6.3 空間向量的應(yīng)用（十四大題型）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)6．3空間向量的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能歸納出用向量方法解決平行與垂直問(wèn)題的一般思路.（1）能利用向量投影推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式．能把相互平行的直線間的距離、直線到平面的距離（直線與平面平行）、相互平行的平面間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求得距離，體會(huì)用向量方法解決距離問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)．（2）能通過(guò)實(shí)例歸納出利用向量的數(shù)量積求空間兩條異面直線所成角的一般方法；能夠利用向量的數(shù)量積得出直線與平面、平面與平面所成角的計(jì)算公式，并用于解決有關(guān)夾角問(wèn)題．體會(huì)利用向量數(shù)量積解決空間角度問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)．（1）能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.（2）能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、直線到平面（直線與平面平行）、相互平行的平面的距離問(wèn)題．（3）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角（夾角）問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．知識(shí)點(diǎn)詮釋：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒(méi)有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．【即學(xué)即練1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若向量都是直線的方向向量，則.【答案】/【解析】根據(jù)題意可知，故存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，則，解得，所以.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)02用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記．求證：平面【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．顯然平面的一個(gè)法向量為，而，∵，平面，∴MN//平面BCE．知識(shí)點(diǎn)03用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且．求證：平面；【解析】證明：在直三棱柱中，，顯然射線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)椋?，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且，則，，于是，即，而平面，所以平面.知識(shí)點(diǎn)04用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，．若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大小．【即學(xué)即練4】（2024·江蘇無(wú)錫·高二輔仁高中?？计谀┰谒睦忮F中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，是棱上一點(diǎn).(1)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求點(diǎn)的位置.【解析】（1）如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則于是，,設(shè)平面的法向量為，則故可取.設(shè)直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值是.（2）如圖，設(shè)，，則，因，故，解得：，則,設(shè)平面的法向量為，則故可取.又,設(shè)平面的法向量為，則故可取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得：或，因，故，即當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為.知識(shí)點(diǎn)05用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)到平面的距離，其中是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解-即：點(diǎn)到平面的距離，其中是平面的法向量．直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離．【即學(xué)即練5】（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）在中，易知且是的中點(diǎn)，故，且在正方形中，，面面，面面，面面，故面，易知面，故，又，，綜上（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)平行于的直線為軸，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，．所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離題型一：直線的方向向量【例1】（2024·陜西西安·高二?？计谀┮阎?，若直線的一個(gè)方向向量為，則.【答案】【解析】根據(jù)題意，,,，若直線的一個(gè)方向向量為,2,，則設(shè),2,，即,,,2,,,，則，解得.故答案為：．【變式1-1】（2024·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，在直線上，寫出直線的一個(gè)方向向量：．（坐標(biāo)表示）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，在直線中，，，∴直線的一個(gè)方向向量．故答案為：（答案不唯一）．【變式1-2】（2024·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，都是直線l的方向向量，則x的值是.【答案】-1【解析】由題意設(shè)，即，即，解得.故答案為：-1【方法技巧與總結(jié)】理解直線方向向量的概念（1）直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量．（2）直線的方向向量不唯一．題型二：平面的法向量【例2】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，已知正方體中，的坐標(biāo)分別為，，，．分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【解析】由于軸垂直于平面，而z軸可用方向向量表示，因此是平面的一個(gè)法向量；設(shè)是平面的法向量．由已知得，，因而取，得，則是平面的一個(gè)法向量．【變式2-1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形且，∴兩兩垂直．以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，易知向量是平面的一個(gè)法向量．設(shè)為平面的法向量，則即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.【變式2-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量．【解析】不妨設(shè)平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一個(gè)法向量為.又平面的法向量不唯一，只要與向量平行且非零的向量均可.故答案為：.（結(jié)果不唯一）【變式2-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)平面中作出該向量．【解析】由題設(shè)，，，若是面ABC的一個(gè)法向量，所以，令，則.