2023-2024學(xué)年人教B版數(shù)學(xué)必修第二冊同步檢測（解析版）5

5.2數(shù)學(xué)探究活動

必備知識基礎(chǔ)練

L為了了解甲、乙兩人的工作效率，隨機抽取了甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個

數(shù)，用莖葉圖表示如圖所示，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件

個數(shù)的個位數(shù)，則估計甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和.

甲乙

981179

3210021244

5113002

2.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人,

85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

3.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人的成績的標(biāo)準(zhǔn)

差為()______________________________________

分?jǐn)?shù)54321

人數(shù)2010303010

A4B.嚶

C.3D.|

4.高一(3)班有男同學(xué)27名，女同學(xué)21名.在一次語文測驗中，男同學(xué)得分的平均數(shù)

是82,中位數(shù)是75,女同學(xué)得分的平均數(shù)是80,中位數(shù)是80.

(1)求這次測驗全班成績的平均數(shù)(精確到0.01);

(2)估計全班成績不超過80分的同學(xué)至少有多少人；

(3)分析男同學(xué)得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大的主要原因.

5.在用樣本頻率分布估計總體分布的過程中，下列說法中正確的是()

A.樣本容量一定時總體容量越大，估計越精確

B.總體容量與估計的精確度無關(guān)

C.總體容量一定時樣本容量越大，估計越精確

D.總體容量一定時樣本容量越小，估計越精確

6.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)

數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),

[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則

樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是()

A.90B.75

C.60D.45

7.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)

量得到頻率分布直方圖如圖，則

(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在［55,75)的人數(shù)是.

(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為

(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為

8.已知一組數(shù)據(jù)：

125121123125127129125128130129

126124125127126122124125126128

(1)填寫下面的頻率分布表：

分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率

[120.5,122.5)

[122.5,124.5)

[124.5,126.5)

[126.5,128.5)

1128.5,130.5]

合計

(2)作出頻率分布直方圖；

(3)以這組數(shù)據(jù)為樣本估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

關(guān)鍵能力綜合練

一、選擇題

1.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣

本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則4,8兩樣本的下列數(shù)字特征相同的是()

A.眾數(shù)B.平均數(shù)

C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

2.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，

得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為人”眾數(shù)為，加，平均值為X,貝11()

A.nig=m。=xB.me=m（）Vx

C.xD.mo<me<x

3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到

一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A.57.2,3.6B.57.2,56.4

C.62.8,63.6D.62.8,3.6

4.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)、中

位數(shù)的估計值為（）

A.62,62.5B.65,62

C.65,62.5D.62.5,62.5

5.從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示（單位：cm）.根據(jù)

數(shù)據(jù)估計（）

甲乙

614

52127

75368

445

A.甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊

B.乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊

C.甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊

D.乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊

6.（易錯題）為了解某校學(xué)生的視力情況，隨機抽查了該校的100名學(xué)生，得到如下圖所

示的頻率分布直方圖.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)和為40,后6組的頻

數(shù)和為87.設(shè)最大頻率為“，視力在4.5到5.2之間的學(xué)生人數(shù)為從則mb的值分別為（）

A.0.27,0.96B.

C.27,0.96D.27,96

二、填空題

7.若樣本數(shù)據(jù)為，X2,???,xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2加一1,2x2—1,…，2xio-I的標(biāo)

準(zhǔn)差為.

8.某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠的產(chǎn)量分布如圖所示.現(xiàn)在用分層

抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的

件數(shù)為;測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時,

980小時，1030小時，估計這個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均使用壽命為小時.

9.（探究題）對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查，統(tǒng)計后得到頻率

分布直方圖（如圖），但是年齡組為［25,30）的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：

（1）年齡組［25,30）對應(yīng)小矩形的高度為；

（2）據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在［25,35）內(nèi)的人數(shù)為.

三、解答題

10.為了了解甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達標(biāo)，從兩廠各隨機選取了10個

輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出如下的折線圖：

97

96

95

94

93

92

91

9

K)12345678910

（1）分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均數(shù)；

（2）若輪胎的寬度在［194,196］內(nèi)，則稱這個輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供

的10個輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波

動情況，判斷這兩個工廠哪個的輪胎相對更好.

