非線性 時間序列 模型

關于非線性時間序列模型線性模型AR模型MA模型ARMA模型ARIMA模型第2頁,共32頁，星期六，2024年，5月非線性模型ARCH模型門限模型

區(qū)制轉移模型平滑轉移模型STR第3頁,共32頁，星期六，2024年，5月自回歸條件異方差（ARCH）模型

ARCH模型首先由Engle（1982）為建模英國的通貨膨脹的預報方差而引進，用于建模時間序列變化的（條件）方差或波動性，從此這個模型被廣泛地用來建模金融和經濟時間序列的波動率。第4頁,共32頁，星期六，2024年，5月自回歸條件異方差（ARCH）模型和其中第5頁,共32頁，星期六，2024年，5月Bollerslev(1986)引進了廣義自回歸條件異方差（GRACH）模型其中廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型第6頁,共32頁，星期六，2024年，5月門限模型由H.Tong提出的門限自回歸（TAR）模型假定在狀態(tài)空間的不同區(qū)域，模型有不同的線性形式，狀態(tài)空間的劃分通常由一個門限變量來描述。第7頁,共32頁，星期六，2024年，5月具有

分段的門限自回歸（TAR）模型定義為其中是一些未知的正整數，且是未知參數，構成的一個分割，其含義是對所有的門限自回歸模型（TAR）第8頁,共32頁，星期六，2024年，5月門限自回歸模型（TAR）TAR模型的有用性歸因于逐段線性函數類實際上可以為更復雜的非線性函數提供簡單和易于操作的逼近。第9頁,共32頁，星期六，2024年，5月Markov區(qū)制轉移模型

Markov區(qū)制轉移模型最早由Hamilton（1989）提出并應用到經濟周期階段性的轉變研究，隨后被廣泛應用于宏觀經濟分析和金融行為分析當中。第10頁,共32頁，星期六，2024年，5月Markov區(qū)制轉移模型

Markov區(qū)制轉移模型能夠給出數據生成過程中結構變化的轉移概率，并模擬出時間序列的內生變化過程，能夠更好的模擬動態(tài)變化過程；Markov區(qū)制轉移模型能夠詳細的給出研究變量的區(qū)制和區(qū)制轉移時間，可以分階段對比政策對經濟的作用效果。第11頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型

平滑轉移模型（smoothtransitionregression）主要解決經濟過程的機制轉化行為，將數據生成過程中的非線性信息轉換成可控制的模型機制，它可以通過選取不同的轉移變量或轉移函數形式較為準確的捕捉經濟過程中對稱與非對稱的轉換。第12頁,共32頁，星期六，2024年，5月一般的STR模型可用兩個線性模型的加權平均形式表出，權數可由某個分布函數來充當，而轉換變量則可以控制因變量在不同狀態(tài)之間的轉換。經典的具有m個解釋變量的STR模型可以寫成如下形式：

（1）平滑轉移模型第13頁,共32頁，星期六，2024年，5月其中，模型自變量的滯后階數可通過AIC或SIC準則判斷，并綜合考慮參數估計值的T統(tǒng)計量和殘差的自相關檢驗，從較大的階數逐一剔除。

是自變量組成的向量，既包含因變量滯后值又可以包含其他的外生解釋變量，p+k=m，平滑轉移模型第14頁,共32頁，星期六，2024年，5月

與

是兩種不同狀態(tài)下的截距項，與

對應不同狀態(tài)的參數向量。

是取值范圍在0-1之間的一個連續(xù)、有界函數，起到鏈接兩個線性模型的傳遞作用，

是轉換變量，既可以是向量

的一個元素，也可以是時間趨勢、因變量的前定變量或兩者的一個線性組合，

是服從獨立同分布的誤差序列。平滑轉移模型第15頁,共32頁，星期六，2024年，5月 為了求解模型參數的方便，我們通常把一般意義下的STR模型寫成一個線性模型與一個非線性部分的和的形式：

（2）

是斜率參數在不同狀態(tài)間的差異。平滑轉移模型第16頁,共32頁，星期六，2024年，5月STR模型建模步驟一、模型的線性部分，通常采用VAR模型通過滯后階數進行判定二、模型的非線性部分，利用LM統(tǒng)計量檢驗模型的非線性；當確定為非線性之后，進行序貫檢驗，確定轉換變量以及STR模型的形式（LSTR1或者LSTR2）。三、進行參數估計（位置參數和平滑參數）。四、得到STR模型的具體形式后，進行模型評價。主要包括模型的殘余非線性檢驗，殘差的自相關性檢驗，異方差性檢驗以及正態(tài)性檢驗等。第17頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型根據轉換函數形式的不同，Granger和Ter?svirta把STR模型具體分為邏輯形式STR模型（LogisticSTR，LSTR）和指數形式的STR模型（ExponentialSTR，ESTR）兩大類。第18頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型在LSTR模型中，轉換函數被認為是服從邏輯函數的形式：

