1.5 平面上的距離 -高二數(shù)學精講與精練高分突破（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁1.5平面上的距離【考點梳理】考點一：兩點間的距離公式（1）點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點二：兩條平行直線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：兩點間的距離公式應用1．（2023秋·全國·高二）以為頂點的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)平面直角坐標系下任意兩點間的距離公式，分別求出即可判斷.【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等邊三角形.答案：C.2．（2023·全國·高二專題練習）已知點P在直線上,,則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】過點做關于直線的對稱點,求出點坐標,則直線是線段的垂直平分線,則,的值即為所求.【詳解】解:由題知,過點做關于直線的對稱點,取直線上一點,連接,連接交于點,連接,如圖所示:則有,解得,即,因為關于直線對稱,所以直線是線段的垂直平分線,所以,則,當且僅當點運動到處時,所以.故選:D.3．（2022秋·天津薊州·高二統(tǒng)考期中）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直線過定點，由幾何性質可知即為點到直線的距離最大值，進而求出，得到此時直線的斜率，從而求出方程.【詳解】變形為，故，解得：，故直線過定點，故為點到直線的距離最大值，即，且此時直線的斜率為，故此時直線方程為，整理得：.故選：C題型二：由兩點距離求坐標問題4．（2022秋·安徽合肥·高二校）已知菱形的對角線與軸平行，，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直可知軸，則可設，由可構造方程求得結果.【詳解】四邊形為菱形，軸，軸，可設，，，解得：（舍）或，.故選：A.5．（2022·高二課時練習）在x軸上找一點Q，使點Q與A（5，12）間的距離為13，則Q點的坐標為．【答案】或/或【分析】根據(jù)兩點之間距離公式求解.【詳解】設，則有，解得或.即或.故答案為：或.6．（2020秋·內蒙古包頭·高二包頭市第四中學?？茧A段練習）已知直線在y軸上的截距是－3，它被兩坐標軸截得的線段的長為5，則此直線的方程為【答案】3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0【分析】設直線交x軸于（a，0），結合已知有求a值，再應用截距式寫出直線方程.【詳解】設直線與x軸交于點（a，0），與y軸交于點（0，－3），由題設，解得a＝±4，故所求的直線方程為或，即3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.故答案為：3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0題型三：兩點間的距離公式求函數(shù)最值問題7．（2023·全國·高二專題練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標式進行轉化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】,可以看作點到點的距離之和，作點關于軸的對稱點，顯然當三點共線時，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.8．（2023·全國·高二專題練習）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩點之間距離公式分析出表示到、的距離之和，求出關于對稱點為，連接交于點，此時最小.【詳解】由兩點之間距離公式可以得到表示點到的距離，表示點到的距離，所以代數(shù)式表示，由圖像可知在在運動，所以易得關于對稱點為，連接交于點，此時最小，最小值為.故選：B.9．（2022秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點之間的距離．結合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點間的距離公式求解即可．【詳解】，可以看做平面上點與點，的距離和，連接AB，與x軸交于，∴的最小值為．故選：C．題型四：點到直線的距離問題10．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過定點，依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，由點到直線的距離公式可得．故選:B.11．（2023·全國·高二專題練習）過點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在，由點到直線距離公式列出方程，求出直線斜率，得到直線方程.【詳解】若直線斜率不存在，即，此時，兩點到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；若直線斜率存在時，設直線方程為，由得：或，故直線方程為或，整理得或.故選：D12．