學(xué)科素養(yǎng)升級練

1.（多選題）下列說法正確的是（）

A.一個樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個數(shù)

B.統(tǒng)計中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)

C.樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個樣本中的所有數(shù)據(jù)

D.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢

2.若40個數(shù)據(jù)的平方和是56,平均數(shù)是當(dāng)，則這組數(shù)據(jù)的方差是,標(biāo)準(zhǔn)差

是?

3.(學(xué)科素養(yǎng)一數(shù)據(jù)分析)為了普及法律知識，達到“法在心中”的目的，某市法制辦組

織了一次普法知識競賽，統(tǒng)計局調(diào)查隊從甲、乙兩單位中各隨機抽取了5名職工的成績，用

莖葉圖表示如下：

甲||乙

87859

3119123

(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，分別求出樣本中甲、乙兩單位職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪

個單位職工對法律知識的掌握更為穩(wěn)定；

(2)求被抽取的這10名職工成績的平均數(shù)和方差.

(分層抽樣的平均數(shù)和方差公式：

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為二”72,方差分別為3,S%…，相應(yīng)

一n一n

的權(quán)重分別為孫，5,…，w,?則這個樣本的平均數(shù)和方差分別為X=Z助Xj,s2=Z助.國+

1=11=1

(XX)2],其中X為樣本平均數(shù).)

5.2數(shù)學(xué)探究活動

必備知識基礎(chǔ)練

1.解析：甲10天每天加工零件的個數(shù)分別為：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,所求平均

——1

數(shù)為x￥=J^X(18+19+20+20+21+22+23+31+31+35)=24.

乙10天每天加工零件的個數(shù)分別為：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所求平均數(shù)為

—1

x乙=正又(11+17+19+21+22+24+24+30+30+32)=23.

答案：2423

2.解析：由平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義可知，平均數(shù)3=

1X100+1X95+2X90+4X85+1X80+1X75

=87；因為得85分的有4人，所以眾數(shù)是85；

1+1+2+4+1+1

把成績由大到小排列為100,95,90,90,85,85,85,85,80,75,故中位數(shù)是85.

答案:C

5X20+4X10+3X30+2X30+1X10

3.解析：平均數(shù)為=3.

100

jQ

故$=麗*[20*(5—3)2+10X(4—3)2+30X(3-3)2+30X(2-3)2+10X(1-3)2]=W

答案：B

4.解析：(1)利用平均數(shù)計算公式，得

—1

x=TH-？OX(82X27+80X21)?=81.13.

(2)因為男同學(xué)得分的中位數(shù)是75,

所以至少有14名男生得分不超過75分.

又因為女同學(xué)得分的中位數(shù)是80,

所以至少有11名女生得分不超過80分.

所以全班至少有25人得分不超過80分.

(3)男同學(xué)得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大，說明男同學(xué)中兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重，得分高的

和得分低的相差較大.

5.解析：當(dāng)樣本容量越大時，估計總體越精確.

答案：C

6.解析：產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)X2=0.30(),已知樣本中產(chǎn)品凈

重小于100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為“，則普=0.300,所以〃=120,凈重大于或等于98

克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120X0.75=90.

答案：A

7.解析：(1)在［55,75)的人數(shù)為(0.040X10+0.025X10)X20=13.

(2)由圖可知,中位數(shù)在［55,65)范圍內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,則0.2+(x-55)X0.04=0.5,解

得x=62.5.

(3)0.2X50+0.4X60+0.25X70+0.1X80+0.05X90=64.

答案：(1)13(2)62.5(3)64

8.解析：(1)

分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率

[120.5,122.5)T20.1

[122.5,124.5)T30.15

[124.5,126.5)TFT80.4

[126.5,128.5)7F40.2

[128.5,130.5]T30.15

合計正正正正201

⑵

(3)在［124.5,126.5)中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為

125.5.設(shè)中位數(shù)為X,則0.25+。-124.5)X0.2=0.5,解得x=125.75.使用“組中值”求平均數(shù):

7=121.5X0.1+123.5X0.15+125.5X0.4+127.5X0.2+129.5X0.15=125.8.

