2021-2022學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.在△ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,則tanB是（）

3.在一個不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個，這些球除顏色外無其他差別，在

看不見球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個球記錄顏色后放回.經(jīng)過多次試驗，發(fā)現(xiàn)摸

到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為（）

A.12B.15C.18D.22

4.三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下

的影子合理的是（）

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（-4,2）,F（-2,-2）,以原點(diǎn)。為位似中心,

相似比為把△斯?？s小，則點(diǎn)￡的對應(yīng)點(diǎn)燈的坐標(biāo)是（）

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.（-2,1）或（2,-1）D.（-8,4）或（8,-4）

6.反比例函數(shù)y=K（k>0）圖象上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xi,%）,（血,”），（口,

X

>3）,若Xl<X2<0<X3,則》,y2,券的大小關(guān)系是（）

A.B.y2<yi<y3C.D.Ji<y3<j2

7.如圖，AB為OO的直徑，C、。為上兩點(diǎn)，連接AC、CD,CO與AB相交于點(diǎn)E,

若俞=2祕，ZC=20°,則/A即的度數(shù)為（）

A.50°B.53°C.55°D.58

8.如表中列出的是二次函數(shù)中x與y的幾組對應(yīng)值：

X.??-2013???

.?????

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是（）

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，且都在y軸同側(cè)

C.當(dāng)x>l時，y的值隨x值的增大而增大

D.方程辦2+（匕+2）x+c=-4的解為xi=0,X2=1

二、填空題（每小題3分，共18分）

9.若將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達(dá)式

為.

10.已知一個正多邊形的一個外角為72°,則它的內(nèi)角和為

1L若#,則鬻

12.寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形.古希臘很多矩形建筑中寬與長的比都等于

黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB<AD,以AB為邊在矩形ABC。內(nèi)部作正方

形ABEF,若AO=1,則=

.AFD

BEC

13.反比例函數(shù)函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)丫=妙+〃的圖象交于兩點(diǎn)Q,。+2),(-2a,

X

。-4),則不等式上＞妙+"的解集為.

X

14.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別為邊A。、上的兩點(diǎn)，AE=BF,連接B及CF

交于點(diǎn)、H,當(dāng)S四邊彩AFHE+SABHC=Y3S正方形ABCD時，典；=.

三、解答題(共78分)

15.計算：cos30°+|sin60°-l|+^i-2tar^5—.

16.解方程：2(x+3)&(x+3).

17.如圖，點(diǎn)C為以AB為直徑的圓外一點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖法作一條直線/,使得直線/過

點(diǎn)C,且將圓的周長分成相等的兩部分(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

H

18.如圖，菱形ABC。中，點(diǎn)尸為邊AQ上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊C。上一點(diǎn)，連接8/、BE,若

19.已知關(guān)于尤的一元二次方程近2-6尤+9=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求發(fā)的取值范圍；

(2)若方程的兩根羽，X2滿足陽+X2=12,請求出方程的兩根.

20.國家的“雙減”政策要求教師注重作業(yè)的設(shè)計與布置，為了更好落實國家的“雙減”政

策，某學(xué)校七年級為學(xué)生設(shè)計了豐富多彩的寒假實踐作業(yè)，作業(yè)由兩類7項組成，供學(xué)

生自主選擇完成.

A類：創(chuàng)作微視頻，內(nèi)容可從以下四方面選擇：ai：一道（類）題的解法研究，?2：讀數(shù)

學(xué)類書籍的心得分享；的：魔術(shù)與數(shù)學(xué)；。4：某個數(shù)學(xué)知識的探究.B類：創(chuàng)作手抄報，

內(nèi)容可以從以下3個方面選擇：繪制七年級上章節(jié)思維導(dǎo)圖：岳：數(shù)學(xué)家的故事；匕3：

數(shù)學(xué)知識發(fā)展史.