（3）

而在ESTR模型中，轉換函數又可以采用指數函數的形式：

（4）第19頁,共32頁，星期六，2024年，5月以上兩式中的c可以認為是在兩個狀態(tài)之間發(fā)生轉換的臨界值，用來確定狀態(tài)轉換發(fā)生的時間，

是平滑參數，當

很大時，轉換變量相對于臨界值很小的變化都能導致劇烈的狀態(tài)轉換，當其趨于無窮時，

取值在臨界值c周圍的變化是瞬時的，當

時，上述兩種非線性模型的非線性部分消失，變?yōu)橐粋€線性模型。平滑轉移模型第20頁,共32頁，星期六，2024年，5月LSTR轉換函數和ESTR轉換函數的區(qū)別 LSTR轉換函數隨

的增加而單調遞增，

在超過

或沒超過臨界值c時有不對稱的動態(tài)行為，只要

大于c，其對因變量

的影響就是持久的；但在ESTR模型轉換函數中，

當

在臨界值周圍運動時呈對稱分布，

越靠近c，

越逼近于0，

越遠離c，

越向1靠近，也就是說此時

在不同的狀態(tài)中有相同的動態(tài)行為但在臨界值附近卻有不同的動態(tài)過程，

對

并沒有長期的影響。第21頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型在對STR模型進行參數估計之前，我們需要知道一個經濟行為是否可以用STR模型去擬合，即首先要檢驗非線性的STR模型設定是否正確。Luukkonen和Saikkonen等（1988）提出可以將轉換函數用適當的泰勒級數展開式近似替代，同時使用漸進服從

分布的LM統(tǒng)計量檢驗模型的線性和非線性性質，LM統(tǒng)計量可以用于檢驗特定的非線性類型，這有助于我們選擇具體的非線性函數。第22頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型Ter?svirta（1994）提出了一個通?？梢詸z驗STR模型框架的構想，這種方法也可用于確定序列能否被模型化為最優(yōu)的LSTR模型或ESTR模型。這個檢驗基于（2）式模型轉換函數的三階泰勒展開。第23頁,共32頁，星期六，2024年，5月

假定正確設定的模型應該是LSTR形式的，

現將

寫為：

（5）

當線性原假設成立，即

時，

也成立，現求

在

為0附近的三階泰勒展開最后可得

（6）平滑轉移模型第24頁,共32頁，星期六，2024年，5月

其中，

是m維的系數向量，為泰勒展開的余項，在線性零假設成立時

恒為零，所以這個余項不影響零假設成立時殘差的統(tǒng)計性質，也就不會影響統(tǒng)計量的分布。平滑轉移模型第25頁,共32頁，星期六，2024年，5月檢驗原模型（2）的線性原假設

就相當于檢驗輔助回歸（6）式中而備擇假設此時變?yōu)?/p>

。同理，當進行ESTR形式的模型設定檢驗的時候，只要令轉換函數如下即可 將轉換函數帶入到（2）式后可得簡化形為：

（7）平滑轉移模型第26頁,共32頁，星期六，2024年，5月整個檢驗過程按照下面的步驟進行：第一步：建立

對帶有截距

項的最優(yōu)線性模型，并計算殘差

和殘差平方

和

。第二步：以

為因變量，對

，

，

進行有截距的回歸，計算此時的殘差平方和

。平滑轉移模型第27頁,共32頁，星期六，2024年，5月第三步：計算F統(tǒng)計量，檢驗線性零假設

。在轉換變量

服從平穩(wěn)時間序列時，如下結論成立：平滑轉移模型第28頁,共32頁，星期六，2024年，5月

第四步：若上一步的檢驗結果拒絕了原假設，肯定了非線性的STR模型，接下來就要在LSTR模型和ESTR模型中進行選擇。Ter?svirta(1998)提出了一種有效的方法，對（6）式進行如下的序貫檢驗，這一檢驗具有遞歸性，原檢驗和備擇假設分別為:平滑轉移模型第29頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉移模型若拒絕，就選擇LSTR模型，若接受但拒絕

則選擇ESTR模型，當接受和