河南洛陽市2023-2024學年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷含解析

河南洛陽市2023-2024學年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－12．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．45．第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務，要求每個人都要被派出去提供服務，且每個場地都要有志愿者服務，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．6．設全集，集合，則＝()A． B． C． D．7．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．8．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當時，（為實數(shù)），則關于的不等式的解集是（）A． B． C． D．10．若的展開式中的系數(shù)為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．2511．已知集合，，則（）A． B．C． D．12．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________．14．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）15．已知兩動點在橢圓上，動點在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．16．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上頂點為，圓與軸的正半軸交于點，與有且僅有兩個交點且都在軸上，（為坐標原點）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點，不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與直線的斜率互為相反數(shù).18．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.19．（12分）已知.（1）解關于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.20．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù).22．（10分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.2、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想.3、D【解析】

設，可得，構造（）22，結合，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地無關，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點睛】本題考查組合的應用和概率的計算，屬于基礎題.6、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.7、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．8、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．9、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應用，側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).10、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、C【解析】

求出集合，計算出和，即可得出結論.【詳解】，，，.故選：C.【點睛】本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.12、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．14、①②③【解析】

對①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結合外接球半徑公式即可求解；對③，結合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結合幾何關系可判斷錯誤；【詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.【點睛】本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題15、【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當直線與圓相離時，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.16、【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【點睛】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數(shù)學應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)條件可得，進而得到，即可得到橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與系數(shù)關系即可得到.【詳解】解：（1）圓與有且僅有兩個交點且都在軸上，所以，又，，解得，故橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，則，解得，設點，，則，，所以，故直線與直線的斜率互為相反數(shù).【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關鍵是求出橢圓的標準方程，屬于中檔題．18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，即可：（2）取中點，連，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出與平面的法向量，再利用計算即可.【詳解】（1）∵底面為菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如圖，取中點，連，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系：，點，設平面的法向量為，，有，令，得又，設直線與平面所成的角為，所以故直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，本題解題關鍵是正確寫出點的坐標.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分類討論求解絕對值不等式即可；（2）由（1）中所得函數(shù)，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當時，等價于，該不等式恒成立，當時，等價于，該不等式解集為，當時，等價于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因為，，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.20、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.21、（1）（