【方法技巧與總結(jié)】求平面法向量的步驟（1）設(shè)出平面的法向量為．（2）找出（求出）平面中兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，．（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于，，的方程組（4）解方程組，取其中的一個(gè)解作為法向量（由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，故可在方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量）．題型三：直線和直線平行【例3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.【變式3-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)，證明：.【解析】連接,如圖，由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點(diǎn)，所以，即是的中點(diǎn)，又N是AC的中點(diǎn)，所以.【變式3-2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．證明：.【解析】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，可得，即向量與共線，又不在同一條直線上，所以.【方法技巧與總結(jié)】證明兩直線平行的方法方法一：平行直線的傳遞性．方法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量，，證明，即．方法三：坐標(biāo)法，建立空間直角坐標(biāo)佘，把直線的方向向量用坐標(biāo)表示，如，，即證明，即且且．題型四：直線與平面的平行【例4】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．

【解析】如圖，因?yàn)镸在BD上，且，所以,同理．又，所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，，共面．因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以平面CDE．【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．證明：平面；

【解析】因?yàn)?，平面BCD，故以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，則，因?yàn)椋?，可得，因?yàn)槠矫鍮CD的法向量可取為，則，且平面BCD，所以PQ平面BCD．【變式4-2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．求證：平面；【解析】因?yàn)榈酌?，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，又，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以平面，【變?-3】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，若，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面平面的其中一個(gè)法向量為，所以，即，又因?yàn)槠矫?，所以平?【變式4-4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是正方形所在平面外一點(diǎn)，分別是上一點(diǎn)，且，求證：平面.【解析】由題意知.在上取點(diǎn)，使，于是，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【方法技巧與總結(jié)】利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：（1）證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．（3）先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．題型五：平面和平面平行【例5】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.【解析】證明:如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【變式5-1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．【解析】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．【變式5-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．【變式5-3】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；(2)平面平面．【解析】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，．由正方體的性質(zhì)，知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．由于，則，所以．又平面，所以平面．（2）證明：因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，由于，，則，即也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面平面．【方法技巧與總結(jié)】證明面面平行問(wèn)題的方法（1）利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．（2）將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．題型六：直線和直線垂直【例6】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．證明：.【解析】因?yàn)槠矫妫矫妗矫?所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，故【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接，BD，.證明：.【解析】證明：由題意，該棱臺(tái)是正四棱臺(tái).連接交于，以所在直線為軸，經(jīng)過(guò)且垂直于平面的直線為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)，過(guò)作底面的垂線，則垂足在上.由題意得，為上底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)的一半，顯然，故，又，則，故.于是，，則，所以.【變式6-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，E，F(xiàn)，M分別為AP，AC，PB的中點(diǎn)，求證：【解析】以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則由題意得，，，，，，∴，即：，∴．【變式6-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，連接，由題意為正三角形，故，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，可得，，，設(shè)，可得，假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，則，解得，所以存在，此時(shí).【方法技巧與總結(jié)】利用向量方法證明線線垂直的方法（1）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．（2）基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．題型七：直線與平面垂直【例7】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；【解析】由直三棱柱，得平面，又，可得三棱柱的體積，得．因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則．設(shè)，則，故．因?yàn)?，所以，所以，解得，即．所以，所以?所以．又因?yàn)槠矫鍭CQ，平面ACQ，，所以平面．【變式7-1】（2024·浙江·高二路橋中學(xué)?？计谀┮阎馀_(tái)中，，，、分別為、的中點(diǎn).

