2021-2022學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出

標(biāo)號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.每小題選對(duì)得分：不

選、選錯(cuò)或選出的標(biāo)號(hào)超過一個(gè)的不得分.

1.（3分）在同一時(shí)刻的太陽(yáng)光下，小剛的影子比小紅的影子長(zhǎng)，那么，在晚上

同一路燈下（）

A.不能夠確定誰(shuí)的影子長(zhǎng)

B.小剛的影子比小紅的影子短

C.小剛跟小紅的影子一樣長(zhǎng)

D.小剛的影子比小紅的影子長(zhǎng)

2.（3分）在RtZSABC中，ZC=90°，已知NA及邊則的斜

邊長(zhǎng)應(yīng)為（)

A.asirtAB./C.acosAD.a

sinAcosA

3.（3分）已知點(diǎn)（XI、）1）、（X2、y2）都在反比例函數(shù)y」的圖象上，且X1V無2

X

<0,則下列不等關(guān)系中正確的是（)

A.y2VyiVOB.yiVy2VoC.yi>y2>0D.y2>yi>0

4.（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖是)

B.C.D.

5.（3分）如圖，是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體

A3的高度為36c7〃，那么它在暗盒中所成的像CO的高度應(yīng)為（）

6.（3分）如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測(cè)得水面寬AB=\.6m,涵洞頂

點(diǎn)0與水面的距離CO是2m,則當(dāng)水位上升1.5/?/時(shí)，水面的寬度為（）

A.0.4mB.0.6mC.0.8〃？D.\m

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與的位似中心是原點(diǎn)O,

已知點(diǎn)A（1,0）,B（3,0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

8.（3分）已知一次函數(shù)y=ox+c與反比例函數(shù)）=婦?在同一平面直角坐標(biāo)系中

X

的圖象如圖所示，則二次函數(shù)＞=加+灰+，的圖象可能是（）

二、填空題：（本題滿分18分，共6小題，每小題3分）

9.（3分）計(jì)算tan60°+2cos45°的結(jié)果為.

10.（3分）一個(gè)不透明袋子中裝有30個(gè)小球，這些球除顏色外都相同，某課外

學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回?cái)?/p>

勻，并重復(fù)該過程，獲得數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)200300400100016002000

摸到白球的頻數(shù)7293130334532667

摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335

該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，由此估算出紅球個(gè)

數(shù)是個(gè).

11.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。ABC的面積為16,點(diǎn)B在y軸

上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=K的圖象上，則2的值為

12.（3分）在小提琴的設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會(huì)引入黃金分割的概念.如圖，一架小提

琴中AC、BC、A3各部分長(zhǎng)度的比滿足至革，則空?=

BCABAB

13.（3分）研究發(fā)現(xiàn)：近視眼鏡的度數(shù)y（度）與近視眼焦距x（cm）的關(guān)系如

表：

焦距x…10202550…

（cm）

度數(shù)y（度）…1000500400200…

已知y與x的函數(shù)關(guān)系是我們學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)中的一

種，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是.

14.（3分）如圖，已知正方形ABC。，延長(zhǎng)A8至點(diǎn)E使連接CE、

DE,DE與BC交于點(diǎn)、N,取CE的中點(diǎn)尸，連接8F,AF,AF交于點(diǎn)M,

交。E于點(diǎn)O,則下列結(jié)論：

①DN=EN；②0A=OE；③CN：MN：BM=3：1：2；?tanZCEO=1；⑤S

3

四邊形BEFM=2SACMF.

其中正確的是.（只填序號(hào)）

三.作圖題（本題滿分6分）請(qǐng)用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕

跡.

15.（6分）已知：如圖，線段a和/a.求作：矩形A8CD,使A8=a,NCAB

=Na.

四.解答題（本題共8道小題，滿分72分）

16.（10分）（1）解方程：2x2-4x=3i

（2）若關(guān)于x的一元二次方程1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求。的

值.

