I：x=my+l,設(shè)M(xi,yi)>N(x2,丫2),

y2=4x

聯(lián)立方程1=叩+1，消去x,得y2-4my-4=0,則

222222222222

|BM|+1BN|=BM+BN=(x1+l)+y1+(x2+l)+y2-x1+x2+2(x1+x2)+2+y1+y2

=(m2+l)(16m2+8)+4m?4m+8=16m4+40m2+16=40,解得人.

22

【解答】解：(1)依題意，橢圓C'：^"+?=1中，a2=6,b2=5,故c2=a2

7=1,故齊1,則2p=4,

可得拋物線C的方程為y2=4x.

將A(xo,2)代入y2=4x,解得x0=l,故1即|=1+~2.

(2)依題意，F(xiàn)(1,0),設(shè)I：x=my+l,設(shè)M(xi,y。、N(x2,丫2),

y2=4x

聯(lián)立方程%=叩+1，消去x,得y2-4my-4=0.

，=

y1+y24iT

所以'了1丫2=一4'①且x2=my2+r

又誣二入FN,則又J],-yi)=入(X2-l,y2),即yi=-M，

，2i

力》小汨J-入丫2=-4酒土由4m2=入巧^--2

代入①得$八、、(，消去丫2得人，

(1-A.)y2=4m

易得B(-1,0),則BM=(X[+1,y>,BN=(X2+1,y2)5

則

IBM|+1BN|^=BM+BN=(x1+l)2+yj2+(x2+l)^+y22-xi^+x2^^2(x|+x?)+2+y1'y2'

_(myi+l)，(my2+I)2+2(my]+my2+2)+2+V12+乃2

222

=(m+l)(y1+y2)+4m(y1+y2)+8

=(m2+l)(16m2+8)+4m*4m+8=16m4+40m2+16,

當(dāng)16m4+40m2+16=40,解得/總，故人會(huì)土丘.

21.已知函數(shù)f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(a^R,e為自然對數(shù)

的底數(shù)，e=2.7181281...).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的極值.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，

(2)先求導(dǎo)，再令f'(x)=0得到x=-1或aex-2a+2=0(*),根據(jù)

aex-2a+2=0(*)無解即可求出a的范圍.

【解答】解：(1)由題知，f(x)=-xex+2(x+1)2,

f'(x)=-ex-xex+4(x+1)=(x+1)(4-ex),

由f'(x)=0得到x=-1或x=ln4,

而當(dāng)xVln4時(shí),(4-ex)>0,x>ln4時(shí)，(4-ex)<0,列表得：

X(-8,-1)-1(-1,In4)In4(In4,+8)

f'(x)-0+0-

f(x)極大7極小

值值

所以，此時(shí)f(x)的減區(qū)間為(-8,-1),(In4,+8),增區(qū)間為

(-1,In4)；

(2)f'(x)=aex+axex-2(a-1)(x+1)=(x+1)(aex-2a+2),

由f'(x)=0得到x=-1或aex-2a+2=0(*)

由于f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，

關(guān)于x的方程(*)必?zé)o解，

①當(dāng)a=0時(shí)-，(*)無解，符合題意，

②當(dāng)aWO時(shí)，由(*)得ex=苧，故由苧W0得OVaWl,

由于這兩種情況都有，當(dāng)