(1)求該正三棱臺(tái)的表面積；(2)求證：平面【解析】（1）將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，如圖所示：因?yàn)?，且，則、分別為、的中點(diǎn)，則，，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由此可知，、都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故正三棱臺(tái)的表面積為.（2）設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，則，，，所以，，，所以，，，因?yàn)椋?、平面，故平?【變式7-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．證明：平面；【解析】證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉檎叫危?，所以兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，【變?-3】（2024·廣東佛山·高二羅定邦中學(xué)校考期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形為平行四邊形；(2)平面．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以，又四點(diǎn)不共線，所以四邊形為平行四邊形．（2）由（1）知，，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫妫云矫妫咀兪?-4】（2024·四川南充·高二南部縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）在直三棱柱中，，直線兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，以直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，顯然，即，而平面，所以平面.（2）假定線段上存在點(diǎn)滿足條件，由（1）設(shè)，，，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，由平面，得，即存在實(shí)數(shù)，滿足：，即，解得，因此，即Q是的中點(diǎn)，所以線段上存在點(diǎn)，使平面，.【方法技巧與總結(jié)】用向量法證明線面垂直的方法（1）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直．（2）證明直線的方向向量與平面的法向量平行．題型八：平面與平面垂直【例8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.證明：平面平面ACE；【解析】證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以，所以BO，CO，PO互相垂直，所以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，因?yàn)槠矫?，所以平面所以平面PBD的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，故平面PBD，因?yàn)槠矫?，所以平面平面ACE.【變式8-1】（2024·四川成都·高二?？计谀┮阎涸谒睦忮F中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，.求證：平面平面.（注：必須用向量法做，否則不得分）【解析】證明：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，故,設(shè)平面的法向量為，則,令，則，，設(shè)平面的法向量為，則,令，則，則，故平面平面.【變式8-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．求證：平面平面；【解析】證明：設(shè)棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，所以，則平面平面．【變式8-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).求證：平面平面.【解析】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則所以所以即，所以即，又，平面PAD，所以平面PAD，又平面，所以平面平面PAD.【變式8-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求證：平面平面.【解析】證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，過(guò)作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.【方法技巧與總結(jié)】利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直．題型九：兩條異面直線所成的角【例9】（2024·廣東河源·高二河源市河源中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，交于點(diǎn)O，連接，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，，異面直線與所成的角為．故選：C.【變式9-1】（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.又因?yàn)?，，所以，，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，，可得，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.【變式9-2】（2024·福建廈門·高二?？计谀┤鐖D，在中，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．(1)求證：．(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1），分別為中點(diǎn)，，即，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，，即，，；則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為，設(shè)，則，，，整理可得：，解得：，存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).【變式9-3】（2024·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，，，、、、分別是棱、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方體中，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，則、、、，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用向量法常有兩種途徑（1）基底法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，經(jīng)常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夾角時(shí)，關(guān)鍵是求出及與，一般是把，用基向量表示出來(lái)，再求有關(guān)的量．（2）坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過(guò)程變得簡(jiǎn)單．題型十：直線與平面所成的角【例10】（2024·安徽六安·高二?？计谀┤鐖D，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則，故，所以；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，則，令，則，，則，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為.【變式10-1】（2024·重慶·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分別是、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面ABCD，所以平面PAD，又E、F分別是PA、PB的中點(diǎn)，則，故平面PAD；（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OG，由題意，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面EFG的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)，因?yàn)?，故，所以，因?yàn)橹本€GM與平面EFG所成角為，故，化簡(jiǎn)可得，故方程無(wú)解，所以在線段PD上不存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為．【變式10-2】（2024·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）將長(zhǎng)方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）連接，如圖所示，∵長(zhǎng)方形中，，分別是，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長(zhǎng)方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，以點(diǎn)為垂足，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，即，設(shè)為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式10-3】（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校校考階段練習(xí)）在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，.