（2022秋·山西運城·高二山西省運城中學校校聯(lián)考期中）若點和點到直線的距離相等，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用點到直線距離公式可構造方程求得結果.【詳解】由題意得：，即，解得：或.故選：D.題型五：點關于直線的對稱問題13．（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經過坐標軸反射兩次經過點，則總路徑長即總長為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求點關于軸的對稱點和點關于軸的對稱點的坐標，由反射性質知總路徑長為，用兩點距離公式求其長度即可.【詳解】設點關于軸的對稱點為點，點關于軸的對稱點為點，由光線反射知識可得三點共線，三點共線，故四點共線，因為點的坐標為，點的坐標為，所以點的坐標為，點的坐標為，由對稱的性質可得，所以，又，所以.故選：C.14．（2023秋·高二單元測試）已知直線，點關于直線的對稱點為，直線經過點，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩點關于直線對稱可求得點的坐標，設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】設點，則，解得，即點，因為，設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，解得，所以，直線的方程為.故選：A.15．（2023·全國·高二專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】利用點關于直線對稱點，找出最短路程.【詳解】先找出B關于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設點關于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點，所以，當且僅當A，P，C三點共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．題型六：光線反射問題16．（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學考試）某節(jié)物理課上，物理老師講解光線的入射、反射與折射，為了更好地解釋光線的路徑，物理老師將此問題坐標化如下：已知入射光線從射出，經過直線的點后第一次反射，若此反射光線經過直線上的點時再次反射，反射后經過點，則可以求得直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】分別求出關于的對稱點，關于的對稱點，所求斜率即為的斜率，【詳解】作出圖形如圖所示，分別作關于的對稱點，以及關于直線的對稱點，則.故選：D17．（2022秋·四川達州·高二達州中學?？茧A段練習）一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反射光線過已知直線的交點以及入射光線上的點與反射光線上的點關于對稱即可求解.【詳解】聯(lián)立解得，所以反射光線過點，取直線上一點關于對稱的點為，則有解得，所以反射光線過點和，則反射光線的斜率，根據(jù)點斜式得，即，故選:B.18．（2022秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，已知兩點，，從點射出的光線經直線上的點反射后再射到直線上，最后經直線上的點反射后又回到點，則直線MN的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)關于直線對稱的點是，關于軸對稱的點都在直線即可求解.【詳解】,所以直線的直線方程為，設關于直線對稱的點是，則有，即，所以，即，又因為的中點在直線上，所以，即，聯(lián)立，解得，所以，又有關于軸對稱的點，由對稱性可知，均在直線上，所以,由點斜式得，即.故選:D.題型七：兩條平行直線間的距離19．（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線之間的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用兩平行直線之間的距離公式即可.【詳解】由兩平行線間的距離公式可得：．故選：C20．（2023·全國·高二專題練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點．，由，解得，故過定點，故，距離的最大值為．此時，，則，，解得，故．故選：C．21．（2022秋·廣東汕頭·高二?？计谥校┤糁本€與平行，則間的距離是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的判定列方程求得，再應用平行線的距離公式求距離即可.【詳解】由題設，則，可得或，時，，，滿足題設；時，，，顯然重合，不滿足；所以，此時，，它們距離為.故選：C【雙基達標】一、單選題22．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行可推出，再根據(jù)平行線間距離公式可計算.【詳解】由題意可得，再由平行線的距離公式得.故選：B23．（2023秋·高二課時練習）已知點A（3，4），B（6，m）到直線3x＋4y－7＝0的距離相等，則實數(shù)m＝（