同學(xué)們可以從以上7項作業(yè)中任選一項或兩項來完成，請回答下列問題：

（1）小明準(zhǔn)備隨機(jī)選擇一項去完成，則他選擇的：魔術(shù)與數(shù)學(xué)的概率為;

（2）小麗準(zhǔn)備從A、B兩類中分別隨機(jī)選擇一項完成，求小麗最終選擇完成④和加兩項

作業(yè)的概率.

21.滑雪是冬天人們最喜愛的運(yùn)動項目之一，如圖為一個滑雪場雪道的截面圖，雪道由AB

和兩段組成，AB的坡角/A=17°,3c的坡角/CB￡=25°,A、C兩點(diǎn)間的水平

距離A0=2000米，鉛直距離C0=800米，求AB兩點(diǎn)間的鉛直距離（參考數(shù)據(jù)：

sin25°-0.4,tan25°心0.5,sinl7°心0.3,tanl7°心0.3）

22.李大爺每年春節(jié)期間都會購進(jìn)一批新年紅包銷售，根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，這種紅包平均

每天可銷售50袋，每袋盈利3元，若每袋降價0.5元，平均每天可多售出25袋，設(shè)每袋

降x元，平均每天的利潤為y元.

（1）請求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若李大爺想讓每天的利潤最大化，應(yīng)該降價多少元銷售？最大利潤為多少元？

23.如圖，矩形A3C。中，AB=16,AD=18,經(jīng)過點(diǎn)A,與交于點(diǎn)￡,與相交

于點(diǎn)八與BC相切于點(diǎn)區(qū)ED=2.

（1）求證：O。與CD相切；

（2）連接EF并延長，交CB的延長線于點(diǎn)求MB的長.

24.拋物線》二返北+加什〃與x軸交于A,5兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C

3

(0,-次)，拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)。(1,0).

(1)請求出〃2,"的值，并直接寫出A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸為x軸上方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，是否存在尸，Q,使得△。尸Q

與AABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

25.問題提出

(1)如圖1,4、B為。0外的兩點(diǎn)，請在OO上畫出所有使得AC+BC的值最小的C點(diǎn).

問題探究

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AO=3,ZBCD=ZBAD^90°,AC=4,求BC+C。

的值；

問題解決

(3)如圖3,某城市要修建一塊草坪，草坪由三條線段AB、BC、CD和圓弧AD圍成，

計劃在圓弧AD段用花來布置成標(biāo)志性造型，AB和CD段栽種觀賞性樹木，BC臨湖.已

知點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，BE=CE=6,篇長為4n,且俞上任意一點(diǎn)R滿足/2EE=30°,

為了降低成本，現(xiàn)計劃使得AB+C。最小，求A3+CZ)的最小值.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.在△A2C中，ZC=90°,AC=1,BC=2,貝。tanB是（）

A.逅B.—C.2D.—

523

【分析】直接根據(jù)正切的定義求出結(jié)果.

解：?.?在△ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,

故選：B.

2.下面幾何體的左視圖為（）

【分析】找到從幾何體的左邊看所得到的圖形即可.

解：左視圖是一個矩形，矩形的內(nèi)部有一條橫向的虛線.

故選：D.

3.在一個不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個，這些球除顏色外無其他差別，在

看不見球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個球記錄顏色后放回.經(jīng)過多次試驗，發(fā)現(xiàn)摸

到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為（）

A.12B.15C.18D.22

【分析】用球的總個數(shù)乘以摸到紅球頻率的穩(wěn)定值即可.

解：根據(jù)題意，紅球的個數(shù)約為40X30%=12（個），

故選：A.

4.三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下

的影子合理的是()

B.；?>_

、.，

，■一

t、

D.II-

【分析】三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子應(yīng)該

同方向、長度相等且平行.

解：A.在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項錯誤；

B.在某一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應(yīng)該相同，故本選項錯誤；

C.在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項正確；

D.在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項錯誤.

