2022-2023學年新疆和田地區(qū)皮山某中學高二（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年新疆和田地區(qū)皮山高級中學高二(下)期末數(shù)學

試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知Fi,尸2為平面內兩個定點，P為動點，若|PQ|-|PB|=a為大于零的常數(shù))，則

動點P的軌跡為()

A.雙曲線B.射線

C.線段D.雙曲線的一支或射線

22

2.若橢圓匕一Q—=1上一點P到其焦點n的距離為6,則P到另一焦點Fi的距離為()

10036

A.4B.194C.94D.14

3.下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相寫信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？

4.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點P(5,/(5))處的切線方程是產-x+8,則f⑸+f

⑸=()

A.2B.3C.4D.5

5.已知3Aq=4A;1，則x等于()

A.6B.13C.6或13D.12

6.若xi、及、…、X2021的方差為3,則3(xi-2)、3(及-2)、…、3(X2021-2)的方差

為()

A.3B.9C.18D.27

7.拋物線儼=2px(p>0)的焦點為凡其準線與雙曲線y2-/=i相交于人，B兩點，若

△ABF為等邊三角形，則〃=()

A.272B.2^3C.2D.3

8.已知函數(shù)y=/(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)>=/，(x)的圖象如圖所

示，則該函數(shù)的圖象是()

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

22

（多選）9.若方程-所表示的曲線為C,則下面四個說法中錯誤的是（）

3~tt~l

A.若則C為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點在y軸上，則2<f<3

C.曲線C可能是圓

D.若C為雙曲線，則/<1

（多選）10.下列求導錯誤的是（）

2

A.Ce3x）'=3e，B.(—―)'

k2x+l'

C.（2sinx-3）'=2cosxD.(xcosx)'=cosx-xsinr

（多選）已知子）11的展開式的二項式系數(shù)和為則下列說法正確的是（

11.（x128,)

A.n—1

B.展開式中各項系數(shù)的和為-1

C.展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大

D.展開式中含/項的系數(shù)為84

（多選）12.已知函數(shù)/CO=/儀xeR.下列結論正確的是（）

A.函數(shù)/(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函數(shù)/(x)存在極大值和極小值

C.函數(shù)有且只有1個零點

D.函數(shù)f(x)的極小值就是/(x)的最小值

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是.

14.曲線)，=cosx-^|■在點(0,1)處的切線方程為.

15.從有10個紅球和10個黑球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出不再放回，第1次摸

到紅球的概率為方，那么第2次摸到紅球的概率為.

22

16.設雙曲線C：%-%=1(。>0,6>0)的一條漸近線為則C的離心率

aZJ

為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.求滿足下列條件的橢圓的標準方程，焦點在y軸上，焦距是4,且經過點M(3,2).

18.已知函數(shù)/(X)=2x-Inx,求函數(shù)的極值.

19.習近平同志在十九大報告中指出，要堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，確保到2020年在我國現(xiàn)行

標準下農村貧困人口實現(xiàn)脫貧，貧困是全部摘帽.某縣在實施脫貧工作中因地制宜，著

力發(fā)展棗樹種核項目.該縣種植的棗樹在2020年獲得大豐收，依據(jù)扶貧政策，所有紅棗

由經銷商統(tǒng)一收購.為了更好的實現(xiàn)效益，縣扶貧辦從今年收獲的紅棗中隨機選取100

千克，進行質量檢測，根據(jù)檢測結果制成如圖所示的頻率分布直方圖.如表是紅棗的分

級標準，其中一級品、二級品統(tǒng)稱為優(yōu)質品.