）A． B．C．1 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，由點到直線距離公式建立方程解得的值.【詳解】解析：由題意得，解得或.故選：D.24．（2023·全國·高二課堂例題）已知不同的兩點與關于點對稱，則（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)中點公式，列出方程，求得的值，進而求得的值.【詳解】因為兩點與關于點對稱，可得，即，解得，所以.故選：C.25．（2023秋·高二課時練習）求下列兩條平行線之間的距離：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)給定條件利用平行線間距離公式直接計算即可得解.【詳解】（1）因為直線可化為，又直線，所以直線與的距離為.（2）因為直線可化為：，又直線，所以直線與的距離：.26．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知直線經過點且與和分別交于兩點，若，求直線的方程．【答案】或【分析】先利用平行直線間的距離公式求得和的距離，從而得到直線與斜率的直線的夾角，從而利用直線夾角公式得到關于的方程，解之即可得解.【詳解】依題意，易知直線和直線互相平行，故兩直線間的距離，且與兩直線垂直的直線斜率，因為，故設經過點的直線斜率為，

故所求的直線與斜率的直線的夾角為，則，解得或；故直線的方程為或.整理得：或.【高分突破】一、單選題27．（2023秋·全國·高二）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由題意，知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點到直線的距離公式可求得結果.【詳解】由題意，知點M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設該直線方程為，則，即，∴點M在直線上，∴點M到原點的距離的最小值就是原點到直線的距離，即.故選：A.28．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可確定直線：，則直線過原點，且斜率為，由此可確定點到直線l的距離大于1，再確定當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，即可求得答案.【詳解】由題意直線：，則直線過原點，且斜率為，

當直線l無限靠近于y軸時，點到直線l的距離無限接近于1，故點到直線l的距離大于1，當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，最大值為，故點A到直線的距離的取值范圍為，故選：B29．（2023·全國·高二專題練習）已知點，點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點的坐標是，則線段AB垂直直線時，線段AB最短，根據(jù)兩直線垂直的斜率關系即可求解.【詳解】因為點在直線上運動，所以可設點的坐標是，當線段AB垂直直線時，線段AB最短，由直線得其斜率為-1，則，得，所以的坐標是.故選：A30．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學校考開學考試）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】先求出點關于線段的對稱點的坐標，且有.根據(jù)幾何意義，結合圖象，即可得出取最小值時，點的位置，進而得出答案.【詳解】如圖，過點作點關于線段的對稱點，則.設，則有，解得，所以.設，則，所以，又，所以點到軸的距離為，所以，可視為線段上的點到軸的距離和到的距離之和.過作軸，顯然有，當且僅當三點共線時，和有最小值.過點作軸，則即為最小值，與線段的交點，即為最小值時的位置.因為，所以的最小值為.故選：B．31．（2022秋·天津·高二統(tǒng)考期中）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】首先求出直線過的定點，若要到直線的距離最大，只需，由此即可得解.【詳解】將只需的方程整理得：，從代數(shù)觀點來看，若，有成立，則只能，解得，即直線過定點；若要到直線的距離最大，只需，此時點到直線的最大距離為線段的長度，即，又直線的斜率為，故此時直線的方程為：，即.故選：C.32．（2023秋·廣西南寧·高二南寧二中?？奸_學考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】作關于軸的對稱點，作關于的對稱點，連接交軸于，交于，有，即此時周長最小，求出點坐標，可得直線方程，與聯(lián)立求出點坐標，令可得點坐標.【詳解】作關于軸的對稱點，作關于的對稱點，連接交軸于，交于，所以，此時周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.

33．（2023春·福建福州·高二?？计谥校┮阎本€，，則下列結論正確的是（

）A．直線過定點B．當時，C．當時，D．當時，兩直線、之間的距離為【答案】B【分析】求出直線所過定點的坐標，可判斷A選項；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷B選項；根據(jù)兩直線平行求出實數(shù)的值，可判斷C選項；根據(jù)平行線間的距離公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由可得，所以，直線過定點，A錯；對于B選項，當時，，解得，B對；對于C選項，當時，，解得，C錯；對于D選項，當時，，直線的方程為，即，直線的方程為，此時，直線、之間的距離為，D錯.故選：B.二、多選題34．（2023秋·高二課時練習）已知直線l在x軸上的截距為1．又有兩點到l的距離相等，則l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】討論直線l的斜率，斜率存在時設直線方程，利用點線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程.【詳解】顯然軸時符合要求，此時l的方程為；當l的斜率存在時，設l的斜率為k，則l的方程為，即.∵點到的距離相等，∴，整理得，解得，∴l(xiāng)的方程為，綜上，l的方程為或.故選：AC35．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知兩平行直線分別過點，它們分別繞旋轉，但始終保持平行，則之間的距離的取值可能為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】ABCD【分析】根據(jù)題意求出之間距離最大值，再進行判斷即可.【詳解】當與PQ垂直時，它們之間的距離d最大，此時，所以之間的距離，之間的距離的取值可能為1,2,3,4.故選：ABCD36．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，，，以下結論錯誤的是（

