大題創(chuàng)新題完整版煉-04-概率統(tǒng)計(jì)-沖刺2024高考數(shù)學(xué)（解析試卷）

大題創(chuàng)新題精煉04概率統(tǒng)計(jì)沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（解析試卷）1．【詳解】（1）設(shè)事件表示“該小組比賽勝利”，則；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布為：所以；（3）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，由（2）可知，，若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，則，則，因?yàn)椋?，，所以，即，所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲．2．【詳解】（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為，，，設(shè)甲得分不低于2分為事件A，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為Y，Y的可能取值為0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列為：Y0246P所以；（3）甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，故甲獲勝的可能性更大.3．【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，所有展區(qū)的企業(yè)數(shù)量為，其中“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為．所以所求概率為．（2）用事件A，，分別表示從3個(gè)展區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)展區(qū)為“環(huán)保展與智慧城市展”“環(huán)保展與高端裝備制造展”“智慧城市展與高端裝備制造展”，事件表示“采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)”，則．（3）“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為，“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為．易知所有可能的取值為0，1，2．所以，，．故的分布列為012則．4．【詳解】（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則.（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，；（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是，且，，設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，，，.5．【詳解】（1）因?yàn)?，易知，所以；又，因?yàn)?的指數(shù)，所以；（2）①若或，因?yàn)椋?；②若，且存在質(zhì)數(shù)，使得或的質(zhì)因數(shù)分解中包含，則的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含，所以，③若，且不存在②中的，可設(shè)，其中均為質(zhì)數(shù)，則，因?yàn)榛ベ|(zhì)，所以互不相等，所以，綜上可知（3）由于，所以可設(shè)，為偶數(shù)，的所有因數(shù)，除了1之外都是中的若干個(gè)數(shù)的乘積，從個(gè)質(zhì)數(shù)中任選個(gè)數(shù)的乘積一共有種結(jié)果，所以，所以．6．【詳解】（1）取個(gè)相同的球排成一行，這個(gè)球兩兩之間共有個(gè)空隙，用塊相同的隔板插入這個(gè)空隙，每個(gè)空隙最多插一塊隔板，則插入隔板的方法數(shù)為，這塊相同的隔板將個(gè)球分成組，從左到右各組的球數(shù)依次記為，則為正整數(shù)，且，故元一次方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.（2）令，則是方程的正整數(shù)解，由（1）知，方程的正整數(shù)解個(gè)數(shù)為，即方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為，同理可得，方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為，故元一次方程組的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.（3）先證明：成立，設(shè)，（*）令得，將（*）兩邊求導(dǎo)得，（**）令得，將（**）式兩邊求導(dǎo)得，（***）令得，將（***）式兩邊求導(dǎo)得

，令得，依次類推可得，所以成立，所以，，所以，而，所以.7．【詳解】（1）法1：記甲地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以．,法2：記甲地小白鼠樣本的X值為x1，x2，…，x120，平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本的X值為y1，y2，…，y90，平均數(shù)為，方差為．因?yàn)椋?，，．所以．由，，可得．同理，于是．?）法1：因?yàn)?，所以．從注射過疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．記，則．由等價(jià)于N101<0.32（N+1），當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)103≤N≤148時(shí)，α（N）<α（N+1）；當(dāng)N=149時(shí)，α（N）=α（N+1）；當(dāng)N>149時(shí)，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150時(shí)，α（N）最大，所以N的估計(jì)值為149或150．法2：因?yàn)?，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μσ≤X≤μσ）≈0.68．從注射過疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．若N=102，則．若N≥103，則化簡得解得149≤N≤150．綜上，N的估計(jì)值為149或150．（3）記n只小白鼠檢測費(fèi)用為Y元，當(dāng)n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=n+9，當(dāng)n只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=11n+9，則P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=10.991n．