貴州省都勻市第一中學2024屆高三第三次模擬考試數學試卷含解析

貴州省都勻市第一中學2024屆高三第三次模擬考試數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．2．已知實數滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．43．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．等比數列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．5．我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻．這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．6．函數（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．7．已知集合，，，則的子集共有（）A．個 B．個 C．個 D．個8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．9．若函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知復數（為虛數單位）在復平面內對應的點的坐標是（）A． B． C． D．11．關于函數，下列說法正確的是（）A．函數的定義域為B．函數一個遞增區(qū)間為C．函數的圖像關于直線對稱D．將函數圖像向左平移個單位可得函數的圖像12．將函數的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖像如圖所示，則該函數的最小正周期為________.14．若，則的最小值為________.15．若,則=______,=______.16．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數k使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）在極坐標系中，曲線的方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸建立直角坐標，直線的參數方程為（為參數），與交于，兩點．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）設點；若、、成等比數列，求的值19．（12分）已知函數.（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數a的取值范圍；（2）若函數f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.20．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為和，右頂點為，且，短軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）若過點作垂直軸的直線，點為直線上縱坐標不為零的任意一點，過作的垂線交橢圓于點和，當時，求此時四邊形的面積.21．（12分）數列的前項和為，且.數列滿足，其前項和為.（1）求數列與的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22．（10分）隨著現代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強.現某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項，又由，所以．故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質，以及對數的比較大小問題，其中解答熟記三角函數與對數函數的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．3、B【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.【詳解】根據三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎題.4、D【解析】試題分析：由于在等比數列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數列．5、D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發(fā)生.6、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題．7、B【解析】

根據集合中的元素，可得集合，然后根據交集的概念，可得，最后根據子集的概念，利用計算，可得結果.【詳解】由題可知：，當時，當時，當時，當時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數的計算，當集合中有元素時，集合子集的個數為，真子集個數為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎題.8、A【解析】

根據題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題．9、A【解析】試題分析：由題意得有兩個不相等的實數根，所以必有解，則，且，∴．考點：利用導數研究函數極值點【方法點睛】函數極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數極值的情況.先找導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數符號.（2）已知函數求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側的符號―→下結論.（3）已知極值求參數.若函數f（x）在點（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點左、右兩側的導數值符號相反.10、A【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，求得的坐標得出答案.【詳解】解：，在復平面內對應的點的坐標是.故選：A.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．11、B【解析】

化簡到，根據定義域排除，計算單調性知正確，得到答案.【詳解】，故函數的定義域為，故錯誤；當時，，函數單調遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內，故錯誤.平移得到的函數定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數單調性，定義域，對稱，三角函數平移，意在考查學生的綜合應用能力.12、B【解析】

首先根據函數的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當時，最小值為，故選B.【點睛】該題考查的是有關三角函數的周期與函數圖象平移之間的關系，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據圖象利用，先求出的值，結合求出，然后利用周期公式進行求解即可．【詳解】解：由，得，，，則，，，即，則函數的最小正周期，故答案為：8【點睛】本題主要考查三角函數周期的求解，結合圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵．14、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件?！驹斀狻坑深}意，，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。15、10【解析】

①根據換底公式計算即可得解；②根據同底對數加法法則，結合①的結果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數的基本運算，涉及換底公式和同底對數加法運算，屬于基礎題目.16、【解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，當時，以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O.【解析】

（1）設橢圓的焦半距為，利用離心率為，橢圓的長軸長為1．列出方程組求解，推出，即可得到橢圓的方程．（2）存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點．設點，，，，將直線的方程代入，化簡，利用韋達定理，結合向量的數量積為0，轉化為：．求解即可．【詳解】解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，解得，所以，故所求橢圓C的方程為（2）存在實數k使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O.理由如下：設點，，將直線的方程代入，并整理，得.（*）則，因為以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O，所以，即.又，于是，解得，經檢驗知：此時（*）式的，符合題意.所以當時，以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O【點睛】本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質，直線與橢圓位置關系的綜合應用，考查計算能力以及轉化思想的應用，屬于中檔題.18、(1)曲線的直角坐標方程為，直線的普通方程為；(2)【解析】

(1)由極坐標與直角坐標的互化公式和參數方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；(2)把的參數方程代入拋物線方程中，利用韋達定理得，，可得到，根據因為，，成等比數列，列出方程，即可求解．【詳解】(1)由題意，曲線的極坐標方程可化為，又由，可得曲線的直角坐標方程為，由直線的參數方程為（為參數），消去參數，得，即直線的普通方程為；(2)把的參數方程代入拋物線方程中，得，由，設方程的兩根分別為，，則，，可得，．所以，，．因為，，成等比數列，所以，即，則，解得解得或（舍），所以實數.【點睛】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程，以及參數方程與普通方程的互化，以及直線參數方程的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用直線的參數方程中參數的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出，判斷函數的單調性，求出函數的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對分和兩種情況討論，構造函數，利用放縮法和基本不等式證明結論．【詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，.若，則，令在上單調遞增，，.又，在上單調遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點睛】本題考查利用導數解決不等式恒成立問題，利用導數證明不等式，屬于難題.20、（1）（2）【解析】

（1）依題意可得，解方程組即可求出橢圓的方程；（2）設，則，設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，設，，列出韋達定理，即可表示，再根據求出參數，從而得出，最后由點到直線的距離得到，由即可得解；【詳解】解：（1）∵，∴解得，∴橢圓的方程為.（2）∵，∴可設，∴.∵，∴，∴設直線的方程為，∴，∴，顯然恒成立.設，，則，，∴.∴，∴，∴解得，解得，∴，，∴.∵此時直線的方程為，，∴點到直線的距離為，∴，即此時四邊形的面積為.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．21、（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導出數列為等比數列，確定該數列的公比，利用等比數列的通項公式可求得數列的通項公式，再利用對數的運算性質可