大學(xué)物理授課教案第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2、掌握法向和切向加速度求解3、掌握牛頓定律及其應(yīng)用教學(xué)重難點(diǎn)：1、法向和切向加速度求解2、牛頓定律及其應(yīng)用三、教學(xué)課時(shí)：20節(jié)四、教學(xué)內(nèi)容：§1-1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述一、參照系坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)1、參照系為描述物體運(yùn)動(dòng)而選擇的參考物體叫參照系。2、坐標(biāo)系為了定量地研究物體的運(yùn)動(dòng)，要選擇一個(gè)與參照系相對(duì)靜止的坐標(biāo)系。如圖1-1。說(shuō)明：參照系、坐標(biāo)系是任意選擇的，視處理問(wèn)題方便而定。3、質(zhì)點(diǎn)忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個(gè)具有質(zhì)量、占據(jù)空間位置的物體，這樣的物體稱為質(zhì)點(diǎn)。說(shuō)明：⑴質(zhì)點(diǎn)是一種理想模型，而不真實(shí)存在（物理中有很多理想模型）⑵質(zhì)點(diǎn)突出了物體兩個(gè)基本性質(zhì)1）具有質(zhì)量2）占有位置⑶物體能否視為質(zhì)點(diǎn)是有條件的、相對(duì)的。二、位置矢量運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程位移1、位置矢量定義：由坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量稱為位置矢量（簡(jiǎn)稱位矢或徑矢）。如圖1—2，取的是直角坐標(biāo)系，為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量（1-1）位矢大?。海?-2）方向可由方向余弦確定：，，2、運(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，稱為運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程⑴矢量式：（1-3）⑵標(biāo)量式：，，（1-4）3、軌跡方程從式（1-4）中消掉，得出、、之間的關(guān)系式。如平面上運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程為，，得軌跡方程為（拋物線）4、位移以平面運(yùn)動(dòng)為例，取直角坐標(biāo)系，如圖1—3。設(shè)、時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位矢分別為、，則時(shí)間間隔內(nèi)位矢變化為（1-5）稱為該時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移。（1-6）大小為討論：⑴比較與：二者均為矢量；前者是過(guò)程量，后者為瞬時(shí)量⑵比較與（A→B路程）二者均為過(guò)程量；前者是矢量，后者是標(biāo)量。一般情況下。當(dāng)時(shí)，。⑶什么運(yùn)動(dòng)情況下，均有？三、速度為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向，從而引進(jìn)速度概念。1、平均速度如圖1-3定義：（1-7）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。(1-8）方向：同方向。說(shuō)明：與時(shí)間間隔相對(duì)應(yīng)。2、瞬時(shí)速度粗略地描述了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速度。定義：稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度。（1-9）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。（1-10）式中，。、分別為在、軸方向的速度分量。的大?。旱姆较颍核谖恢玫那芯€向前方向。與x正向軸夾角滿足。3、平均速率與瞬時(shí)速率定義：（參見(jiàn)圖1-3）稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段內(nèi)得平均速率。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)速率。定義：稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率，簡(jiǎn)稱速率。當(dāng)時(shí)（參見(jiàn)圖1-3），，，有可知：即（1-11）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)速率等于其速度大小或等于路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：⑴比較與：二者均為過(guò)程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。⑵比較與：二者均為瞬時(shí)量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。四、加速度為了描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢，從而引進(jìn)加速度的概念。1、平均加速度定義：（見(jiàn)圖1-4）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度。2、瞬時(shí)加速度為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時(shí)加速度。定義：稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度。（1-12）結(jié)論：加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。式中：，。、分別稱為在x、y軸上的分量。的大小：的方向：與x軸正向夾角滿足說(shuō)明：沿的極限方向，一般情況下與方向不同（如不計(jì)空氣阻力的斜上拋運(yùn)動(dòng)）。瞬時(shí)量：，，，綜上：過(guò)程量：，，，矢量：，，，，，標(biāo)量：，，五、直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，如圖1-51、位移 ：沿+x軸方向； ：沿-x軸方向。2、速度 ，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。3、加速度 ，沿+x軸方向； ，沿-x軸方向。由上可見(jiàn)，一維運(yùn)動(dòng)情況下，由、、的正負(fù)就能判斷位移、速度和加速度的方向，故一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)量式代替矢量式。