2021-2022學年河南省信陽市九年級上期末數(shù)學試卷及答案解析

2021-2022學年河南省信陽市九年級上期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.的相反數(shù)等于（）

2

A.-AB.AC.-2D.2

22

2.如圖是我國幾家銀行的標志，其中即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）

?③△⑥c

中國銀行中國工商銀行中國人民銀行中國農業(yè)銀行中國建設銀行

A.2個B.3個C.4個D.5個

TT2

3.單項式上上的系數(shù)是（）

2

1TT

A.AB.ITC.2D.—

22

4.已知直線a//b//c,a與b的距離為5cm,b與c的距離為2cm,則a與c的距離是（）

A.3cmB.1cmC.3c7〃或D.以上都不對

5.今年，我市全面啟動“精準扶貧”工作，某校為了了解九年級貧困生人數(shù)，對該校九年

級6個班進行摸排，得到各班貧困生人數(shù)分別為12,12,14,10,18,16,這組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.12和10B.12和13C.12和12D.12和14

6.下列命題為真命題的是（）

A.有公共頂點的兩個角是對頂角

B.多項式x3-4x因式分解的結果是x（x2-4）

C.I+Q=a

D.一元二次方程x2-x+2=0無實數(shù)根

7.我國古代名著《九章算術》中有一題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”（鳧：野鴨）設野鴨和大雁分別從南海和北海同時起

飛，經(jīng)過x天相遇，可列方程為（）

A.（9-7）x=\B.（9+7）尤=1C.（A-A）x=]D.（A+A）x=]

7979

8.如圖，在同一直角坐標系中，函數(shù)y=區(qū)與〉=&+右的大致圖象是（）

第1頁共25頁

9.如圖，已知乙4。8=30°,P是/AOB平分線上一點，CP〃0B,交。4于點C,PDA.

OB,垂足為點D,且PC=4,則PD等于（）

A.1B.2C.4D.8

10.如圖，正方形ABCZ）中，AB=6,點E在邊CD上，1.CE=2DE.將△ADE沿AE對

折至△AFE,延長交邊BC于點G,連結AG、CF.下列結論：①△ABG四△AFG；

②BG=GC；@EG=DE+BG；@AG//CF；⑤S△尸GC=3.6.其中正確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

11.計算：卜也|=.

12.太和殿（明朝稱為奉天殿、黃極殿），俗稱“金鑾殿”，面積為2377.00層，用科學記數(shù)

法表示這個數(shù)是.

13.方程1-3=0的解為_____.

x-2x

14.函數(shù)>=正］的自變量x的取值范圍.

x-3

第2頁共25頁

15.將矩形ABCD紙片按如圖所示的方式折疊，EF,EG為折痕，試問/AEF+/BEG

16.如圖，點A,B,C在OO上，ZOBC=18°,則/A=

17.為全面推進“新兩基”（基本普及15年教育及縣域內義務教育基本均衡）工作，某縣對

轄區(qū)內的80所中小學上半年工作情況進行了專項督導考核，成績分別記為A,B,C,D

四等，繪制了扇形統(tǒng)計圖（如圖），則該縣被考核的學校中得A等成績的有所.

18.如圖是小強用銅幣擺放的4個圖案，根據(jù)擺放圖案的規(guī)律，試猜想第n個圖案需要

oO

Oocr?

ooooo

00000oooo

個銅幣.第一個圖第二個圖第三個圖第四個圖

三、解答題

19.（1）計算：（-1）2016-/9+(cos60°)”+(V2016-V2015)°+83X(-0.125)3

（）化簡（二一+-

2-4—^）然后選一個合適的數(shù)代入求值.

x+1x2-l『X

20.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,。是AB的中點，DELDF,點、E,尸分別

在AC,上，求證：DE=DF.

第3頁共25頁

D

E

C1-1----------p-"B

21.在四個完全相同的小球上分別標上1,2,3,4四個數(shù)字，然后裝入一個不透明的口袋

里攪勻，小明同學隨機摸取一個小球記下標號，然后放回，再隨機摸取一個小球，記下

標號.

(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法分別表示小明同學摸球的所有可能出現(xiàn)的結果.

(2)按照小明同學的摸球方法，把第一次取出的小球的數(shù)字作為點M的橫坐標，把第

二次取出的小球的數(shù)字作為點M的縱坐標，試求出點y)落在直線y=x上的概率

是多少？

22.閱讀材料：關于三角函數(shù)還有如下的公式：

sin(a+p)=sinacosp±cosasinp

tan(a土m=津土tan」

1+tanCItanB

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)來求值.