17.（6分）小明和小亮用如圖所示的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻的轉(zhuǎn)盤做游戲（甲

轉(zhuǎn)盤被平均分成五份，乙轉(zhuǎn)盤被平均分成三份），任意轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次（如

果指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗?

（1）求甲轉(zhuǎn)盤指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率；

（2）若轉(zhuǎn)得的兩個(gè)數(shù)字之和為3、4或5,則小明勝，否則小亮勝，這個(gè)游戲

對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法說明理由.

18.（6分）如圖，在一塊長(zhǎng)13加，寬7加的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相

垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，若栽

種花草的面積是55小，則道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少m2

19.（8分）某數(shù)學(xué)測(cè)量小組準(zhǔn)備測(cè)量體育場(chǎng)上旗桿A3的高度.如圖所示，觀禮

臺(tái)斜坡CD的長(zhǎng)度為10米，坡角為26.5°,從斜坡的最高點(diǎn)C測(cè)得旗桿最高

點(diǎn)A的仰角為37°,斜坡底端。與旗桿底端8的距離是9米，求旗桿AB的

高度.（結(jié)果保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：sin26.5°^A,cos26.5°^J-,tan26.5°^l,sin37°^Xcos37°

201025

心匡，tan37°—3.

54

20.（8分）如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是邊3C的中點(diǎn)，連接。。并

延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8。，EC.

（1）求證：△BOE四△COO；

（2）若3c平分請(qǐng)判斷并證明四邊形BECO的形狀.

21.（10分）為建立防控疫情的綠色長(zhǎng)城，需要人人自覺養(yǎng)成“戴口跟、少聚集、

勤消毒”的習(xí)慣.某品牌酒精消毒液的出廠價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)，價(jià)格由每箱50

元降為32元.當(dāng)出廠價(jià)降至每箱32元后，某批發(fā)商從該廠家購(gòu)進(jìn)一批這種

消毒液，試銷中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每箱售價(jià)為40元時(shí)，周銷量為600箱，且每箱的售

價(jià)每漲5元，周銷量就減少50箱.

（1）已知出廠價(jià)兩次降價(jià)的百分率相同，直接寫出這個(gè)百分率為；

（2）求出售這種消毒液一周的總獲利W（元）與每箱售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)

系式；

（3）若要使該消毒液一周的銷售額不低于24000元，且獲利最多，求每箱售

價(jià)應(yīng)為多少元.

22.（12分）【基本模型】

條件：如圖1,已知N1為△A3。的外角，點(diǎn)。為8D上一點(diǎn)，AB~=BC*BD.

結(jié)論N1=N2+N3.

證明：

"：AB2=BC*BD,

???BCAB.

ABBD

又,:NABD為AABC與ADBA的公共角，

,AABC^ADBA.

：.ZBAC=Z3

又?.?N1是△ABC的外角，

：.Z1=Z2+ZBAC.

.,.Z1=Z2+Z3.

提煉方法：在圖1的幾何模型中，只需滿足則N1=N2+N3.

【提出問題】

如圖2,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,連接點(diǎn)A與Bi,記NAB。

為Nl,ZAB2O為N2,…，以此類推，記NA&O為/〃，記NA&。為/尤，

記NAB.vO為Ny.若Nn=Nx+Ny（〃、x、y均為正整數(shù)且〃VxVy）,則〃、x、

【探究問題】

為了解決上面的問題，我們不妨從簡(jiǎn)單而又特殊的情況開始研究，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)

方法的提煉，歸納與發(fā)現(xiàn).

探究1：n=l時(shí)，

如圖2,我們借助“基本模型”中結(jié)論的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)Nl、Nx、

Ny之間角度關(guān)系的研究，可以借助對(duì)AB、BH、88,之間長(zhǎng)度關(guān)系的研究.

只需滿足AB；=B島,BiB/則有Nl=4+Ny.