等級四級品三級品二級品一級品

紅棗縱徑加[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]

經銷商與某農戶簽訂了紅棗收購協(xié)議，規(guī)定如下：從一箱紅棗中任取4個進行檢測，若4

個均為優(yōu)質品，則該箱紅棗定為A類；若4個中僅有3個優(yōu)質品，則再從該箱中任意取

出1個，若這一個為優(yōu)質品，則該箱紅棗也定為A類；若4個中至多有一個優(yōu)質品，則

該箱紅棗定為C類；其它情況均定為B類.已知每箱紅棗重量為10千克，A類、B類、

C類的紅棗價格分別為每千克20元、16元、12元.現(xiàn)有兩種裝箱方案：

方案一：將紅棗采用隨機混裝的方式裝箱;

方案二：將紅棗按一、二、三、四等級分別裝箱，每箱的分揀成本為1元.

以頻率代替概率解決下面的問題.

(I)如果該農戶采用方案一裝箱，求一箱紅棗被定為A類的概率；

(2)根據(jù)所學知識判斷，該農戶采用哪種方案裝箱更合適，并說明理由.

20.兩位老師甲、乙和四位學生站成一排.(適當說明過程，列出式子并計算結果，結果用

數(shù)字表示)

(1)兩位老師不能相鄰，共有多少種排法？

(2)甲在乙左邊，共有多少種排法？

(3)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少種排法？

(4)兩位老師在中間，兩端各兩位學生，假如學生身高不等，要求學生由中間到兩端從

高到矮排，共有多少種排法？

21.已知直線x+2y-2=0過拋物線C：x2—2py(p>0)的焦點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)動點A在拋物線C的準線上，過點A作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N

兩點，當△AMV的面積是近^時，求點A的坐標.

2

22.已知函數(shù)/(x)=x2+x-Inx-\.

(1)求函數(shù)f(x)的極值點；

2x

(2)若g(x)=f(x)-nA—在口，+8)上單調遞減，求實數(shù)機的取值范圍.

x

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知危為平面內兩個定點，尸為動點，若|PFi|-|尸尸2|="（a為大于零的常數(shù)），則

動點P的軌跡為（）

A.雙曲線B.射線

C.線段D.雙曲線的一支或射線

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，對動點P的軌跡進行判斷，由此確定正確選項.

解：兩個定點的距離為IQBI，

當時，P點的軌跡為雙曲線的一支，

當1PBi-時，P點的軌跡為射線，

不存在尸尸心尸尸2|>/聲2］的情況，

綜上所述，P的軌跡為雙曲線的一支或射線.

故選：D.

【點評】本小題主要考查雙曲線定義的辨析，屬于基礎題.

22

2.若橢圓上一點尸到其焦點F,的距離為6,則P到另一焦點Fi的距離為（）

10036

A.4B.194C.94D.14

【分析】根據(jù)橢圓的定義|PFi|+|PF2|=2a,利用|PFi|=6,可求|PB|

解：由橢圓的定義知|尸加+|尸尸2|=2〃=20,

；|PQ|=6,

；.|PF2|=14.

故選：D.

【點評】本題給出橢圓上一點到一個焦點的距離，求它到另一個焦點的距離.著重考查

了橢圓的定義、標準方程與簡單兒何性質等知識，屬于基礎題.

3.下列問題是排列問題的是（）

A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相寫信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種？

【分析】排列問題是與順序有關的問題，只有B選項涉及到順序問題，由此可得結果.

解：對于48名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；

對于5,10個人互相通信，涉及到順序問題，是排列問題，3正確；

對于C,5個點中任取2個點，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；

對于4個數(shù)字中任取2個，根據(jù)乘法交換律知結果不涉及順序，不是排列問題，。錯

誤.

故選：B.

【點評】本題考查排列的概念，注意區(qū)分是否與順序有關，屬基礎題.

4.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點P(5,/(5))處的切線方程是y=-x+8,則

⑸=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】由己知分別求得，(5)與f(5)的值，作和得答案.

解：由函數(shù)y=/(x)的圖象在點P(5,f(5))處的切線方程是丫=-x+8,

得f(5)--1,且/(5)=-5+8=3,

則/(5)4/(5)=3-1=2.

故選：A.

【點評】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查導數(shù)的概念及其兒何

意義，是基礎題.

5.已知3AB=4A：T，則x等于（）

A.6B.13C.6或13D.12

【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式，進行化簡即可求解.

