概率統(tǒng)計與矩陣分析

概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量的分布分布函數(shù)F(X)：F(x)表示隨機變量X落在區(qū)間(－∞，x]上的概率。隨機變量：離散型、非離散型〔連續(xù)型、奇異型〕離散型隨機變量分布：0－1分布、二項分布、泊松分布連續(xù)型隨機變量分布：均勻分布(uniformdistribution)、正態(tài)分布〔高斯分布normalorGaussiandistribution〕、指數(shù)分布(exponentialdistribution)正態(tài)分布，X的分布密度函數(shù)指數(shù)分布，X的分布密度函數(shù)X的分布函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望〔平均值〕〔反映統(tǒng)計變量自身特征〕數(shù)學期望的性質(zhì)〔X、Y相互獨立〕方差〔variance〕〔反映統(tǒng)計變量自身特征〕標準差〔均方差〕方差的性質(zhì)協(xié)方差〔convariance〕和相關(guān)系數(shù)〔反響統(tǒng)計變量之間的關(guān)系〕協(xié)方差的性質(zhì)〔柯西施瓦茲不等式〕協(xié)方差與X，Y量綱有關(guān)，為更好地反映隨機變量X，Y之間的關(guān)系，引入相關(guān)系數(shù)，X，Y獨立，那么不相關(guān)。X，Y不相關(guān)，那么不一定獨立?！瞂，Y〕服從二維正態(tài)分布時，X和Y不相關(guān)，那么X與Y獨立。反之亦然。矩和協(xié)方差矩陣數(shù)學期望、方差、協(xié)方差均可以看作矩的特例X的k階原點矩X的k階中心矩二維隨機向量〔X，Y〕X，Y的〔k+l〕階混合原點矩X，Y的〔k+l〕階混合中心矩隨機向量〔X，Y〕的協(xié)方差矩陣，即為它們的4個二階中心矩。假設〔X，Y〕~，那么〔X，Y〕的協(xié)方差矩陣為矩陣行列式性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等互換行列式兩行〔列〕，行列式變號如果行列式有兩行〔列〕相同，那么行列式為零行列式的某一行〔列〕同乘一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式行列式中如果兩行元素成比例，那么行列式為零如果行列式中某一行〔列〕元素都是兩數(shù)之和，那么行列式等于該兩數(shù)列分別形成行列式之和把行列式某一行〔列〕乘一數(shù)加到另一行〔列〕對應元素上，行列式值不變正定矩陣的判定A為實對稱陣n×n←→對任意向量x有，x’Ax>0〔定義〕←→A的所有特征值都是正數(shù)←→存在非奇異陣P，使得A＝P’P←→各階順序主子矩陣都是正定矩陣〔由定義推得〕實對稱矩陣的正負定性質(zhì)A>0→tr(A)>λi(i=1,…,n)A≥0→tr(A)≥0(i=1,…,n)A>0→A-1>0A>0→任一n階非奇異陣C，C’AC>0A≥0→任一n×m矩陣C，C’AC≥0克羅內(nèi)克(kronecker)積,ordirectproduct,tenserproduct,kroneckerproducct這種乘積不受矩陣行數(shù)和列數(shù)的限制。定義：，，那么為A的克羅內(nèi)克積，或稱A與B的直積，或張量積tensorproduct，記為。性質(zhì)，，的mp個特征值，對應的特征向量相似于克羅內(nèi)克(kronecker)和矩陣的特征值是，特征向量是元素為1或－1的矩陣，，那么H稱為n階哈達馬矩陣。矩陣拉直運算matrixstraightoperator，，，，一般線性矩陣方程通過矩陣拉直，可以求解未知矩陣X，以上方程轉(zhuǎn)化為，矩陣方程有唯一解的充要條件是矩陣方程有唯一解的充要條件是函數(shù)f(x)在x+Δ處的泰勒展開Fourier變換正變換逆變換Matlab內(nèi)建傅立葉變換公式正變換逆變換clc;clear;Fs=1000;%SamplingfrequencydT=1/Fs;%SampletimeL=1000;%Lengthofsignalt=(0:L-1)'*dT;%Timevector%Sumofa50Hzsinusoidanda120Hzsinusoidx=0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(size(t));%2^NFFT>=abs(L)NFFT=2^nextpow2(L);%Nextpowerof2fromlengthofyY=fft(y,NFFT);Ynew=ifft(Y,NFFT);y(end+1:NFFT,1)=0;fork=1:NFFTY1(k,1)=sum(y(1:NFFT).*exp(-i*2*pi*(0:NFFT-1)'*(k-1)/NFFT));endforj=1:NFFTynew1(j,1)=sum(Y1(1:NFFT).*exp(i*2*pi*(0:NFFT-1)'*(j-1)/NFFT))/NFFT;endf=Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);%Plotsingle-sidedamplitudespectrum.plot(f,2*a