如圖3,由勾股定理得：ABi=&，

VABI2=(^2)2=1X2J

由于線段囪&、的長(zhǎng)是正整數(shù)，且“Vx<y,

：.BiBx=l,BiBy=2,對(duì)照?qǐng)D形，容易發(fā)現(xiàn)：

，〃=1時(shí)，fx=2,NI=/2+N3,2=(x-l)(y-l)

1y=3

即：當(dāng)〃=1時(shí)，光、y的值滿足關(guān)系式為2=(尤-1)(y-1).

探究2：〃=2時(shí)，求x、y的值(需要寫出必要的解答過程)

探究3：〃=3時(shí)

若/3=Nx+/y,請(qǐng)直接寫出x、y的值所有可能的組合：.

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】

如圖2,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,連接點(diǎn)A與B,Bi,記NAB。

為Nl,ZAB2O為N2,…，以此類推，記NAB,。為/〃，記乙4反。為/尤，

記NAB.、。為Ny.若N〃=Nx+Ny(〃、尤、y均為正整數(shù)且〃VxVy),

請(qǐng)直接寫出小x、y滿足的關(guān)系式：(小x、y均為正整數(shù)且n<x<y\

【應(yīng)用規(guī)律】

如圖4,連接Aa,AB5,則tanN83A以=

23.(12分)如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,Z￡>=90°,AB=16cm,CD

=8cm,DA=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A。方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,

同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,過點(diǎn)P作

PELACE,垂足為點(diǎn)E,分別連接PC、CQ、EQ.(0V/W6).

(1)如果以A、E、Q為頂點(diǎn)的三角形與以8、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，

求t的值；

(2)設(shè)四邊形PCQE的面積為y,求y與/的函數(shù)關(guān)系式；

2021-2022學(xué)年山東省青島市市北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出

標(biāo)號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.每小題選對(duì)得分：不

選、選錯(cuò)或選出的標(biāo)號(hào)超過一個(gè)的不得分.

1.（3分）在同一時(shí)刻的太陽(yáng)光下，小剛的影子比小紅的影子長(zhǎng)，那么，在晚上

同一路燈下（）

A.不能夠確定誰(shuí)的影子長(zhǎng)

B.小剛的影子比小紅的影子短

C.小剛跟小紅的影子一樣長(zhǎng)

D.小剛的影子比小紅的影子長(zhǎng)

【解答】解：在同一路燈下由于位置不同，影長(zhǎng)也不同，

所以無法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng).

故選：A.

2.（3分）在RtAABC中，ZC=90°，已知NA及邊8C=a,則的斜

邊長(zhǎng)應(yīng)為（）

A.asiihAB.---C.acosAD.---

sinAcosA

【解答】解：在中，ZC=90°,已知NA及邊

sinAsinA

???RtZ\A8C的斜邊長(zhǎng)應(yīng)為：F—,

sinA

故選：B.

3.（3分）已知點(diǎn)（幻、p）、（X2、中）都在反比例函數(shù)y」的圖象上，且XI<尤2

X

<0,則下列不等關(guān)系中正確的是（）

A.y2Vyi〈0B.yiVy2VoC.yi>y2>0D.y2>yi>0

【解答】解：?.?仁l>0,

.?.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

又〈龍2<0,

可得yzVyiVO,

故選：A.

4.（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

【解答】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形是矩形，矩形中間有一條縱

向的實(shí)線，實(shí)線的兩側(cè)有兩條縱向的虛線.

故選：D.

5.（3分）如圖，是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體

AB的高度為36c加，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應(yīng)為（）

?0rm

A.16c/??B.8cmC.24cmD.4cm

【解答】解：.??AB〃CD

/.AABO^ACDO

???AB—=.45.

CD20

又?；AB=36

：.CD=16.

故選：A.