所以可估計總體的眾數(shù)為125.5,中位數(shù)為125.75,平均數(shù)為125.8.

關(guān)鍵能力綜合練

1.解析：根據(jù)題意，8樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得，則平均數(shù)、眾

數(shù)、中位數(shù)都增加2,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式可知，標(biāo)準(zhǔn)差不變.故選D.

答案：D

2.解析：由題目所給的統(tǒng)計圖可知，30個數(shù)據(jù)按大小順序排列好后，中間兩個數(shù)為5,6,

故中位數(shù)為人=”"-=5.5.又眾數(shù)為"如=5,

十一一3X2+4X3+5X10+6X6+7X3+8X2+9X2+10X2

平均值X=------------------------------------35------------------------------------

1799-

=5.97,..m()<me<x.

答案：D

3.解析：每一個數(shù)據(jù)都加上60,所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加60,而方差保持不變.

答案：D

4.解析：?.?最高的矩形為第三個矩形，

.??時速的眾數(shù)的估計值為65.

前兩個矩形的面積為(0.01+0.03)X10=0.4.

V0.5-0.4-0.1,昔X10=2.5,

中位數(shù)的估計值為60+2.5=62.5.

故選C.

答案：C

5.解析：由題中的莖葉圖可知，甲種玉米的株高主要集中在20?30cm段，乙種玉米

的株高主要集中在30?40cm,則甲種玉米的平均株高小于乙種玉米的平均株高，但乙種玉米

的株高較分散.故選D.

答案：D

6.解析：由頻率分布直方圖知組距為0.1,由前4組的頻數(shù)和為40,后6組的頻數(shù)和為

87,知第4組的頻數(shù)為40+87—100=27,即視力在4.6到4.7之間的頻數(shù)最大，為27,故最

大頻率a=0.27.視力在4.5到5.2之間的頻率為1-0.01—0.03=0.96,故視力在4.5到5.2之間

的學(xué)生人數(shù)%=0.96X100=96.

答案：B

7.解析：已知樣本數(shù)據(jù)XI,X2,???,XI0的標(biāo)準(zhǔn)差為s=8,則$2=64,數(shù)據(jù)2%］—1,2X2

-1,…，2xio—1的方差為22s2=22X64,所以其標(biāo)準(zhǔn)差為」2?><64=16.

答案：16

8.解析：由分層抽樣可知，

第一分廠應(yīng)抽取100X50%=50(件).

由樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，可知這批電子產(chǎn)品的平均使用壽命為I020X50%

+980X20%+)030X30%=l015(小時).

答案：501015

9.解析：⑴設(shè)年齡組［25,30)對應(yīng)小矩形的高度為人,5X(0.01+/2+0.07+0.06+0.02)

=1,解得/?=0.04.

(2)由(1)得志愿者年齡在［25,35)內(nèi)的頻率為5X(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年齡在

［25,35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55X800=440.

答案：⑴0.04(2)440

10.解析：(1)甲廠10個輪胎寬度的平均數(shù)：I?=-^X(195+l94+196+193+l94+197

+196+195+193+197)=195,乙廠10個輪胎寬度的平均數(shù)：膜=導(dǎo)(195+196+193+192

+195+194+195+192+195+193)=194.

(2)甲廠10個輪胎中寬度在［194,196］內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195,

平均數(shù)：7i=1x(195+194+196+194+196+195)=195,

方差：s仁/義［(195-195)2+(194—195，+(196—195)2+(194-195)2+(196-195)2+

(195-195)4=1,

乙廠10個輪胎中寬度在［194,196］內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,195,195,

平均數(shù)：72=1x(195+196+195+194+195+195)=195,

方差：^=|X[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+

(195-195)2]=*

???兩廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙廠的方差更小，

.?.乙廠的輪胎相對更好.

學(xué)科素養(yǎng)升級練

1.解析：用樣本估計總體情況時，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一

個數(shù),例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,