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E(-4,2),F(-2,-2),以原點(diǎn)。為位似中心，

相似比為a，把△EF?？s小，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E'的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

【分析】E(-4,2)以。為位似中心，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為處,把

縮小，則點(diǎn)￡的對應(yīng)點(diǎn)￡'的坐標(biāo)是￡(-4,2)的坐標(biāo)同時乘以1■或-

22

解：：點(diǎn)E(-4,2),以原點(diǎn)。為位似中心，相似比為春，把縮小，

.??點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)￡'的坐標(biāo)是：(-2,1)或(2,-1).

故選：C.

6.反比例函數(shù)丁=乂(2>0)圖象上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(為，yi),(應(yīng)，>2),(x3,

x

>3),若X1VX2〈O<X3,則>1,>2,丁3的大小關(guān)系是()

A.yi<y2<y3B.丁2〈”</C.y2<y3<yiD.yi<y3<y2

【分析】畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可得答案.

若xi<尤2<0<工3,由圖可知：y2<yi<yi,

故選：B.

7.如圖，為。。的直徑，C、。為。。上兩點(diǎn)，連接AC、CD,CD與A3相交于點(diǎn)E,

若命=2前，NC=20。，則NAED的度數(shù)為（）

A.50°B.53°C.55°D.58°

【分析】連接OC,先利用圓周角定理求出NA。。，從而求出NOO3,再根據(jù)新=

2前，求出N50G進(jìn)而求出NC4。，最后利用三角形的外角進(jìn)行計算即可解答.

解：連接OO,OG

VZACD=20°,

AZAOD=2ZACD=4Q°,

???NOO3=180°-ZAO￡)=140°,

:俞=2前,

???NBOD=2NBOC,

：.ZBOC=70°,

：.ZCAO=-ZBOC=35

2

AZAED=ZACD+ZCAO=55°,

故選：C.

8.如表中列出的是二次函數(shù)>=0^+6無+0中x與y的幾組對應(yīng)值:

X.??-2013???

.??.??

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，且都在y軸同側(cè)

C.當(dāng)x>l時，y的值隨x值的增大而增大

D.方程辦?+(b+2)x+c=-4的解為xi=O,X2=1

【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=楙，利用X=1時，y=-6

<-4,則可判斷拋物線的開口向上，所以與x軸有兩個交點(diǎn)，且在y軸兩側(cè)，則可對4、

B選項進(jìn)行判斷；由于拋物線的對稱軸為直線則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對C選項

進(jìn)行判斷；利用與直線y=-2x-4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(1,-6),

則可對。選項進(jìn)行判斷.

解：?.?拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,-4),(3,-4),

?,?拋物線的對稱軸為直線

而x=l時，y=-6<-4,

???拋物線的開口向上，與x軸有兩個交點(diǎn)，且在y軸兩側(cè)，所以A、8選項都不符合題意；

,??拋物線的對稱軸為直線X=-|,

.?.當(dāng)■時，y的值隨X值的增大而增大，所以C選項不符合題意；

?.?點(diǎn)(0,-4),(1,-6)在拋物線上，也在直線y=-2x-4上，

即>=以2+笈+。與直線)=-2%-4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(1,-6),

.??方程〃入2+加汁。=-2x-4的解為陽=0,%2=1,

即方程(b+2)x+c=-4的解為陽=0,%2=1,所以。選項符合題意.

故選：D.

二、填空題（每小題3分，共18分）

9.若將拋物線>=/向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達(dá)式為

y=（x-2）2+3.

【分析】先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,把點(diǎn)（0,0）向右平移2個單位，

再向上平移3個單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,3）,然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后拋物線

的解析式.

解:拋物線>=/的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,把點(diǎn)（0,0）向上平移2個單位，再向右平移

3個單位得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,3）,

所以平移后拋物線的解析式為y=（尤-2）2+3.

故答案為：尸（x-2）2+3.