）A．無論a為何值，與都互相平行B．當a變化時，與分別經過定點和C．無論a為何值，與都關于直線對稱D．若與交于點M，則的最大值是【答案】AC【分析】結合直線平行或垂直、直線過定點、直線與直線對稱、直線與直線交點、兩點間距離公式等知識分別對各選項分析，即可求解.【詳解】對于A，因為，故無論a為何值，與都相互垂直，故A錯誤；對于B，直線，當a變化，時，恒成立，所以恒過定點；，當a變化，時，恒成立，所以恒過定點，故B正確；對于C，在上任取一點，關于直線x＋y＝0對稱的點的坐標為，代入，得，不滿足無論a為何值，恒成立，故C不正確；對于D，聯(lián)立，解得，即，所以（當時取等號），所以的最大值是，故D正確．故選：AC.37．（2023·全國·高二專題練習）對于兩點，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點C是線段AB的中點，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對選項逐個分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點C是線段AB的中點，則點C坐標為，則，故A正確；B中，因為中，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對于C，設，則，因為，同理，所以，故C正確;D中，因為ABCD為正方形，設正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.38．（2023·全國·高二專題練習）下列結論正確的有（

）A．過點，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．已知，及x軸上的動點P，則的最小值為5D．直線與直線之間的距離為【答案】ABD【分析】求出直線斜率判斷A；利用垂直關系求出a判斷B；利用對稱方法求出兩點的距離判斷C；求出平行間距離判斷D作答.【詳解】對于A，直線的斜率，則直線的傾斜角為，A正確；對于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；對于C，關于x軸對稱點，連接交x軸于點，在x軸上任取點，連接，如圖，，當且僅當點與重合時取等號，因此，C錯誤；對于D，直線與直線平行，直線化為，管兩條直線間距離為，D正確.故選：ABD39．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知為坐標原點，，為軸上一動點，為直線：上一動點，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設關于直線：的對稱點為，關于軸的對稱點為，對于A：根據(jù)對稱性可得，進而可得結果；對于B：根據(jù)點到直線的距離分析判斷；對于C：因為，結合點到直線的距離分析判斷；對于D：根據(jù)題意分析可得，結合點到直線的距離分析判斷.【詳解】設關于直線：的對稱點為，關于軸的對稱點為，可知，對于選項A：可得周長，當且僅當四點共線時，等號成立，所以周長的最小值為，故A錯誤；對于選項B：設到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對于選項C：因為，設到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對于選項D：作，垂足為，因為直線的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.三、填空題40．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的點到直線的距離的最小值是.【答案】【分析】設拋物線一點點，利用點到直線的距離公式，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設點是拋物線上一點，則點到直線的距離為，由于，即，則，當且僅當時等號成立，所以，所以，即拋物線上的點到直線的距離的最小值為.故答案為：.41．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中學校考開學考試）光線從射向軸上一點，又從反射到直線上一點，最后從點反射回到點，則BC所在的直線方程為．【答案】【分析】分別求點關于軸和直線的對稱點，再根據(jù)幾何關系求得直線的方程.【詳解】點關于軸的對稱點為，設點關于的對稱點為，則，解得：，即,由對稱性可知，點在直線上，所以，直線的方程為，即.

故答案為：42．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學考試）在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為.【答案】【分析】先求得直線和之間的距離，即梯形的高，再利用梯形的面積公式求解.【詳解】解：直線和之間的距離為：，即梯形的高為，又，所以梯形的面積為，故答案為：43．（2023秋·高二課時練習）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為．【答案】或【分析】聯(lián)立直線方程求出，的交點坐標，設直線方程，由點到直線距離公式建立方程得解，注意對斜率不存在討論.【詳解】解析：由解得所以l1，l2的交點為.顯然，直線滿足條件；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，依題意有，解得.所以所求直線方程為或．故答案為：或．44．（2023秋·高二課時練習）若直線與直線的距離為，則實數(shù)的值為．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式列方程，化簡求得的值.【詳解】依題意，解得或.故答案為：或45．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知A，B兩點都在直線上，且A，B兩點的橫坐標之差的絕對值為，則A，B兩點間的距離為.【答案】【分析】設，則，然后利用兩點間的距離公式求解即可【詳解】設點，則，所以，故答案為：46．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為