6.（3分）如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測(cè)得水面寬48=16",涵洞頂

點(diǎn)。與水面的距離CO是2加，則當(dāng)水位上升1.5加時(shí)，水面的寬度為（）

A.0.4/77B.0.6mC.0.8mD.\m

【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系,

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為丁=加，

A點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該是（-0.8,-2）,

那么-2=0.8X0.8Xfl,

即a=-匹，

8

故尸-型V2；

8

當(dāng)y=-0.5時(shí)，-0.5=-2^-x2,

8

解得x=±0.4,

.,?水面的寬度為0.8m.

故選：C.

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A3C與的位似中心是原點(diǎn)0,

已知點(diǎn)A（1,0）,B（3,0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

A.(6,0)B.(7,0)C.(9,0)D.(10,0)

【解答】解：連接OE,

AABC與ABDE的位似中心是原點(diǎn)O,

.?.點(diǎn)C在0E上，

?.?點(diǎn)A(1,0),B(3,0),

OA=1,OB=3,

,/AABC與△BOE是位似圖形,

.,.AC//BE,BC//DE,

PCOAX05=00,

A**0E=OB=丁而OE,

3=1,

0D3

解得：。。=9,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)是(9,0),

8.（3分）已知一次函數(shù)y=or+c與反比例函數(shù).丫=婦在同一平面直角坐標(biāo)系中

X

的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=^2+&+c的圖象可能是（）

【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b<0,c<0,

...二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=--L>0,與y軸的交

2a

點(diǎn)在y軸負(fù)半軸.

故選：B.

二、填空題：（本題滿分18分，共6小題，每小題3分）

9.（3分）計(jì)算tan60°+2cos45°的結(jié)果為

【解答】解：tan60°+2cos45°

=V^2X返

2

故答案為：V3+V2.

10.（3分）一個(gè)不透明袋子中裝有30個(gè)小球，這些球除顏色外都相同，某課外

學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回?cái)?/p>

勻，并重復(fù)該過程，獲得數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)200300400100016002000

摸到白球的頻數(shù)7293130334532667

摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335

該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，由此估算出紅球個(gè)

數(shù)是10個(gè).

【解答】解：由題意摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是0.3335,

由此估出紅球有30X0.3335心10（個(gè)）.

故答案為：10.

11.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0A8C的面積為16,點(diǎn)8在y軸

上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=K的圖象上，則k的值為-8.

【解答】解：連接AC,交y軸于點(diǎn)。,

?.?四邊形ABCO為菱形，

：.AC±OB,KCD=AD,BD=OD,

???菱形048。的面積為16,

...△COO的面積為4,

.?.因=8,

?反比例函數(shù)圖象位于第二象限，

：.k<0,則4=-8,

故答案為：-8.

12.（3分）在小提琴的設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會(huì)引入黃金分割的概念.如圖，一架小提

琴中AC、8C、AB各部分長(zhǎng)度的比滿足或整，則三亞.

BCABAB_2—

B

【解答】解：???點(diǎn)C把線段A8分成兩部分，星_=區(qū),

BCAB

:.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且BOAC,

:.BC=^XAB,

2_

：.AC=AB-BC=^&AB,

2

>AC=3-75

3-正）

故答案為:

~2~

13.（3分）研究發(fā)現(xiàn)：近視眼鏡的度數(shù)y（度）與近視眼焦距x（c〃z）的關(guān)系如

表：

焦距x…10202550…

（cm）

度數(shù)y（度）…1000500400200…

已知y與x的函數(shù)關(guān)系是我們學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)中的一

種，則v與尤的函數(shù)關(guān)系式是y=39.

【解答】解：由表格中兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值可得,

10X1000=10000=20X500=400X25=50X200=10000,

所以y與x成反比例關(guān)系，

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為＞=1000°,

故答案為：y=也咽

14.（3分）如圖，已知正方形ABC。，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E使連接CE、

DE,DE與BC交于點(diǎn)N,取CE的中點(diǎn)F,連接BF,AF,AF交BC于點(diǎn)M,

交0E于點(diǎn)。，則下列結(jié)論：

①DN=EN；②OA=OE；③CN：MN：BM=3：1：2；@tanZCED=l；⑤S

四邊彩BEFM=2sAeMF.