10.已知一個正多邊形的一個外角為72°,則它的內(nèi)角和為54（）。.

【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360。，利用360。除以外角的度數(shù)就可以求出外

角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù).”邊形的內(nèi)角和是（?-2）-180°,把多邊形的邊

數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和.

解：多邊形的邊數(shù)為：360°+72。=5,

正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是：（5-2）-180°=540°.

故答案為：540°.

11.若4■=/則2a-b1

23a+2b~8~

【分析】利用設(shè)左法進(jìn)行計算即可解答.

解：.—a——b，

23

.a2

b3

.,.設(shè)a=2左，b=3k,

?2a-b4k-3kk1

a+2b2k+6k8k8'

故答案為：春

o

12.寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形.古希臘很多矩形建筑中寬與長的比都等于

黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB<AD,以A3為邊在矩形ABC。內(nèi)部作正方

形ABEF,若AO=1,貝！|。尸=3-遙

~2-

.AFD

BEC

【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB,再利用正方形的性質(zhì)求出AR然后進(jìn)行計算即可解

答.

解：：矩形ABCD為黃金矩形，AB<AD,

?AB_V5~1

"AD2-'

：.AB=恒工。=遙一］,

22

???四邊形4BEF是正方形，

：.AB=AF=^~1,

2_

：.DF=AD-AF=l-遙-1=1'灰,

22

故答案為：主逅.

2

13.反比例函數(shù)函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)>=見什〃的圖象交于兩點(diǎn)（。，〃+2）,（-2a,

x

〃-4）,則不等式區(qū)的解集為xV-4或0VxV2..

X

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k=xy得至！Jk=a（〃+2）=-2〃（〃-4）,解得a=2,即

可求得交點(diǎn)為（2,4）和（-4,-2）,根據(jù)圖象即可求得不等式K>M+〃的解集.

x

解：???反比例函數(shù)函數(shù)>=上的圖象與一次函數(shù)丁=爾+〃的圖象交于兩點(diǎn)（。，。+2）,

x

（-2a,a-4）,

:.k=a（〃+2）=-2a（a-4）,

解得〃=2或。=0（舍去），

???交點(diǎn)為（2,4）和（-4,-2）,

???交點(diǎn)在一、三象限，如圖，

二?不等式的解集為x<-4或0VxV2,

故答案為：XV-4或0<xV2.

14.如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別為邊A。、A3上的兩點(diǎn)，AE=BF,連接成、CF

交于點(diǎn)H，當(dāng)S四邊形AFHE^~SLBHC=U段S正方形A8CQ時，■二=返

-4BC-3—

【分析】設(shè)正方形的邊長為1,AE=8尸=a,根據(jù)勾股定理，得"=/BF2+BC二=,6+「

根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABE/ZiBCF(SAS),可得/ABE=NBCF,S^ABE=S^BCF,然

后證明△HBCs/iBPC,根據(jù)S四奶^”用葉5動碇=返,正方形至四，列式計算即可.

4

解：設(shè)正方形的邊長為1,AE=BF=a,

；?FC=VBF2+BC2=Va2+r

在正方形4BCD中，AB=BC,ZA=ZABC=90°,

在△ABE和△BCF中，

'AE=BF

<ZA=ZCBF=90°.

AB=BC

Z.AABE^/\BCFCSAS),

NABE=NBCF,SAABE=S/\BCF，

VZABE+ZEBC=90°,

AZBCF+ZEBC=90°,

：.ZCBH=90°,

：.BH±CF,

?SAABE=SABCF,

??S四邊形AFHES/\BHC,

\'S^BCF=--XBC-BF=^-XFC-BH,

22

/.1Xa=Ja2+]XBH,

a

:.BH=],

7a2+1

ZHCB=ZBCF,ZCHB=ZCBF=9Q°,

:.△HBCs^BFC,

.BHBF

..------=------=a,

HCBC

RU1

HC-......=r~,

aMa'+l

:.SABHC=MXHC?BH=-11_i

廣kq

2：

??_^/3

*?*S四邊形AFHE+S43HC=-----S'正方形ABCZ），

4

?