。。14

例：tan75°=tan(45°+30°)=廣=2+?

1an45_+tan30=---------

l-tan45tan30

1-1X可

根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}

(1)計算：sinl5°；

(2)某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)

士.李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度.已知李三站在離紀念碑底7米的

C處，在。點測得紀念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°,DC為M米，請你幫助李三求出紀念碑的

高度.

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B

23.2016年3月國際風箏節(jié)在銅仁市萬山區(qū)舉辦，王大伯決定銷售一批風箏，經(jīng)市場調研:

蝙蝠型風箏進價每個為10元，當售價每個為12元時，銷售量為180個，若售價每提高1

元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：

(1)用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量了(個)與售價x(元)之間的函數(shù)關系(12WxW

30)；

(2)王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應定為多少？

(3)當售價定為多少時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是多少？

24.如圖，已知是的直徑，點尸為圓上一點，點C為A3延長線上一點，PA^PC,

ZC=30°.

(1)求證：CP是。。的切線.

(2)若。。的直徑為8,求陰影部分的面積.

25.如圖，拋物線y=o?+bx-1QW0)經(jīng)過A(-1,0),B(2,0)兩點，與y軸交于點

C.

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)點尸在拋物線的對稱軸上，當△ACP的周長最小時，求出點P的坐標；

(3)點N在拋物線上，點M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點N為直角頂點的RtA

DNM與RtZkBOC相似？若存在，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說

明理由.

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2021-2022學年河南省信陽市九年級上期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.1的相反數(shù)等于（）

2

A.」B.AC.-2D.2

22

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：二的相反數(shù)等于工，

22

故選：B.

【點評】本題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)相反數(shù).

2.如圖是我國幾家銀行的標志，其中即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）

中國銀行中國工商銀行中國人民銀行中國農業(yè)銀行中國建設銀行

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：中國銀行標志：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意;

中國工商銀行標志：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；

中國人民銀行標志：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

中國農業(yè)銀行標志：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

中國建設銀行標志：不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直

線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重

合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋轉點，就叫做中心對稱點.

nr2

3.單項式的系數(shù)是（)

2

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1TT

A.AB.71C.2D.—

22

【分析】直接利用單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，進而得出答案.

2

【解答】解：單項式三工-的系數(shù)是：2L.

22

故選：D.

【點評】此題主要考查了單項式的定義，正確把握單項式系數(shù)的定義是解題關鍵.

4.已知直線a//b//c,a與b的距離為5cm,b與c的距離為2cm，則a與c的距離是（）

A.3cmB.1cmC.3cm或1cmD.以上都不對

【分析】分①直線c在直線。、6夕卜，②直線c在直線服。之間兩種情況討論求解.

【解答】解：如圖，①直線c在a、b外時，

與。的距離為5cm,6與c的距離為2cm,

與c的距離為5+2=1cm,

②直線c在直線縱。之間時，

■：a與b的距離為5cm,b與c的距離為2cm,

與c的距離為5-2=3>cm,

綜上所述，a與c的距離為3cm或7cm.

故選：C.

------------------b

圖2

___________a

-----------------b

Sic

【點評】本題考查的是平行線之間的距離，從一條平行線上的任意一點到另一條直線作

垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離.

5.今年，我市全面啟動“精準扶貧”工作，某校為了了解九年級貧困生人數(shù)，對該校九年

級6個班進行摸排，得到各班貧困生人數(shù)分別為12,12,14,10,18,16,這組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

第8頁共25頁

A.12和10B.12和13C.12和12D.12和14

【分析】依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：：12出現(xiàn)的次數(shù)最多，

.??眾數(shù)為12.

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：10、12、12、14、16、18.

中位數(shù)=良+14=13.

2

故選：B.

【點評】本題主要考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的定義，掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關

鍵.

6.下列命題為真命題的是()

A.有公共頂點的兩個角是對頂角

B.多項式/-4x因式分解的結果是x(7-4)

C.。+ci~~a

D.一元二次方程7-x+2=0無實數(shù)根

【分析】要找出正確命題，可運用相關基礎知識分析找出正確選項，也可以通過舉反例

排除不正確選項，從而得出正確選項.