解：因為3AB=4AgT，

所以3X8!=4*9!

（8-x）!（10-x）!

化簡得12-19x+78=0,

由題意得xW8,

解得x=6.

故選：A,

【點評】本題考查了排列數(shù)公式的應用問題，是基礎題目.

6.若xi、X2、…、X2021的方差為3,則3Cxi-2）、3（%2-2）、…、3（X2021-2）的方差

為（）

A.3B.9C.18D.27

【分析】根據(jù)題意，由方差的性質分析可得答案.

解：根據(jù)題意，若XI、X2、…、X2021的方差為3,

則3（XI-2）、3（X2-2）、…、3（X202I-2）的方差為32X3=27.

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，注意方差的性質，屬于基礎題.

7.拋物線V=2px（p>0）的焦點為F,其準線與雙曲線y2-/=i相交于人，B兩點,若

△ABF為等邊三角形，則°=（）

A.2&B.2>/3C.2D.3

【分析】求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求出拋物線的準線與雙曲線的交點坐

標，利用三角形是等邊三角形求出p即可.

解：拋物線的焦點坐標為（與0）,準線方程為：*=-2，

準線方程與雙曲線V3=1聯(lián)立可得：產（一5）2=1,

解得y=±J14^，

因為AABF為等邊三角形，所以-2+p2=2|y|,即p2=3y2,

2-

即//=3（1+￡-）,解得p=2百.

4

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線方程的應用，考查分析問題解決問題的能

力以及計算能力.

8.已知函數(shù)y=/（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)），=/（x）的圖象如圖所

示，則該函數(shù)的圖象是（）

【分析】根據(jù)導數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調性和導數(shù)的關系，得出所選的選項.

解：由導數(shù)的圖象可得，導函數(shù)(x)的值在［-1,0］上的逐漸增大，

故函數(shù)/(x)在［-1,0］上增長速度逐漸變大，故函數(shù)/(x)的圖象是下凹型的.

導函數(shù)r(X)的值在［0,1］上的逐漸減小，

故函數(shù)/(x)在［0,1］上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)的單調性和導數(shù)的關系，屬于基礎題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

22

(多選)9.若方程屋4^=1所表示的曲線為C,則下面四個說法中錯誤的是()

3~tt-l

A.若l<f<3,則C為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點在y軸上，則2<f<3

C.曲線C可能是圓

D.若C為雙曲線，則

【分析】利用桶圓的標準方程、圓的標準方程以及雙曲線的標準方程，依次進行判斷即

可.

解：對于4當r=2時;曲線表示圓，故選項A錯誤;

對于8,當曲線C為焦點在y軸上的橢圓時，則Ll>3-f>0,解得2<f<3,故選項8

正確；

對于C,當f=2時，曲線C表示圓的方程，故選項C正確:

對于￡>,當曲線C為雙曲線時，則（3-f）（r-1）<0,解得或03,故選項。錯

誤.

故選：AO.

【點評】本題考查了橢圓的標準方程、圓的標準方程以及雙曲線的標準方程的理解與應

用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

（多選）10.下列求導錯誤的是（）

2

A.I*）'=3elB?號一*

C.（2sinx-3）'=2cosxD.(xcosx)'=cosx-xsinx

【分析】根據(jù)導數(shù)的公式即可得到結論.

解：；那*）'=3e3x,.?.A錯誤，

_2X(2X+1)-2X2_2X2+2X

)'錯誤,

2x+l(2x+l)2(2x+l)2

*/(2sinx-3)'=2cosx,正確,

*/(xcosx)'=cos%-xsiar,工。正確,

故選：AB.

【點評】本題主要考查導數(shù)的基本運算，屬于基礎題.