??2S/\BHC=------S正方形ABCZ）,

4

1aV?

???2><3X—"

2a29+l4

解得a=*或a=遮（4

拿去），

.BF=V3_

**BC3,

故答案為：返.

3

三、解答題（共78分）

15.計算：cos30°+|sin60°.2tan45°

3

【分析】先將特殊角三角函數(shù)值代入,再去絕對值及化簡二次根式，最后合并即可.

解：原式考+醇帥多1

=返+1-返+、后

22V3

=1+返.

3

16.解方程：2(x+3)2=3(x+3).

【分析】方程移項后分解因式，利用因式分解法求出解即可.

解：方程移項得：2(x+3)2-3(x+3)=0,

分解因式得：(x+3)[2(x+3)-3]=0,

整理得：(x+3)(2x+3)=0,

所以x+3=0或2x+3=0,

解得：xi=-3,X2=-1.5.

17.如圖，點(diǎn)C為以AB為直徑的圓外一點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖法作一條直線/,使得直線/過

點(diǎn)C,且將圓的周長分成相等的兩部分(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

B

【分析】先作的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)，然后連接OC得到直線/.

18.如圖，菱形ABC。中，點(diǎn)尸為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接8尸、BE,若

NDFB+/BEC=180°,求證：BF=BE.

【分析】由"SAS”可證△A2P且△C3E,可得BF=BE.

【解答】證明：???四邊形ABC。是菱形，

J.AB^BC,ZA=ZC,

'：ZDFB+ZBEC=1SO°,ZDFB+ZAFB=180°,

：.ZAFB=ZBEC,

在△ABF和△CBE中，

2A=NC

<ZAFB=ZBEC>

AB=BC

:.△AB%LCBE(A4S),

:.BF=BE.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程近2-6x+9=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求上的取值范圍；

(2)若方程的兩根XI,X2滿足修+尤2=12,請求出方程的兩根.

【分析】(1)利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到修。且△=(-6)2-4妙

9>0,然后求出兩不等式的公共部分即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得的+肛=旦=12,解得左=《，當(dāng)無=工時，原方程變形為必

k22

-12x=-18,然后利用配方法解方程.

解:(1)由題意得,b2-4ac>0,

即(-即2-44?9>0,

解得：

又?:ZWO,

k<1且20；

(2)根據(jù)題意得即+尬=2=12,

k

解得k=^,

當(dāng)％=《時，原方程變形為斗？-6x+9=0,

22

X2-12x=-18,

(x-6)2=18,

所以xi=6+3&,尬=6-3&.

20.國家的“雙減”政策要求教師注重作業(yè)的設(shè)計與布置，為了更好落實國家的“雙減”政

策，某學(xué)校七年級為學(xué)生設(shè)計了豐富多彩的寒假實踐作業(yè)，作業(yè)由兩類7項組成，供學(xué)

生自主選擇完成.

A類：創(chuàng)作微視頻，內(nèi)容可從以下四方面選擇：?：一道(類)題的解法研究，讀數(shù)

學(xué)類書籍的心得分享；的：魔術(shù)與數(shù)學(xué)；。4：某個數(shù)學(xué)知識的探究.B類：創(chuàng)作手抄報，

內(nèi)容可以從以下3個方面選擇：岳：繪制七年級上章節(jié)思維導(dǎo)圖：fo：數(shù)學(xué)家的故事；b3：

數(shù)學(xué)知識發(fā)展史.