【解答】解：A、有公共頂點的兩個角不一定是對頂角，如鄰補角，是假命題；

B、多項式/-4尤因式分解的結果是x(尤-2)(x+2),是假命題；

C、a+a=2a,是假命題；

D、一元二次方程/-x+2=0,A=1-4X2X1=-7<0,所以無實數(shù)根，是真命題；

故選：D.

【點評】此題考查命題問題，關鍵是根據(jù)對頂角、因式分解、合并同類項以及一元二次

方程的知識判斷.

7.我國古代名著《九章算術》中有一題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”(鳧：野鴨)設野鴨和大雁分別從南海和北海同時起

飛，經(jīng)過無天相遇，可列方程為()

A.(9-7)x=lB.(9+7)x=lC.(A-A)X=1D.(?1+■1)x=l

7979

【分析】直接根據(jù)題意得出野鴨和大雁的飛行速度，進而利用它們相向而行何時相逢進

而得出等式.

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【解答】解：設野鴨大雁與從北海和南海同時起飛，經(jīng)過X天相遇，可列方程為：

（―+—）x=\.

79

故選：D.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示出每天飛行的距離

是解題關鍵.

8.如圖，在同一直角坐標系中，函數(shù)y=區(qū)與>=依+必的大致圖象是（）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)尸上與一次函數(shù)y=kx+e中系數(shù)k的符號進行分類討論即可.

x

【解答】解：?.?函數(shù)>=上與>=日+后的系數(shù)左相同，合>0,

x

...當%>0時，直線經(jīng)過一二三象限，雙曲線分布在一三象限，與各選項不符；

當上<0時，直線經(jīng)過一二四象限，雙曲線分布在二四象限，與C選項符合，

故選：C.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解決問題的關鍵是掌握反比例

函數(shù)的性質以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

9.如圖，已知NAOB=30°,P是NAOB平分線上一點，C尸〃08,交。4于點C,PD±

OB,垂足為點O,且PC=4,則等于（）

A.1B.2C.4D.8

【分析】作PELOA于E，如圖，先利用平行線的性質得/￡”=/4。8=30°,則尸E

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=lpC=2,然后根據(jù)角平分線的性質得到尸。的長.

2

【解答】解：作于E,如圖，

"CP//OB,

：.ZECP=ZAOB=30°,

在Rt/XEPC中，尸E=J_PC=」X4=2,

22

是NAOB平分線上一點，PE±OA,PD10B,

：.PD=PE=2.

故選：B.

【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.解決

本題的關鍵是把求P點到0B的距離轉化為點P到的距離.

10.如圖，正方形ABC。中，AB=6,點E在邊CD上，MCE=2DE.將△4OE沿AE對

折至△AFE,延長E尸交邊BC于點G,連結AG、CF.下列結論：?AABG^AAFG；

②BG=GC；③EG=DE+BG；@AG//CF；⑤&FGC=3.6.其中正確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先計算出D￡=2,EC=4,再根據(jù)折疊的性質AF=AD=6,EF=ED=2,ZAFE

=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,然后根據(jù)“HL"可證明Rt^ABG之Rt/XAPG,貝UGB=

GF,ZBAG=ZFAG,所以/GAE=L/BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE-,設BG=x,

2

則GF=x,CG=BC-BG=6-x,在RtZ\CGE中，根據(jù)勾股定理得(6-尤)2+42=(x+2)

2,解得尤=3,則BG=CG=3,則點G為BC的中點；同時得到GF=GC,根據(jù)等腰三

角形的性質得NGFC=/GCR再由RtzXABG/RtZkAFG得到/AG2=/AGP,然后根

第11頁共25頁

據(jù)三角形外角性質得/BGF=/GFC+/GCR易得/AGB=NGCF,根據(jù)平行線的判定

方法得到C尸〃AG；過下作切_LDC,則△EFHS/^EGC,AEFH^AEGC,由相似比

為2,可計算SMGG

5

【解答】解：：正方形ABCD的邊長為6,CE=2DE,

：.DE=2,EC=4,

:把△AOE沿AE折疊使△AOE落在△AFE的位置，

：.AF=AD^6,EF=ED=2,ZAFE=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,

在RtAABG和RtAAFG中

[AB=AF,

IAG=AG，

RtAABG^RtAAFG(HL),

：.GB=GF,ZBAG=ZFAG,

：.ZGAE=ZFAE+ZFAG=^-ZBAD=45°,所以①正確；

2

設BG=x,則GF=x,CG=BC-BG=6-x,

在Rt/XCGE中，GE=x+2,EC=4,CG=6-x,

,：CG2+CE2=GE1,

(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3,

.,.BG=3,CG=6-3=3

；.BG=CG,所以②正確；

:EF=ED,GB=GF,

：.GE=GF+EF=BG+DE,所以③正確；

；GF=GC,

：.ZGFC=ZGCF,

又RtAABG^RtAAFG,

ZAGB=ZAGF,

而ZBGF=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB+ZAGF=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB=ZGCF,

