江蘇省專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)第六章級(jí)數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)例題講解(含答案)

第六章級(jí)數(shù)本章主要知識(shí)點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂定義及性質(zhì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法冪級(jí)數(shù)一、級(jí)數(shù)收斂的定義及性質(zhì)定義：收斂〔有限〕(+)性質(zhì)：①必要條件②與收斂，那么收斂③收斂，發(fā)散，必發(fā)散④發(fā)散，發(fā)散，不能確定⑤＝⑥收斂，當(dāng)例6.1．計(jì)算解：例6.2．計(jì)算〔〕解：所以二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法1.比值判別法如果例6.3．解：所以由比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。例6.4．解：收斂例6.5．判別級(jí)數(shù)的斂散性解：，收斂2.比擬判別法比擬判別法有三種形式：一種稱為囿級(jí)數(shù)法；一種為極限式；一種為等價(jià)無窮小式。囿級(jí)數(shù)法：如果0〔對(duì)充分大〕成立且收斂，那么收斂；如果，發(fā)散，那么發(fā)散。極限式：如果〔有限數(shù)〕，同斂散；特別地，假設(shè)且收斂，那么收斂；假設(shè)且發(fā)散，那么發(fā)散。等價(jià)無窮小式：，，p>1，收斂，，發(fā)散。例6.6．解：，而收斂，由比擬判別法知收斂。例6.7．解：，而收斂，由比擬判別法知原級(jí)數(shù)收斂。例6.8．收斂〔〕，證明也收斂。證明：因?yàn)槭諗?，故，所以?duì)充分大的n成立：，因此，收斂，由比擬判別法知收斂。例6.9．正項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂，證明：收斂。證明：，由上題的結(jié)論可知，,收斂，，收斂，由比擬判別法知：收斂。例6.10．解：因?yàn)?，而發(fā)散，由比擬判別法知發(fā)散。例6.11．解：因?yàn)椋?，所以原?jí)數(shù)發(fā)散。例6.12．解：，考慮極限，收斂，所以由比擬判別法知原級(jí)數(shù)收斂例6.13．解：收斂，故由比擬判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。例6.14．sin解：因?yàn)閟in收斂，由比擬判別法知收斂。三、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)有絕對(duì)收斂和條件收斂兩個(gè)概念。定義1：絕對(duì)收斂收斂。原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂必收斂。定義2：條件收斂發(fā)散，而收斂研究一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的流程應(yīng)是先判別絕對(duì)收斂，假設(shè)絕對(duì)發(fā)散那么研究級(jí)數(shù)的條件收斂性。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中最重要的一類級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)〔〕。交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊伯尼茲判別法：對(duì)于級(jí)數(shù)假設(shè)〔1〕，即級(jí)數(shù)是交錯(cuò)的，〔2〕單調(diào)下降，〔3〕那么收斂。例6.15．解：先考慮級(jí)數(shù)因?yàn)槎諗浚允諗考丛?jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例6.16．解：對(duì)于，因?yàn)椋园l(fā)散，原級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散。而是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，單調(diào)下降，且由萊伯尼判別法知，原級(jí)數(shù)是條件收斂。例6.17．研究級(jí)數(shù)斂散性解：〔〕=1，與同斂散，故當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，不存在，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)下降，且，故由萊伯尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂。四、冪級(jí)數(shù)1．收斂半徑和收斂區(qū)間稱為冪級(jí)數(shù)，對(duì)于冪級(jí)數(shù)首先是收斂半徑和收斂區(qū)間的計(jì)算。收斂半徑R：R=收斂區(qū)間:；對(duì)于和端點(diǎn)處特別考慮。例6.18．求的收斂半徑和收斂區(qū)間解：，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)=收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)=收斂；所以，收斂區(qū)間為。例6.19．求的收斂半徑和收斂區(qū)間。解：令，原級(jí)數(shù)，，。對(duì)于，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為。2．函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)幾個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)形式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例6.20．展開為的冪級(jí)數(shù)。2〕展開為的冪級(jí)數(shù)。解：1〕2〕例6.21．展開為的冪級(jí)數(shù)。解：。例6.22．展開為x的冪級(jí)數(shù)解：例6.23．