同學(xué)們可以從以上7項作業(yè)中任選一項或兩項來完成，請回答下列問題：

（1）小明準(zhǔn)備隨機(jī)選擇一項去完成，則他選擇的：魔術(shù)與數(shù)學(xué)的概率為《；

~7~

（2）小麗準(zhǔn)備從4、8兩類中分別隨機(jī)選擇一項完成，求小麗最終選擇完成和仇兩項

作業(yè)的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出小麗最終選擇完成。2和優(yōu)兩項作業(yè)

的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

解：（1）小明準(zhǔn)備隨機(jī)選擇一項去完成，則他選擇。3：魔術(shù)與數(shù)學(xué)的概率=";

故答案為：~

（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小麗最終選擇完成。2和優(yōu)兩項作業(yè)的結(jié)果數(shù)為1,

所以小麗最終選擇完成的和加兩項作業(yè)的概率=3.

12

21.滑雪是冬天人們最喜愛的運(yùn)動項目之一，如圖為一個滑雪場雪道的截面圖，雪道由A3

和3c兩段組成，A3的坡角/A=17°,的坡角NC3E=25°,A、C兩點(diǎn)間的水平

距離40=2000米，鉛直距離CD=800米，求AB兩點(diǎn)間的鉛直距離（參考數(shù)據(jù)：

sin25°—0.4,tan25°^0.5,sinl7°^0.3,tanl7°^0.3）

【分析】根據(jù)正切的定義用x表示出AH,進(jìn)而求出3E再根據(jù)正切的定義列出方程,

解方程得到答案.

解：設(shè)3"=九米，

由題意得：四邊形為矩形,

:.DE=BH=x米,BE=DH,

CE=(800-x)米,

在RtzXBA”中，tanNBAH=理,

AH

.BH?x10(米)，

tan/BAH0.33

：.BE=DH=(2000-當(dāng)x)米,

3

在Rt^C3E1中，tanNC3E=",

BE

800-x

10-0.5,

2000-^-x

O

M砥1200

角牛得：x=---,

答：兩點(diǎn)間的鉛直距離為片生米.

22.李大爺每年春節(jié)期間都會購進(jìn)一批新年紅包銷售，根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，這種紅包平均

每天可銷售50袋，每袋盈利3元，若每袋降價0.5元，平均每天可多售出25袋，設(shè)每袋

降x元，平均每天的利潤為y元.

(1)請求出y與尤的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若李大爺想讓每天的利潤最大化，應(yīng)該降價多少元銷售？最大利潤為多少元？

【分析】(1)根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將(1)中函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到x為何值時,

y取得最大值.

解：(1)由題意可得，

y=(3-x)(50+^-X25)=-50x2+100x+150,

0.5

即y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=-SOJT+IOOX+ISO；

(2)由(1)知：＞=-50^+100^+150=-50(x-1)2+200,

.,.當(dāng)x=l時，y取得最大值，此時y=200,

答：若李大爺想讓每天的利潤最大化，應(yīng)該降價1元銷售，最大利潤為200元.

23.如圖，矩形ABC。中，AB=\6,AD=18,經(jīng)過點(diǎn)4與AD交于點(diǎn)E,與相交

于點(diǎn)R與2C相切于點(diǎn)X,￡0=2.

(1)求證：。。與CD相切；

(2)連接EF并延長，交CB的延長線于點(diǎn)M,求MB的長.

【分析】(1)過點(diǎn)。作OGLCZ)于點(diǎn)G,連接X。并延長，交于點(diǎn)N,可得四邊形

ABHN,OGCH,OGDN都是矩形，然后根據(jù)勾股定理求出圓。的半徑為10,進(jìn)而可以

解決問題；

(2)根據(jù)圓周角定理可得￡尸是直徑，然后證明可得獸=黑，進(jìn)而

DrMB

可以解決問題.

【解答】(1)證明：在矩形A8CD中，CD=AB=16,BC=AO=18,NA=NA5C=N

C-NCD4=90°,AD//BC,

?：ED=2.