其中正確的是①③④⑤.（只填序號(hào)）

【解答】解：???四邊形A8CO為正方形，AB=BE,

：.AB=CD=BE,AB//CD,

:ANCDsANBE,

；iDN_CD=CN=1；

"NE"BENB，

：.CN=BN,DN=EN,故①正確;

如圖，連接AN,

,:DN=NE,ND4E=90°,

：.AN=NE,

'：AO>AN,NE>OE,

：.AO>OE,故②錯(cuò)誤；

VZCBE=90°,BC=BE,/是CE的中點(diǎn)，

：.ZBCE=45°,BF=LCE=?BE,FB=FE,BF1EC,

22

:.NBCE=900+45°=135°,NFBE=45°,

/.ZABF=135°,

ZABF=AECD,

??DC二料二BE.

?CE^"AB"

△ABFsAECD,

...ZCED=ZFBG,

如圖，作FG_LAE于G,則FG=3G=GE,

???F-G-~1>

AG3

AtanZMG=mL,

AG3

：.tanZCED=X,故④正確；

3

VtanZMG=1,

3

"AB3’

???B-M=--1,

MC2

SAFBM=XAFCM，

2

?.?/是CE的中點(diǎn)，

??S/sFBC=S&FBE,

S四邊形BEFM=2SACMF,故⑤正確；

??BM1

.而至，

.?.設(shè)BM=2x,MC=4x,

?**BC=6x9

:?CN=BN=3x,

:.MN=x,

：.CN：MN：BM=3：1：2,故③正確;

故答案為：①③④⑤.

三.作圖題（本題滿分6分）請(qǐng)用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕

跡.

15.（6分）已知：如圖，線段a和Na.求作：矩形ABCD,使4B=a,/CAB

=Za.

【解答】解：如圖，矩形ABC。為所作.

a

四.解答題（本題共8道小題，滿分72分）

16.（10分）（1）解方程：2?-4%=3；

（2）若關(guān)于x的一元二次方程/-如+a-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求。的

值.

【解答】解：（1）2f-4x=3,

x2-2X=3,

2

x2-2x+]=_l+L

2

（X-1）2=皂,

2

X-1=+2ZI2.,

2_

所以Xl=l+1^,X2=l-Y^；

22

（2）根據(jù)題意得△=a2-4（a-1）=0,

解得“1=42=2,

即a的值為2.

17.（6分）小明和小亮用如圖所示的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻的轉(zhuǎn)盤做游戲（甲

轉(zhuǎn)盤被平均分成五份，乙轉(zhuǎn)盤被平均分成三份），任意轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次（如

果指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗?

（1）求甲轉(zhuǎn)盤指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率；

（2）若轉(zhuǎn)得的兩個(gè)數(shù)字之和為3、4或5,則小明勝，否則小亮勝，這個(gè)游戲

對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法說明理由.

【解答】解：(1)甲轉(zhuǎn)盤指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率為2；

5

(2)此游戲不公平,

理由：列表如下：

123

1234

2345

3456

4567

5678

由表可知，共有15種等可能結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為3,4或5的有8種

結(jié)果，兩次數(shù)字之和不是3,4或5的有7種結(jié)果，

所以小明獲勝的概率為旦，小亮獲勝的概率為工，

1515

...此游戲不公平.

18.(6分)如圖，在一塊長(zhǎng)13〃?，寬7加的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相

垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分栽種花草，若栽

種花草的面積是55/,則道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少〃z?

【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米,

由題意得，(13-%)(7-%)=55.

解得x=2或尤=18（舍去）.

答：道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為2〃?.