（多選）11.已知仁斗）11的展開式的二項式系數(shù)和為128,則下列說法正確的是（）

Vx

A.〃=7

B.展開式中各項系數(shù)的和為-1

C.展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大

D.展開式中含/項的系數(shù)為84

【分析】4根據(jù)二項式系數(shù)和公式建立方程求出n的值，由此即可判斷；B：令x=l

求出展開式的各項系數(shù)和，由此即可判斷；C根據(jù)〃的值以及二項式系數(shù)的性質即可判

斷；D：求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為4,進而可以判斷.

解：A：由題意二項式系數(shù)和為2"=128,解得〃=7,故A正確，

B：令x=l,則展開式的各項系數(shù)和為（1-2）7=-1,故B正確，

C：因為〃=7,所以二項式系數(shù)最大項分別為第4項和第5項，故C錯誤,

D：展開式的通項公式為(-旨)r=Cr.J2)，?丁，片①I7,

令7-等=4,解得r=2,所以展開式中含/項的系數(shù)為C,,(-2產=84,故。正確，

故選：ABD.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，涉及到二項式系數(shù)的性質以及通項公式的求解,

屬于基礎題.

(多選)12.已知函數(shù)/(X)=/*,x6R.下列結論正確的是()

A.函數(shù)/(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函數(shù)/(x)存在極大值和極小值

C.函數(shù)/(x)有且只有1個零點

D.函數(shù)f(x)的極小值就是/(x)的最小值

【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)/(X)的單調性，作出圖像，求出函數(shù)的最小值，結合函數(shù)

零點，極值的概念依次判斷選項即可.

解：*.*/(x)=x1ex,xGR,

:(x)=x(x+2)e',

令/(x)>0,解得x>0或xV-2,

令/(x)<0,解得-2Vx<0,

故/(x)在(-8,-2)遞增，在-2,0)遞減，在(0,+8)遞增,

且/(0)=0,f(x)=/產，0,

如圖示：

，/

L

-2()X

故/(x)min=f(0)=0,

函數(shù)在x=-2處取得極大值，在x=0處取得極小值，

極小值f(0)即為最小值，且函數(shù)有且只有一個零點0,

故A錯誤，BCQ正確，

故選：BCD.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調性，極值，最值問題，考查導數(shù)的應用以及數(shù)形結合思

想，是基礎題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是10.

【分析】本題根據(jù)組合的定義可列出組合式，計算可得結果.

解：由題意，

根據(jù)組合的定義，可知一共有蠅二晨晨；=10種.

故答案為：10.

【點評】本題主要考查組合的應用.考查了定義法，邏輯推理能力和數(shù)學運算能力.本

題屬基礎題.

14.曲線尸cosx-/點(0,1)處的切線方程為x+2y-2=0.

【分析】本題就是根據(jù)對曲線方程求導，然后將x=0代入導數(shù)方程得出在點(0,1)處

的斜率，然后根據(jù)點斜式直線代入即可得到切線方程.

解：由題意，可知：

y,=_sinx---1,

2

???)/|.v=o=-sinO

22

曲線尸co*-"I"在點(0,1)處的切線方程：y-1=--^x,

整理，得：x+2y-2=0.

故答案為：x+2y-2=0.

【點評】本題主要考查函數(shù)求導以及某點處導數(shù)的幾何意義就是切線斜率，然后根據(jù)點

斜式直線代入即可得到切線方程.本題屬基礎題.

15.從有10個紅球和10個黑球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出不再放回，第1次摸

到紅球的概率為《，那么第2次摸到紅球的概率為4.

2~2~

【分析】用4表示第1次摸到紅球，A2表示第2次摸到紅球，B表示第1次摸到黑球，

歷表示第2次摸到黑球，由全概率公式求出第2次摸到紅球的概率.

解：從有10個紅球和10個黑球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，

用4表示第1次摸到紅球，上表示第2次摸到紅球，田表示第1次摸到黑球，&表示第

2次摸到黑球.

由全概率公式得第2次摸到紅球的概率為：

P(A2)=P(A1A2UB1A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=P(Al)P(42區(qū)1)+P(Bl)P(A2IB1)

10X9110X10_1

10+1010+910+1010+92'

故答案為：-j-.

