求體積的幾種常用方

求體積的幾種常用方法體積的求解與計(jì)算是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其方法靈活多樣，而分割、補(bǔ)性和等體積法轉(zhuǎn)化是中學(xué)常見(jiàn)的幾種求體積的方法，其中分割、補(bǔ)形也稱(chēng)為割補(bǔ)法。1、分割法對(duì)于給出的一個(gè)不規(guī)那么的幾何體，不能直接套用公式,常常需要運(yùn)用分割法,按照結(jié)論的要求，將原幾何體分割成假設(shè)干個(gè)可求體積的幾何體，然后再求和．例1：如圖1，在多面體ABCDEF中，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，，EF與面AC的距離為2，,那么該多面體的體積為〔〕.圖1B、5C、6D、解析：方法一：圖2如圖2，連接EB、EC、AC。那么四棱錐E-ABCD的體積。方法二：圖3如圖3，設(shè)G、H分別為AB、DC的中點(diǎn)，那么EG∥FB，GH∥BC，得棱柱EGH-FBC.由題意，得方法三：有方法一知，，故多面體的體積大于6，四個(gè)選項(xiàng)只有D適合。例2：如圖4，直三棱柱的體積為V，點(diǎn)Ｐ、Ｑ分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，求四棱錐的體積。圖４分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC的面積都不易求得，因此考慮將四棱錐B-APQC分割后求解。解：如圖4，連接PC，將四棱錐B-APQC分割成兩個(gè)三棱錐B-APC和B-PCQ，因此連接AQ，因?yàn)樗匀忮FB-PCQ的體積。又所以。補(bǔ)形法補(bǔ)形法是把不規(guī)那么的幾何體補(bǔ)成規(guī)那么的幾何體，便于計(jì)算其體積。常見(jiàn)的補(bǔ)形方法有：〔1〕將正四面體補(bǔ)成正方體。〔2〕將相對(duì)棱長(zhǎng)相等的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體。〔3〕將三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體，如下圖，?！?〕將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體。〔5〕將三棱柱補(bǔ)成平行六面體。〔6〕將臺(tái)體補(bǔ)成椎體例3：如圖，將兩個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為5和12的直角三角形對(duì)接成三棱錐A-BCD，其中AC=BD=5，BC=12，作，求三棱錐A-BCD的體積。解：作，將原圖形補(bǔ)形為直三棱柱，那么有。又知，那么故。例4：三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為3,4,5.求該三棱錐外接球的體積。解：將三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，〔如上圖所示〕，那么兩兩垂直的三條側(cè)棱就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)就是三棱錐的外接球的直徑。設(shè)三棱錐外接球的直徑為2R，那么所以球的體積。3、等積變換法等積變換法也稱(chēng)等積變形法或等積轉(zhuǎn)化法，它是通過(guò)選擇適宜的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法。求三棱錐的體積時(shí)可采用此方法。例5：如圖。在直三棱柱的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是,截面相交于DE，求三棱錐的體積。解：又，即例6：如圖1所示，在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，，試求三棱錐的體積．分析：假設(shè)用公式直接計(jì)算三棱錐的體積，那么需要求出的面積和該三棱錐的高，這兩者顯然都不易求出，但假設(shè)將三棱錐的頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)換一下，變?yōu)榍笕忮F的體積，便能很容易的求出其高和底面的面積，從而代入公式求解．圓的方程1、圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線(xiàn)，A、B為倆切點(diǎn)，那么的最小值為〔〕(A)(B)(C)(D)2、球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，．假設(shè)，那么兩圓圓心的距離．3、過(guò)三點(diǎn)A〔1,3〕，B〔4,2〕，C〔1,-7〕的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn)，那么=〔A〕2〔B〕8〔C〕4〔D〕104、點(diǎn)，圓:，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).〔1〕求的軌跡方程；〔2〕當(dāng)時(shí)，求的方程