19.（8分）某數(shù)學(xué)測(cè)量小組準(zhǔn)備測(cè)量體育場(chǎng)上旗桿A8的高度.如圖所示，觀禮

臺(tái)斜坡CD的長(zhǎng)度為10米，坡角為26.5°,從斜坡的最高點(diǎn)。測(cè)得旗桿最高

點(diǎn)A的仰角為37°,斜坡底端。與旗桿底端8的距離是9米，求旗桿的

高度.（結(jié)果保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：sin26.5°^J-,cos26.5°^J-,tan26.5°^l,sin37°心與，cos37°

201025

心匡，tan37°七旦.

54

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CELA8于點(diǎn)E,作CFLBD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

在RtAC。/7中，ZCDF=26.5°,CO=10米，

.*.CF=CDXsin26.5°^10X_L=4.5（米），DF=CD?cosZCDF^10X_L=

2010

9（米），

：.BF=BD+DF=9+9=\S（米），

由題意得四邊形ECFB是矩形，

：.CE=BF=1S米，

.*.AE=C￡*tan37o^18x2=13.5(米)，

4

：.AB=AE+BE=13.5+4.5=18(米)，

答：旗桿AB的高度為18米.

20.(8分)如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是邊3C的中點(diǎn)，連接。。并

延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接B。，EC.

(1)求證：△BOE四△COD；

(2)若BC平分NDBE,請(qǐng)判斷并證明四邊形3ECO的形狀.

【解答】(1)證明：?.?四邊形A8CO為平行四邊形,

J.AB//DC,AB=CD,

.".ZOEB=ZODC,

又?.?。為的中點(diǎn)，

：.BO=CO,

在△80E和△C。。中，

"Z0EB=Z0DC

-ZB0E=ZC0D?

BO=CO

.?.△80年△COO(AAS)；

(2)解：四邊形BECO是菱形；

證明：'：ABOE^ACOD,

：.OE=OD,BO=CO,

四邊形BECD是平行四邊形，

'：AE//CD,

：.ZBCD=ZCBE,

?.?BC平分NDBE,

:./DBC=ZCBE,

:.NDBC=ZDCB,

：.BD=DC,

四邊形BEC。是菱形.

21.(10分)為建立防控疫情的綠色長(zhǎng)城，需要人人自覺養(yǎng)成“戴口跟、少聚集、

勤消毒”的習(xí)慣.某品牌酒精消毒液的出廠價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)，價(jià)格由每箱50

元降為32元.當(dāng)出廠價(jià)降至每箱32元后，某批發(fā)商從該廠家購(gòu)進(jìn)一批這種

消毒液，試銷中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每箱售價(jià)為40元時(shí)，周銷量為600箱，且每箱的售

價(jià)每漲5元，周銷量就減少50箱.

(1)已知出廠價(jià)兩次降價(jià)的百分率相同，直接寫出這個(gè)百分率為20%；

(2)求出售這種消毒液一周的總獲利W(元)與每箱售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)

系式；

(3)若要使該消毒液一周的銷售額不低于24000元，且獲利最多，求每箱售

價(jià)應(yīng)為多少元.

【解答】解：(1)設(shè)降價(jià)的百分率是x,

由題意得，50(1-%)2=32,

解得xi=0.2,X2=-1.8(舍去)，

答：降價(jià)的百分率是20%,

故答案為：20%；

(2)由題意得，

W=(x-32)[600-50G-40)]

5

=(x-32)(1000-10x)

=-10/+1320X-32000,

答：總獲利W(元)與每箱售價(jià)無(元)的函數(shù)關(guān)系式為W=-10^+1320x-

32000；

(3)x(1000-10x)<24000,

解得40WxW60,

VW=-10^+1320^-32000=-10(x-66)2+11560,

.?.當(dāng)x=60時(shí),W最大=11200(元)；

答：每箱售價(jià)應(yīng)為60元.

22.（12分）【基本模型】

條件：如圖1,已知N1為△A3。的外角，點(diǎn)。為8。上一點(diǎn)，AB2=3C?8。.

結(jié)論N1=N2+N3.

證明：

?；AB2=BC?BD,

???—BC='AB.?