【點評】本題考查了古典概型概率和條件概率的計算問題，是基礎題.

22_

16.設雙曲線C卷■-J=1(a>0,ft>0)的一條漸近線為、=&》，則C的離心率為

【分析】由雙曲線的方程求出漸近線的方程，再由題意求出a,h的關系，再由離心率的

公式及4,b,C之間的關系求出雙曲線的離心率.

解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y=±2x,

a

由題意可得電=J5，所以離心率e———.1+—V3>

aaVa2

故答案為：V3.

【點評】本題考查雙曲線的性質，屬于基礎題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.求滿足下列條件的橢圓的標準方程，焦點在y軸上，焦距是4,且經過點M(3,2).

【分析】根據(jù)橢圓的性質，定義可得桶圓標準方程.

22

解：設橢圓的標準方程為Jf=1(。>6>0),

abz

由焦距是4,可得c=2.且焦點坐標為(0,-2),(0,2).

由橢圓的定義知，22m2+(2+2)2+732+(2-2)2=8，

所以a=4,所以82=〃2-02=]6-4=12,

22

所以橢圓的標準方程為匚上=1.

1612

【點評】本題考查橢圓的標準方程，屬于基礎題.

18.已知函數(shù)/(x)=2x-Inx,求函數(shù)的極值.

【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可求解.

解：*.'/(JC)—2x-lux,(x>0),

19v-1

'.f(x)—2-----:,(x>0),

XX

...當xe(0,—)時，f(x)<0；當xe(―,+8)時，f(x)>0,

22

'.f(x)在(0,上單調遞減，在弓，+8)上單調遞增，

?V(X)僅有極小值為=1+/,2

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，屬基礎題.

19.習近平同志在十九大報告中指出，要堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，確保到2020年在我國現(xiàn)行

標準下農村貧困人口實現(xiàn)脫貧，貧困是全部摘帽.某縣在實施脫貧工作中因地制宜，著

力發(fā)展棗樹種核項目.該縣種植的棗樹在2020年獲得大豐收，依據(jù)扶貧政策，所有紅棗

由經銷商統(tǒng)一收購.為了更好的實現(xiàn)效益，縣扶貧辦從今年收獲的紅棗中隨機選取100

千克，進行質量檢測，根據(jù)檢測結果制成如圖所示的頻率分布直方圖.如表是紅棗的分

級標準，其中一級品、二級品統(tǒng)稱為優(yōu)質品.

等級四級品三級品二級品一級品

紅棗縱徑/〃2/W[30,35)[35,40)[40,45)[45,50J

經銷商與某農戶簽訂了紅棗收購協(xié)議，規(guī)定如下：從一箱紅棗中任取4個進行檢測，若4

個均為優(yōu)質品，則該箱紅棗定為A類；若4個中僅有3個優(yōu)質品，則再從該箱中任意取

出1個，若這一個為優(yōu)質品，則該箱紅棗也定為A類；若4個中至多有一個優(yōu)質品，則

該箱紅棗定為C類；其它情況均定為B類.已知每箱紅棗重量為10千克，A類、B類、

C類的紅棗價格分別為每千克20元、16元、12元.現(xiàn)有兩種裝箱方案：

方案一：將紅棗采用隨機混裝的方式裝箱；

方案二：將紅棗按一、二、三、四等級分別裝箱，每箱的分揀成本為1元.

以頻率代替概率解決下面的問題.

（1）如果該農戶采用方案一裝箱，求一箱紅棗被定為A類的概率；

（2）根據(jù)所學知識判斷，該農戶采用哪種方案裝箱更合適，并說明理由.

時彳

【分析】（1）計算從紅棗中任意取出一個為優(yōu)質品的概率值，求出采用方案一裝箱時一

箱紅棗被定為4類的概率值；

（2）計算該農戶采用方案一裝箱，每箱紅棗收入的數(shù)學期望和采用方案二裝箱，每箱紅

棗收入的數(shù)學期望值，比較即可.