因此．因?yàn)閚≤50，所以．故，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)取等號(hào)．于是每只小白鼠平均檢測費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10．8．【詳解】（1）記，則，，，故；（2）①不滿足，理由如下：假設(shè)滿足，因?yàn)榈拿啃星∮腥齻€(gè)1，故中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè)，另一方面，從中任選兩列共有種可能，且對(duì)任意兩列，都恰有行使得這兩列的數(shù)均為1，故中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè)，所以，當(dāng)時(shí)，得，此方程無解，所以不滿足；②由①可得，即，下面考慮滿足，但的的個(gè)數(shù)：對(duì)中滿足和3的行，每行恰有兩組使且，所以滿足，但的的個(gè)數(shù)為，設(shè)數(shù)列中有項(xiàng)為項(xiàng)為0，滿足，但的的個(gè)數(shù)為，所以滿足，但的的個(gè)數(shù)為，所以，所以．9．【詳解】（1）記甲獲勝為事件，甲搶到3道題為事件，甲搶到2道題為事件，甲搶到1道題為事件，甲搶到0道題為事件，則，，，，而，，，，所以.（2）①，，，所以；因?yàn)?，由表中?shù)據(jù)可知，所以，.②因?yàn)槿≈迪嗷オ?dú)立，所以，所以；令得，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；即當(dāng)時(shí)取到最大值，從而.10．【詳解】（1）因?yàn)橘徺I單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．11．【詳解】（1）記事件為“監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，事件為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，（i）；（ii），則；（2），，由題意可得，即，令，，得，，故，，即，即，則，因?yàn)?，所以，所以，故，即，所以，?12．【詳解】（1）由，，，得相關(guān)系數(shù).（2）（?。┮李}意，，又，則，當(dāng)時(shí)，把換成，則，兩式相減，得，即，又，于是對(duì)任意都成立，從而是首項(xiàng)為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以；（ⅱ）由定義知，，而，顯然，于是，兩式相減得，因此，當(dāng)足夠大時(shí)，，，則，可認(rèn)為．所以該植物壽命期望的值是10.13．【詳解】（1）解：由題意，前3次的得分分別為20（對(duì)），40（對(duì)），10（錯(cuò)）或10（錯(cuò)），20（對(duì)），40（對(duì)），所以甲前3次答題的得分之和為70分的概率為.（2）解：（?。┘椎?次答題得分20分，10分的概率分別為，則，甲第2次答題得分40分，20分，10分的概率分別為，則，甲第3次答題得分80分，40分，20，10嗯分的概率分別為，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榧椎诖未痤}所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為，答錯(cuò)題所的分?jǐn)?shù)為分，其概率為，所以，可猜想：.（ⅱ）由（i）知數(shù)列是以15為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的最小值為.14．【詳解】（1）由題意可知：前4天管理停車場的順序?yàn)椤凹滓冶住被颉凹妆壹住?，所?（2）設(shè)事件表示“第天甲管理停車場”，事件表示“第天乙管理停車場”，事件表示“第天丙管理停車場”，可知，記，則，由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，可得，且，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，所以第天是甲管理停車場的概率為.（3）由題意可知：當(dāng)時(shí)，，，可得，兩式相減得：，且，可知，即，綜上所述：對(duì)任意恒成立，可知；令的前n項(xiàng)和為，則或，可得，可知，又因?yàn)?，則；綜上所述：.15．【詳解】（1）由題意知，．所以隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時(shí)無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．變形為．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）由（2）可得，則，所以．又因?yàn)?，所以．綜上，．16．【詳解】（1）記“從第個(gè)盒子中取到紅球”為事件，此時(shí)，，則；（2）因?yàn)椋?，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，符合題意，綜上，從第個(gè)盒子中取到紅球的概率為；（3）證明：易知的所有可能取值為1，2，此時(shí)，，則的分布列為：12所以，由于，故．17．【詳解】（1）因?yàn)榇羞@兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，且，所以的值為或；（?。┊?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，表格如下0123（ⅱ）由上表可知．當(dāng)或1時(shí)，參數(shù)的概率最大；當(dāng)或3時(shí)，參數(shù)的概率最大．所以；（2）由，則，令，即，故，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，取最大值，故，因此，用最大似然估計(jì)的參數(shù)與頻率估計(jì)概率的是一致的，故用頻率估計(jì)概率是合理的．18．【詳解】（1）每個(gè)芯片智能檢測中安全檢測、電池檢測、性能檢測三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)為事件.視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，則有，，，由對(duì)立事件的性質(zhì)及事件獨(dú)立性的定義得：，所以每個(gè)芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率為.（2）人工抽檢30個(gè)芯片恰有1個(gè)不合格品的概率為（），因此令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn).（3）設(shè)芯片