(1)點(diǎn)滿足，求證：四點(diǎn)共面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）如圖：連接NM，，由，知，且，所以，且，即四邊形為平行四邊形，所以，．又因?yàn)?，，所以，，故N，M，B，四點(diǎn)共面．（2）如圖：因?yàn)檎睦庵?，故，，以兩兩相互垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得．記直線CD與平面所成角為，則．【方法技巧與總結(jié)】若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計(jì)算θ的步驟如下：題型十一：二面角【例11】（2024·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，，交于點(diǎn)，將沿折到位置，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）由已知得，，又由得，故，因此，從而.由，得.由得.所以,.又已知，于是，故.又，且，平面.所以平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令,可得.設(shè)是平面的法向量，則，即，令,可得，設(shè)平面與平面的夾角為，于是，平面與平面的夾角的余弦值是.【變式11-1】（2024·安徽黃山·高二屯溪一中?？茧A段練習(xí)）在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又已知.(1)證明：平面．(2)求平面和平面的夾角的余弦值【解析】（1）證明：由已知得，平面，又平面，，，，，又，平面，平面，平面；（2）由及平面，得，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，過(guò)與平面垂直的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，又由已知得，，得，，，設(shè)平面的法向量，則，，令，則，，又平面，平面，，，平面的一個(gè)法向量可以是，，易知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．【變式11-2】（2024·河南鄭州·高二?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在棱上.(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【解析】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所?四邊形是直角梯形，，，因?yàn)椋?所以，所以.又因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，所?所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，得.又因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，所?所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.取，則，則.又因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為【變式11-3】（2024·廣東汕尾·高二海豐縣彭湃中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若，平面平面，點(diǎn)在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由題可知，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋制矫嫫矫媲医痪€為，平面，，所以平面，由（1）知.由題意可得，所以，所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，依題意，所以.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【變式11-4】（2024·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上.(1)當(dāng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)到平面的距離；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別問(wèn)軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量，則，取，得是平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.（2）由題意，平面，設(shè)平面的法向量，則，取，得是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得是平面的一個(gè)法向量，則，解得，即當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面與平面的夾角為.【方法技巧與總結(jié)】利用向量法求二面角的步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系．（2）分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量．（3）求兩個(gè)法向量的夾角．（4）判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角．（5）確定二面角的大?。}型十二：點(diǎn)到平面的距離【例12】（2024·上?！じ叨？计谀┤鐖D，四棱錐的底面為菱形，平面ABCD，，E為棱BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PAD；(2)若，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【解析】（1）證明：連接BD，如圖，∵底面ABCD為菱形，，則，∴△BCD為等邊三角形，∵E為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵平面PAD，∴ED⊥平面PAD；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，令，則，∴，又，∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為：.【變式12-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到面的距離．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.∵為的中點(diǎn)，∴，則，，，，∵，∴，又，∴，又，，平面，∴平面.所以為平面的法向量，則點(diǎn)到面的距離.【變式12-2】（2024·貴州銅仁·高二?？茧A段練習(xí)）如圖,在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直.

(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離【解析】（1）結(jié)合題意：連接,在直角梯形中，，易得,,,四邊形為正方形，,由平面與平面互相垂直，且平面平面,平面面,面，，,且面,面,面,平面平面.（2）結(jié)合上問(wèn)：由面，且面內(nèi)，,以為原點(diǎn)，分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，.設(shè)面的法向量為，由,即，令，則，點(diǎn)到平面的距離為.【方法技巧與總結(jié)】求點(diǎn)到平面的距離的主要方法（1）作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離．（2）在三棱錐中用等體積法求解．（3）向量法：（為平面的法向量，A為平面上一點(diǎn)，MA為過(guò)點(diǎn)A的斜線段）題型十三：點(diǎn)到直線的距離【例13】（2024·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，P為CD中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離為．【答案】/【解析】如下圖，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故點(diǎn)P到直線的距離為.故答案為：【變式13-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二統(tǒng)考期末）若空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【解析】，，則，則.故答案為：.【變式13-2】（2024·廣東深圳·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則點(diǎn)A到直線的距離為.【答案】/【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)交線的方向向量為，則，即，令，得.因?yàn)椋c(diǎn)，則，，所以點(diǎn)A到直線的距離為.【變式13-3】（2024·四川成都·高二樹(shù)德中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來(lái)表示，已知直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【解析】由題設(shè)，直線為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為一個(gè)方向向量，所以，故到直線的距離為.故答案為：2【方法技巧與總結(jié)】用向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量；（3）若已知直線的方向向量，則利用公式求解；若已知直線的法向量，可利用求解．