求的冪級(jí)數(shù)展開式解：在區(qū)間上，兩邊積分，利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積性得，。例6.24．求和函數(shù)。解：設(shè)，利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積性得，求導(dǎo)得：。例6.25．求的和函數(shù)。解：令，，所以。單元練習(xí)題61．是級(jí)數(shù)收斂〔〕A．必要條件B．充分條件C．充要條件D．無關(guān)條件2．正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的()是前n項(xiàng)局部和數(shù)列有界A．必要條件B．充分條件C．充要條件D．無關(guān)條件3．以下級(jí)數(shù)中收斂的是()A．B．C．D．4．以下級(jí)數(shù)中條件收斂的是()A．B．C．D．5．以下級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是()A．B．C．D．6．以下級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A．B．C．D．7．冪級(jí)數(shù)的收斂域是〔〕A．B．C．D．8．級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。9．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，=，。10．判別以下級(jí)數(shù)的收斂性〔1〕〔2〕，〔〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕11．求以下冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕12．將展開為的冪級(jí)數(shù)。13．將展開為的冪級(jí)數(shù)。14．將函數(shù)〔1〕展開為的冪級(jí)數(shù)，〔2〕展開為的冪級(jí)數(shù)。15．求的和函數(shù)。歷年真考題1．〔2003〕以下正確的選項(xiàng)是〔〕A.收斂B.收斂C.絕對(duì)收斂D.收斂2．〔2003〕將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間〔不考慮區(qū)間端點(diǎn)〕。3．〔2004〕冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為__________。4．〔2004〕把函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)，并寫出它的收斂區(qū)間。5．〔2005〕設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)〔1〕與〔2〕，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是〔〕A．假設(shè)〔1〕發(fā)散那么〔2〕必發(fā)散。B.假設(shè)〔2〕收斂，那么〔1〕必收斂。C.假設(shè)〔1〕發(fā)散，那么〔2〕可能發(fā)散也可能收斂。D.〔1〕，〔2〕斂散性一致。6．〔2005〕冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開____________.7．〔2005〕將函數(shù)展開為x的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。.章節(jié)測(cè)試題1．級(jí)數(shù)的斂散性：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2．，展開為的冪級(jí)數(shù)為。3．以下級(jí)數(shù)條件收斂的是〔〕A．B．C．D．4．以下級(jí)數(shù)發(fā)散的是〔〕A．B．C．D．5.()展開為的冪函數(shù)是〔〕A．B．C．D．6．的收斂半徑〔〕A.1B．3C．D．7．在的和函數(shù)=〔〕A．B．C．D．8.冪函數(shù)的收斂半徑是〔〕A．2B．C．D．39．以下級(jí)數(shù)中條件收斂的是〔〕A．B．C．D．10．判斷的斂散性。11．求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。12．設(shè)，討論為何值時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。13．展開為的冪級(jí)數(shù)，并求出收斂范圍。14．討論在,和三種條件下的斂散性。單元練習(xí)題6答案1．Ａ2．Ｃ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ｄ8．9．10．〔１〕絕對(duì)收斂。因?yàn)椋諗?。〔２〕?dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂?！玻场?，而收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。〔４〕發(fā)散。因?yàn)槭諗?，發(fā)散。〔５〕收斂。，所以，而收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂?！玻丁常栽?jí)數(shù)收斂。〔７〕，所以原級(jí)數(shù)收斂?！玻浮常諗?，所以原級(jí)數(shù)收斂〔９〕發(fā)散，而為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)下降趨于零，故條件收斂?！?0〕而，故絕對(duì)發(fā)散。而為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。且單調(diào)下降趨于0。故條件收斂。11．〔1〕解：，當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，收斂，收斂區(qū)間為〔2〕令收斂區(qū)間為〔3〕令，原級(jí)數(shù)當(dāng)，原級(jí)數(shù)=，條件收斂收斂區(qū)間為〔４〕令，原級(jí)數(shù)，。當(dāng)發(fā)散；當(dāng)，收斂，故的收斂區(qū)間為，相應(yīng)的的收斂區(qū)間為。12．解：令，，積分得，13．解：，。14．〔1〕解：，。(2)解：，。15．。本章測(cè)試答案1.；；2.3．Ａ4.Ｂ5.Ｃ6.Ｃ7.Ａ