ABBD

又,:NABD為AABC與ADBA的公共角，

AABC^ADBA.

：.ZBAC=Z3

XVZ1是△ABC的外角，

/.Z1=Z2+ZBAC.

/.Z1=Z2+Z3.

提煉方法：在圖1的幾何模型中，只需滿足則N1=N2+N3.

【提出問題】

如圖2,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,連接點(diǎn)A與B,Bi,記NABO

為N1,乙4及。為N2,以此類推，記NABQ為N〃，記NA8Q為Nx,

記NAByO為Ny.若N〃=Nx+Ny（〃、尤、y均為正整數(shù)且〃VxVy）,則〃、x、

y的值滿足什么關(guān)系？

【探究問題】

為了解決上面的問題，我們不妨從簡(jiǎn)單而又特殊的情況開始研究，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)

方法的提煉，歸納與發(fā)現(xiàn).

探究1：n=\時(shí)，

如圖2,我們借助“基本模型”中結(jié)論的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)Nl、Nx、

Ny之間角度關(guān)系的研究，可以借助對(duì)AB1、B?、之間長(zhǎng)度關(guān)系的研究.

只需滿足AB；=B島則有Nl=Nx+Ny.

如圖3,由勾股定理得：A%=加，

(五)2=]X2,

由于線段①反、3區(qū)的長(zhǎng)是正整數(shù)，且〃VxVy,

B\By=2,對(duì)照?qǐng)D形，容易發(fā)現(xiàn)：

，〃=1時(shí)，卜=2,NI=/2+N3,2=(x-1)(y-1)

Iy=3

即：當(dāng)〃=1時(shí)，x、y的值滿足關(guān)系式為2=(x-1)(y-1).

探究2：〃=2時(shí)，求x、y的值(需要寫出必要的解答過程)

探究3：〃=3時(shí)

若N3=Nx+Ny,請(qǐng)直接寫出x、y的值所有可能的組合:x=4x=5

y=13y=8

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】

如圖2,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,連接點(diǎn)A與Bi,記NABiO

為Nl,NAB2O為N2,以此類推，記NA&。為N〃，記NA8Q為Nx,

記NAB。為Ny.若N〃=Nx+Ny(小元、y均為正整數(shù)且〃VxVy),

請(qǐng)直接寫出幾、龍、y滿足的關(guān)系式：幾=寫-〃)?(y-層-1)("、X、y

【應(yīng)用規(guī)律】

如圖4,連接A&,ABs,則tanN33AB5=1

-8-

222

【解答】解：探究2,?.?由勾股定理得：AB2=l+2=5,ABp=B2Bx?B2By,

/.BiBx=1,BiBy=5,

「?x=3,y=7；

探究3,?:B3BX?B3B>=l2+32=10,

10=1X10或10=2X5,

.??x=3+l=4,y=3=10=13,

或x=3+2=5,y=3+5=8,

故答案是：fx=4或fx=5；

ly=131y=8

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】vA&=12+〃2=1+〃2=1?(/+1),

.?.x=〃+l,y=〃+/?+l,

(x-1)?(>-層-i),

故答案是：n=(x-層-i)；

【應(yīng)用規(guī)律】由探究3知：NA&B5=N4?8。，

tanZAB3B5=tanZABsO==—,

0B88

故答案是：1.

8

23.(12分)如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,ZD=90°,AB=16cm,CD

=Scm,DA=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A。方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為

同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,過點(diǎn)P作

PE.LACE,垂足為點(diǎn)E,分別連接PC、CQ、EQ.(0</<6).

(1)如果以A、E、。為頂點(diǎn)的三角形與以8、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，

求/的值；

(2)設(shè)四邊形PC0E的面積為y,求y與［的函數(shù)關(guān)系式；

【解答】解：(1)如圖1,作于點(diǎn)E則NAFC=90°,

'：AB//CD,ZD=90°,

：.ZDAF=1800-ZD=90°,