C.CF//AG,所以④正確；

過尸作FHLDC

第12頁共25頁

■:BC1DH,

J.FH//GC,

:?△EFHsXEGC,

?

??—EH——EF,

GCEG

EF=DE=2,GF=3,

：.EG=5,

：*AEFHs叢EGC,

,相似比為：旦旦上2=2,

GCEG5

/?SAFGC=S^GCE-SAFEC=—X3X4-1X4X(2x3)=-11=3.6,所以⑤正確.

2255

故正確的有①②③④⑤，

【點評】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了三角形全等的判定與性

質、勾股定理和正方形的性質.

二、填空題

11.計算：|-V2I=_■

【分析】根據(jù)一個負實數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)求解即可.

【解答】解：I-721=V2.

故答案為：V2.

【點評】本題考查了實數(shù)絕對值的定義：一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負實數(shù)的

絕對值是它的相反數(shù)，。的絕對值是0.

12.太和殿（明朝稱為奉天殿、黃極殿），俗稱“金鑾殿”，面積為2377。0層，用科學記數(shù)

法表示這個數(shù)是2.377X1（A/.

【分析】分析：科學記數(shù)法表示數(shù)，就是把一個數(shù)寫成aX10”形式，其中“為整數(shù)，且

第13頁共25頁

lW|a|<10,〃為整數(shù).

【解答】解：2377.00=2.377X103

故答案為：2.377X1（）3祖2

【點評】本題考查科學記數(shù)法的記法.正確理解科學表示方法是正確求解的關鍵.

13.方程-3=0的解為x=-3.

x-2x

【分析】依據(jù)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出

結論.

【解答】解：去分母，得：5廠3（尤-2）=0,

整理，得：2x+6=0,

解得：尤=-3,

經(jīng)檢驗：x=-3是原分式方程的解，

故答案為：x=-3.

【點評】本題主要考查解分式方程能力，熟練掌握解分式方程的步驟是關鍵.

14.函數(shù)y="x-l的自變量尤的取值范圍xNl,且xW3.

x-3

【分析】本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)關系中主要有二次根式和分式兩部分.根

據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)尤-1N0；根據(jù)分式有意義的條件,X-3W0,則函數(shù)了二￡1

x-3

的自變量入取值范圍就可以求出.

【解答】解：根據(jù)題意得：,x-l#0

Ix-3卉0

解得xNl,且xW3,

即：自變量x取值范圍是x2l,且xW3.

【點評】函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù).

15.將矩形ABCD紙片按如圖所示的方式折疊，EF,EG為折痕，試問/AEF+/BEG=

90°.

第14頁共25頁

C'

【分析】根據(jù)翻折的定義可以得到各角之間的關系，從而可以得到/AEF+/BEG的度數(shù),

從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

ZAEF=ZFEA',ZBEG=ZGEA',

VZAEF+ZFEA'+ZBEG+ZGEA'=180°,

AZAEF+ZBEG=9Q°,

故答案為：90°.

【點評】本題考查翻折變換、矩形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

16.如圖，點A,B,C在上，ZOBC=18°,則NA=7點.

【分析】由OB=OC,利用等邊對等角得到一對角相等，進而求出/BOC的度數(shù)，再利

用圓周角定理求出NA的度數(shù)即可.

【解答】W：'：OB=OC,ZOBC=18°,

；./OBC=/OCB=18°,

AZBOC=144°,

：/A與NBOC都對祕，

AZA=72°,

故答案為：72。

【點評】此題考查了圓周角定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握圓周角定理是解本

題的關鍵.

17.為全面推進“新兩基”（基本普及15年教育及縣域內義務教育基本均衡）工作，某縣對

第15頁共25頁

轄區(qū)內的80所中小學上半年工作情況進行了專項督導考核，成績分別記為A,B,C,D

四等，繪制了扇形統(tǒng)計圖(如圖)，則該縣被考核的學校中得4等成績的有56所.