解：（1）從紅棗中任意取出一個，則該紅棗為優(yōu)質品的概率是

記“如果該農戶采用方案一裝箱，一箱紅棗被定為A類”為事件A,

則嗎）口：（?（"）X/*

（2）記“如果該農戶采用方案一裝箱，一箱紅棗被定為8類”為事件8,

“如果該農戶采用方案一裝箱，一箱紅棗被定為C類”為事件C,

則P（C）=（T）4+c：x，T）3*，

P（B）=1-P（A）-P（C）V，

所以如果該農戶采用方案一裝箱，每箱紅棗收入的數(shù)學期望為：

215

200X-r^+160X^-+120X4^=155（元）；

16216

由題意可知，如果該農戶采用方案二裝箱，

則一箱紅棗被定為A類的概率為《，被定為C類的概率也為《，

所以如果該農戶采用方案二裝箱，每箱紅棗收入的數(shù)學期望為：

11/一、

200Xy+120Xy-l=159（兀）；

所以該農戶采用方案二裝箱更合適.

【點評】本題考查了概率與統(tǒng)計的應用問題，也考查了數(shù)學期望計算問題，是中檔題.

20.兩位老師甲、乙和四位學生站成一排.（適當說明過程，列出式子并計算結果，結果用

數(shù)字表示）

（1）兩位老師不能相鄰，共有多少種排法？

（2）甲在乙左邊，共有多少種排法？

（3）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少種排法？

（4）兩位老師在中間，兩端各兩位學生，假如學生身高不等，要求學生由中間到兩端從

高到矮排，共有多少種排法？

【分析】（1）根據(jù)題意，先將4位學生全排列，再將兩位老師插入到把四位學生排列后

所成的空中，由分步計數(shù)原理計算可得答案：

（2）根據(jù)題意，將6人全排列，而甲在乙左邊與甲在乙右邊的情況數(shù)目相同，分析可得

答案；

（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①最左端排甲，其余任意排，②最左端排乙，最右端

從不包含甲的剩余4人選一個，其余任意排，由加法原理計算可得答案.

解：（1）根據(jù)題意，先將4位學生全排列，再將兩位老師插入到把四位學生排列后所成

的空中，

故有A；A系480種排法；

（2）根據(jù)題意，將6人排成一排，有A3=720種排法，

甲在乙左邊與甲在乙右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙左邊的排法有，720=36講巾，

（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：

①最左端排甲，其余任意排，有山種，

□

③最左端排乙，最右端從不包含甲的剩余4人選一個，其余任意排，有種，

故有"+A：A：=216種排法.

（4）兩位老師排列有兩種方法，由于兩端學生按身高排列，相當于順序固定，故四位學

生分兩組共有6種，所以共有2X6=12種.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

21.已知直線x+2y-2=0過拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動點A在拋物線C的準線上，過點A作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N

兩點，當?shù)拿娣e是近■時，求點A的坐標.

2

【分析】（1）求出焦點坐標為（0,1）,從而得到P=2,求出拋物線方程；

（2）設出4（m,-1）,過點A的拋物線的切線方程設為y=-1+1（x-m）,與拋物

線方程聯(lián)立，根據(jù)△=0得到16爐-I6mk-16=0,設過點A的拋物線的兩條切線方程的

斜率分別為ki,ki,求出k\+ki=m,%%2=-1,表達出|MN|=M-X2|=|42-h|,

2

SAAHN-17m+4-列出方程和百i斗，求出，〃=±1,得到點A的坐標.

解：（1）x+2y-2=0中，令x=0得：y=l,

故焦點坐標為（0,1）,

故步1，

解得：p=2,

故拋物線方程為N=4y；

（2）拋物線準線方程為：y=-1,

設A（九-1）,過點4的拋物線的切線方程設為y=-l+Z（x-加），

聯(lián)立龍2=4），得：xr-4而+4切?+4=0,

由△=16R-16〃次-16=0,設過點A的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為心，42,

故ki+k2=m,