題型十四：直線（平面）到平面的距離【例14】（2024·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【解析】（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，，顯然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以直線FC到平面的距離是.【變式14-1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求：(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）以D為原點(diǎn)，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，即，又平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，又，所以點(diǎn)到平面的距離.（2）由（1）知平面，同理，平面，又，平面，所以平面平面，即平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由（1）知，點(diǎn)到平面的距離.所以平面與平面間的距離為.【變式14-2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【解析】（1）法一:證明：連接分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．法二:設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，，平面與平面的距離為【方法技巧與總結(jié)】用向量方法研究空間距離問(wèn)題的一般步驟第一步，確定法向量；第二步，選擇參考向量；第三步，利用公式求解．一、單選題1．（2024·西藏拉薩·高二校聯(lián)考期末）如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成的角為,，則,所以.故選：C2．（2024·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一第一步：找到異面直線所成角因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角．第二步：結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度連接AP，易知，．第三步：利用余弦定理求解在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法二

設(shè)，，，則，，兩兩垂直，且，，則，，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法三

易知ED，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，得，，故異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．3．（2024·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷【答案】C【解析】易知，即的方向向量與平面的法向量垂直，所以有或.故選：C4．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷【答案】C【解析】由題意直線l的一個(gè)方向向量與平面的一個(gè)法向量的數(shù)量積為，所以或.故選：C.5．（2024·甘肅隴南·高二?？计谀┮阎襟w中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則∴可取.設(shè)直線與平面所成角的，則，于是直線與平面所成角的余弦值為.故選：A.6．（2024·四川眉山·高二仁壽一中校考期末）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)，，則（

）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面 D．直線AB⊥坐標(biāo)平面【答案】C【解析】由已知得，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標(biāo)平面，也不垂直坐標(biāo)平面，故BD錯(cuò).因?yàn)?，所以直線不平行坐標(biāo)平面，故A錯(cuò)因?yàn)椋c(diǎn)A、B均不在坐標(biāo)平面上，所以直線AB與坐標(biāo)平面平行，故C對(duì).故選：C7．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則由得令，得，則，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：C.8．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡(jiǎn)得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)，則平面法向量為，故選：A．二、多選題9．（2024·河北石家莊·高二校考期末）下列給出的命題正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B．兩個(gè)不重合的平面的法向量分別是，則C．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知三棱錐，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)A，，所以或，A錯(cuò)誤；對(duì)B，，所以，B正確；對(duì)C，利用反證法的思想，假設(shè)三個(gè)向量共面，則，所以，若，則，則共線，與是空間的一組基底矛盾；若，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾；所以假設(shè)不成立，即不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對(duì)D，因?yàn)镻為平面ABC上的一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，則由共面定理以及可得，，所以，D正確；故選:BCD.10．（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．B．方向上的單位向量坐標(biāo)是C．是平面ABC的一個(gè)法向量D．在上的投影向量的模為【答案】BC【解析】對(duì)于A：，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：方向上的單位向量坐標(biāo)是，B正確；對(duì)于C：，，又與不平行，故是平面ABC的一個(gè)法向量，C正確；對(duì)于D：在上的投影向量的模為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2024·安徽黃山·高二屯溪一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，在直線上，且，的重心為，則（

）A．若在平面內(nèi)，則 B．若，，三點(diǎn)共線，則C．若平面，則 D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，在直線上，且，的重心為，所以，，，，，，，，．對(duì)于A，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以要，，三點(diǎn)共線，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫妫?，平面，所以且．因?yàn)?，，，所以由得，解得，故C正確；對(duì)于D因?yàn)?，，所以點(diǎn)到直線的距離為，故D正確．故選：ACD12．（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）類比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面的方程，如果平面的一個(gè)法向量，已知平面上定點(diǎn)，對(duì)于平面上任意點(diǎn)，根據(jù)可得平面的方程為．則在空間直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若平面過(guò)點(diǎn)，且法向量為，則平面的方程為B．若平面的方程為，則是平面的法向量C．方程表示經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的一條直線D．關(guān)于x，y，z的任何一個(gè)三元一次方程都表示一個(gè)平面【答案】ABD【解析】對(duì)于A：根據(jù)題設(shè)可知平面的方程為，即為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，由題設(shè)可知平面的一個(gè)法向量為，且即共線，所以是平面的法向量，故B正確；對(duì)于C：，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，其等價(jià)于，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．（2024·山西呂梁·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面的法向量為，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為．【答案】1【解析】由題意得，故點(diǎn)P到平面的距離故答案為：114．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知空間中三點(diǎn)分別為，，，則到平面的距離為.【答案】/【解析】，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取，則，，，到平面的距離為.故答案為：.15．（2024·上海·高二復(fù)旦附中?？计谀┮阎矫娴囊粋€(gè)法向量，直線的方向向量，則直線與平面所成角的正弦值為.【答案】/【解析】設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與