3.1.1函數(shù)的概念(1)課件高一上學期數(shù)學人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念(1)內(nèi)容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.在初中用變量之間的對應關(guān)系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.3.正確使用函數(shù)、區(qū)間符號．活動方案活動一探究函數(shù)的概念問題1某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內(nèi)，列車行進的路程s(單位：km)與運行時間t(單位：h)的關(guān)系可以表示為s＝350t.這里，t和s是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，s都存在唯一確定的值與之對應，所以s是t的函數(shù)．思考1???根據(jù)對應關(guān)系s＝350t，可知這趟高速列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km，這個說法正確嗎？【解析】

不正確．因為根據(jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350km/h運行半小時后的情況，所以上述說法不正確，其原因是沒有關(guān)注到t的變化范圍．對應關(guān)系應為s＝350t，其中t∈A1＝{t|0≤t≤0.5}，s∈B1＝{s|0≤s≤175}．問題2某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w(單位：元)是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？【解析】

工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù)，對應關(guān)系為ω＝350d，其中d∈A2＝{1,2,3,4,5,6}，ω∈B2＝{350,700,1050，1400，1750，2100}．思考2???在問題1和問題2中的函數(shù)有相同的對應關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？【解析】

不是同一函數(shù)．因為自變量的取值范圍不一樣．問題3如圖是某市某日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖．如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？【解析】

從曲線圖可知，t的變化范圍是數(shù)集A3＝{t|0≤t≤24}，空氣質(zhì)量指數(shù)的值I都在數(shù)集B3＝{I|0<I<150}中，對于數(shù)集A3中的任一時刻t，按照圖中曲線所給定的對應關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I與之對應．因此，這里的I是t的函數(shù)．年份y20122013201420152016恩格爾系數(shù)r(%)32.030.130.029.729.3年份y20172018201920202021恩格爾系數(shù)r(%)28.627.727.629.228.6【解析】

由表格可知，y的取值范圍是數(shù)集A4＝{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021}，r的取值范圍是數(shù)集B4＝{r|0<r≤1}，對于數(shù)集A4中的任意一個年份y，根據(jù)表中所給定的對應關(guān)系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應，所以恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)．思考3???上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？【解析】

共同特征有：①都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；②都有一個對應關(guān)系；③盡管對應關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．思考4???如何用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)？【解析】

設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域．思考5???f(a)表示什么意思？f(a)與f(x)有什么區(qū)別？【解析】

一般地，f(a)表示當x＝a時的函數(shù)值，是一個常量．f(x)表示自變量x的函數(shù)，一般情況下是變量．思考6???函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請你說出上述四個問題的值域？【解析】

函數(shù)的值域是集合B的子集．在問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；在問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集．思考7???一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的定義域、對應關(guān)系和值域各是什么？請用函數(shù)定義描述這個函數(shù)．【解析】

一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的定義域是R，值域也是R.對應關(guān)系f把R中的任意一個數(shù)x，對應到R中唯一確定的數(shù)ax＋b(a≠0)．思考8???二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域、對應關(guān)系和值域各是什么？請用函數(shù)定義描述這個函數(shù)．例

1函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫同一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律．例如，正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)可以用來刻畫勻速運動中的路程與時間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長與半徑的關(guān)系等．試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)＝x(10－x)來描述．注意點：(1)函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對應；(2)符號“f：A→B”表示集合A到集合B的一個函數(shù)，它有三個要素：定義域、值域、對應關(guān)系，三者缺一不可；(3)集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性；(4)f表示對應關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣；(5)f(x)是一個符號，絕對不能理解為f與x的乘積；(6)在研究函數(shù)時，除用符號f(x)表示函數(shù)外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示．設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：(1)滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫作閉區(qū)間，表示為[a，b]；(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫作開區(qū)間，表示為(a，b)；(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫作半開半閉區(qū)間，表示為[a，b)或(a，b]．這里的實數(shù)a，b叫作相應區(qū)間的端點．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，把“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．活動二區(qū)間的概念思考10???如何用區(qū)間分別表示滿足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的實數(shù)x的集合？

【解析】

用區(qū)間分別表示為[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．1.區(qū)間(a，b)，必須有b>a.2.區(qū)間只能表示數(shù)集．3.區(qū)間不能表示單元素集．4.區(qū)間不能表示不連續(xù)的數(shù)集．5.區(qū)間的左端點必須小于右端點．6.區(qū)間都可以用數(shù)軸表示．7.以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間的一端時，這一端必須是小括號．活動三探究函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝2x＋3；【解析】

函數(shù)y＝2x＋3的定義域為R.函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定．如果只給出解析式y(tǒng)＝f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)x的集合．函數(shù)的定義域可用兩種方法表示：集合和區(qū)間．活動四同一函數(shù)的判斷【解析】

不是，

因為它們的對應關(guān)系不同．(4)f(x)＝x，x∈[0,1]，g(x)＝x2，x∈[0,1]．(3)y＝x0與y＝1(x≠0)；【解析】

由于y＝x0要求x≠0，且當x≠0時，y＝x0＝1，故y＝x0與y＝1(x≠0)的定義域和對應關(guān)系都相同，所以它們表示同一函數(shù)．(4)y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z.【解析】

y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z兩個函數(shù)的定義域相同，但對應關(guān)系不相同，故不表示同一函數(shù)．1.判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準則是兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系分別相同．2.如果要判斷的函數(shù)較為復雜，在定義域相同的條件下，可先化簡再比較．檢測反饋245131.(2022·江門高一期中)在下列四個圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(

)【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義可知，一個x只能對應一個y，所以A，B，C錯誤，D正確．【答案】D245132.(2022·北京朝陽區(qū)高一階段練習)若函數(shù)f(x)和g(x)分別由下表給出：

則g(f(1))的