：.AE=AD-ED=16,

如圖，過點(diǎn)。作OG_LCD于點(diǎn)G,連接“。并延長，交A。于點(diǎn)N,

：.ZOGD=ZOGC=90°,

???8C與圓。相切于點(diǎn)H,

：.OHLBC,

9：AD//BC,

：.ON_LAD,

???四邊形A5"N,OGCH,OGDN者B是矩形,

"：AN=NE=~AE=8,

2

：.BH=AN=8,AB=HN=16,

：.OG=CH=BC-BH=18-8=10,

在RtAOEN中，ON=HN-OH=16-OH,OE=OH,

根據(jù)勾股定理，得：

￡1^+01^=OE2,

：.82+(16-OH)2=o費(fèi),

解得。8=10,

...圓。的半徑為10,

VOGLCD,OG是半徑，

；.O。與co相切；

(2)解：：圓。的半徑為10,AE=16,ZA=90°,

b是圓O的直徑，

：.EF=20,

22=

：.AF=7EF-AEV202-162=⑵

：.BF=AB-AF=16-12=4,

,/ZAFE=ZMFB,ZFAE=ZFBM=90°,

：.△AFESABFM,

.AF=AE

?,薩一而

?￡=西

,二一而‘

：.MB=-.

3

:.MB的長為號.

24.拋物線與x軸交于A,2兩點(diǎn)(A點(diǎn)在2點(diǎn)的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C

3

(0,-F),拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)。(1,0).

(1)請求出加，〃的值，并直接寫出A、2兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸為x軸上方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，是否存在P,Q,使得△。尸Q

與AABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

m

【分析】⑴由拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)D（1,0）可得--而=1，解得利=

2X號

-等，又拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,-V3）代入即得n=-如,故拋物線解析式為

O

＞=以2-漢或-y，令＞=0即可解得A（-1,0）,B（3,0）；

33

（2）由（1）知，A（-1,0）,8（3,0）,C（0,-如），知AB=4,AC=2,BC

=2灰，可得△ABC是直角三角形，ZABC=3Qa,要使△OP。與△ABC相似，只需△

。尸。是含30°角的直角三角形即可，設(shè)尸Cm,返蘇-工返機(jī)一次），分兩種情況：

oO

①當(dāng)/尸￡＞。=30°可得wT=■帆之-2ym-或1-m=m

-蟲），即得尸（3心，丘心）或尸（1一百乙退行）；②當(dāng)/DPQ=

2626

30°時，可得■冽2_區(qū)機(jī)-y/3=^3（機(jī)一1）或'巨加-?=/§（1-m）,

3333

解得尸（5,4爪）或（-3,4?）.

解：（1）:拋物線的對稱軸與無軸交于點(diǎn)。（1,0）,

m

拋物線的對稱軸是直線％=1,即--7T=1，

O

._2M

??tn—,

3

:拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,-遮），

；.〃=-如,

???拋物線解析式為丫=浮-竽-、巧，

令y=Q得冬2.等x-?=0,

解得x=-1或x=3,

/.A（-1,0）,B（3,0）,

答：MI的值是-”的值是-、質(zhì)，A坐標(biāo)為（-1,0）,B坐標(biāo)是（3,0）；

3

（2）存在尸，Q,使得△DPQ與△ABC相似，理由如下：

由（1）知，A（-1,0）,2（3,0）,C（0,-遮），

.?.AB=4,AC=2,BC=2近，

：.AC1+BC2=AB2,AC=4-AB,

.?.△ABC是直角三角形，ZABC=30°,

要使△。尸。與△ABC相似，只需△OPQ是含30。角的直角三角形即可,

設(shè)P（m,12_名應(yīng)加-，則尸。=義3n2-m-―5，

3333

①當(dāng)NPZ）Q=30°,。在對稱軸右側(cè)時，如圖：

VZDQP^90°,NPQQ=30°,

???。。=加尸Q，

.*.m-1=■機(jī)2-乙vjrn-^3）,

33

解得加=土｛立或m=§（舍去）,

22

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