【分析】用總學校數(shù)XA等的百分比即可.

【解答】解：80X(1-25%-3%-2%)=56(所)；

故答案為：56.

【點評】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是從扇形統(tǒng)計圖得出正確的數(shù)據(jù).

18.如圖是小強用銅幣擺放的4個圖案，根據(jù)擺放圖案的規(guī)律，試猜想第〃個圖案需要—工包

OCTO

OOOOO

OOOOOOO

(w+1)+1個銅幣.第一個圖第二個圖第三個圖第四個圖

【分析】找出相鄰兩個圖形銅幣的數(shù)目的差,從而可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，于是可求得問題

的答案.

【解答】解：”=1時，銅幣個數(shù)=1+1=2；

當n=2時，銅幣個數(shù)=1+1+2=4；

當〃=3時，銅幣個數(shù)=1+1+2+3=7；

當”=4時，銅幣個數(shù)=1+1+2+3+4=11；

第幾個圖案，銅幣個數(shù)=1+1+2+3+4+…+〃=工7(〃+1)+1.

2

故答案為：—n(n+1)+1.

2

【點評】本題主要考查的是圖形的變化規(guī)律，找出其中的規(guī)律是解題的關鍵.

三、解答題

19.(1)計算：(-1)2016-V9+(cos60°)-1+(V2016-V2015)o+83x(-0.125)3

(2)化簡+2,然后選一個合適的數(shù)代入求值.

x+1x2-l1-X

【分析】(1)根據(jù)哥的乘方、負整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)累、積的乘方可以解答本題；

第16頁共25頁

(2)根據(jù)分式的加法和除法可以可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式

子即可解答本題.

【解答】解：(1)(-1)2016-^/9+(cos600)“+(V2016-72015)°+83X(-0.125)

=1-3+2+1+(-1)

=0；

(2)(^―+-^—)+①

x+l1-X

-X-l+1r]-X

(x+l)(x-1)2x

_____X____1-X

(x+l)(x-1)2x

=___1

[(x+l)'

【點評】本題考查事的乘方、負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、積的乘方、分式的化簡求值，

解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法.

20.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZC=9O°,。是AB的中點，OEJ_DF,點E,尸分別

在AC,BC上，求證：DE=DF.

【分析】連接CD,構建全等三角形，證明即可.

【解答】解：連接CD,

VZC=90°,。是A2的中點，

；.CD=IAB=BD,

2

'：AC=BC,

：.CD1AB,ZACD=ZB=45°,

：.ZCDF+ZBDF=9Q°,

第17頁共25頁

'：ED±DF,

；./EDF=90°,

/.ZEDC+ZCDF=90°,

ZEDC=ZBDF,

:.AECD經(jīng)4FBD,

【點評】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質和判定，運用了直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形三線合一的性質，同時要熟知等腰直角三

角形的特殊性：如兩個銳角都是45。；在全等三角形的證明中，常運用同角的余角相等

來證明角相等.

21.在四個完全相同的小球上分別標上1,2,3,4四個數(shù)字，然后裝入一個不透明的口袋

里攪勻，小明同學隨機摸取一個小球記下標號，然后放回，再隨機摸取一個小球，記下

標號.

（1）請你用畫樹狀圖或列表的方法分別表示小明同學摸球的所有可能出現(xiàn)的結果.

（2）按照小明同學的摸球方法，把第一次取出的小球的數(shù)字作為點M的橫坐標，把第

二次取出的小球的數(shù)字作為點M的縱坐標，試求出點y）落在直線y=x上的概率

是多少？

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖得出所有可能的結果，注意是放

回實驗還是不放回實驗；

（2）由表格求得所有等可能的結果與數(shù)字x、y滿足y=x的情況，再利用概率公式求解

即可求得答案.

【解答】解：（1）

列表得：

1234

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1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

畫樹狀圖得:

/Ax

1234123412341234

則小明共有16種等可能的結果;

(2)由(1)中的表格知，共有16個結果，每種結果出現(xiàn)的可能性都相同，其中滿足條

件的點有(1，1),(2,2),(3,3),(4,4)落在直線y=x上；

點尸(x,y)落在直線＞=無上的概率是-L=L.

164

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意區(qū)分放回與不放回實驗，列

表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.閱讀材料：關于三角函數(shù)還有如下的公式：

sin(a+P)=sinacosp+cosasinP

tan(a±p)土tan」

1+tanCLtanB

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)來求值.

。。14

例：tan75°=tan(45°+30°)=tan45~+tan3°—=----%==2+晶

l-tan45tan30

IT*萬

根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}

(1)計算：sinl5°；

(2)某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)

士.李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度.已知李三站在離紀念碑底7米的

C處，在。點測得紀念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°,DC為如米,請你幫助李三求出紀念碑的

第19頁共25頁

高度.

【分析】（1）把15°化為45°-30°以后，再利用公式sin（a±B）=sinacos0土cosasinB

計算,即可求出sinl5°的值；

（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再根據(jù)即可得出結論.

【解答】解：（l）sinl5°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=返乂

2

V3,V2y1^76-72

2224

（2）在中，VZBED=90°,/BDE=I5°,OE=AC=7米，

BE=DE'tanZBDE^￡>￡?tan75°.

Vtan75°=2-H/3-

：.BE=1（2-H/3）=14+7后

AAB=AE+BE=V3+14+7V3=14+8^3（米）?

答：紀念碑的高度為（14+8?）米.

【點評】本題考查了：（1）特殊角的三角函數(shù)值的應用，屬于新題型，解題的關鍵是根

據(jù)題目中所給信息結合特殊角的三角函數(shù)值來求解.（2）解直角三角形的應用-仰角俯

角問題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長是解題的關鍵.

23.2016年3月國際風箏節(jié)在銅仁市萬山區(qū)舉辦，王大伯決定銷售一批風箏，經(jīng)市場調研:

蝙蝠型風箏進價每個為10元，當售價每個為12元時，銷售量為180個，若售價每提高1

元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：

（1）用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量了（個）與售價x（元）之間的函數(shù)關系（12WxW

30）；

（2）王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應定為多少？

（3）當售價定為多少時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是多少？

第20頁共25頁

【分析】(1)設蝙蝠型風箏售價為尤元時，銷售量為y個，根據(jù)“當售價每個為12元時，

銷售量為180個，若售價每提高1元，銷售量就會減少10個”，即可得出y關于x的函

數(shù)關系式；

(2)設王大伯獲得的利潤為W,根據(jù)“總利潤=單個利潤X銷售量”，即可得出卬關于

x的函數(shù)關系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出結論；

(3)利用配方法將W關于x的函數(shù)關系式變形為W=-10(x-20)2+1000,根據(jù)二次

函數(shù)的性質即可解決最值問題.

【解答】解：(1)設蝙蝠型風箏售價為x元時，銷售量為y個，

根據(jù)題意可知：y=180-10(x-12)=-lOx+300(12W尤W30).

(2)設王大伯獲得的利潤為W,則W=(x-10)y=-10^+400%-3000,

令W=840,則-10f+400x-3000=840,

解得：xi=16,X2=24,

答：王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應定為16元.

(3)VW=-10?+400x-3000=-10(x-20)2+1000,

'：a=-10<0,

...當x=20時，W取最大值，最大值為1000.

答：當售價定為20元時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是1000元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：(1)根據(jù)數(shù)量關系找出y關于尤

的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)數(shù)量關系找出W關于x的函數(shù)關系式；(3)利用二次函數(shù)的性

質解決最值問題.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關系找出

函數(shù)的關系式是關鍵.

24.如圖，已知A3是的直徑，點尸為圓上一點，點C為延長線上一點，PA=PC,

ZC=30°.

(1)求證：CP是。。的切線.

(2)若OO的直徑為8,求陰影部分的面積.

【分析】(1)證明：連接0尸，如圖，利用等腰三角形的性質得NA=NC=30°.ZOPA

第21頁共25頁

=ZA=30°,再根據(jù)三角形外角性質得NCOP=60°,則利用三角形內角和得到NOPC

=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到結論；

(2)根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=S扇形進行計算.

【解答】(1)證明：連接0尸，如圖，

*：PA=PC,

???NA=NC=30°.

?：OA=OP,

：.ZOPA=ZA=30°,

AZCOP=ZA+ZOB\=60°,

.\ZOPC=180°-30°-60°=90°,

：.OP±PC,

???C尸是。。的切線；

(2)解：VZPOB=60°,

???△。尸3為等邊三角形，

...陰影部分的面積=5扇形POB-S"OB=§叱Y-^-X42=K-473.

36043

【點評】本題考查了切線的判定與性質