六、運(yùn)動(dòng)的二類問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程、等例1-1：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（SI），求：⑴t=1s和t=2s時(shí)位矢；⑵t=1s到t=2s內(nèi)位移；⑶t=1s到t=2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度；⑷t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；⑸t=1s到t=2s內(nèi)的平均加速度；⑹t=1s和t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度。解：⑴mm⑵m⑶m/s⑷m/sm/s⑸m/s2⑹m/s2例1-2：一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，已知加速度為(SI)，初始條件為：時(shí)，，m。求：運(yùn)動(dòng)方程。解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，由加速度定義有（一維可用標(biāo)量式）由初始條件有：得：由速度定義得：由初始條件得：即m由上可見(jiàn)，例1-1和例1-2分別屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第一類和第二類問(wèn)題?！?-2圓周運(yùn)動(dòng)本節(jié)先討論圓周運(yùn)動(dòng)，之后再推廣到一般曲線運(yùn)動(dòng)。一、自然坐標(biāo)系圖2-1中，BAC為質(zhì)點(diǎn)軌跡，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P位于A點(diǎn)，、分別為A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以A為原點(diǎn)，切向和法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自然坐標(biāo)系（可推廣到三維）二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如圖1-7，質(zhì)點(diǎn)做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速度 （2-1）式（2-1）中，為速率。加速度為（2-2）式（2-2）中，第一項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化引起的，方向與共線，稱該項(xiàng)為切向加速度，記為（2-3）式（2-3）中，（2-4）為加速度的切向分量。結(jié)論：切向加速度分量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2、法向加速度式（2-2）中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變引起的。如圖1-8，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有因?yàn)?，，所以、夾角為。（見(jiàn)圖1-9）當(dāng)時(shí)，有。因?yàn)?，所以由A點(diǎn)指向圓心O，可有式（2-2）中第二項(xiàng)為：該項(xiàng)為矢量，其方向沿半徑指向圓心。稱此項(xiàng)為法向加速度，記為（2-5）大小為（2-6）式（2-6）中，是加速度的法向分量。結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑。3、總加速度（2-7）大?。海?-8）方向：與夾角（見(jiàn)圖1-10）滿足4、一般曲線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線運(yùn)動(dòng)，只要把曲率半徑看作變量即可。討論：⑴如圖1-10，總是指向曲線的凹側(cè)。⑵時(shí)，，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)⑶時(shí)，有限，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)⑷三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述1、角坐標(biāo)如圖1-11，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在A處，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在B處，是OA與x軸正向夾角，是OB與x軸正向夾角，稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，為時(shí)間間隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱為在時(shí)間間隔內(nèi)的角位移。2、角速度平均角速度：定義：（2-9）稱為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運(yùn)動(dòng)。為了描述運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)瞬時(shí)角速度。定義：（2-10）（2-11）結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角速度是矢量，的方向與角位移方向一致。3、角加速度為了描述角速度變化的快慢，引進(jìn)角加速度概念。（1）平均角加速度：設(shè)在內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)角速度增量為定義：（2-12）稱為時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均角加速度瞬時(shí)角加速度：定義：（2-13）稱為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度，簡(jiǎn)稱角加速度。（2-14）結(jié)論：角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：角加速度是矢量，方向沿方向。4、線量與角量的關(guān)系把物理量、、、、等稱為線量，，等稱為角量。（1）、與關(guān)系如圖2-7，時(shí)，有即（2-15）（2）、與關(guān)系式（2-15）兩邊對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，有即（2-16）（3）、與關(guān)系即（2-17）§1-3相對(duì)運(yùn)動(dòng)本節(jié)討論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用兩個(gè)參考系來(lái)描述，并得出兩個(gè)參考系中物理量（如：速度、加速度）之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。一、相對(duì)位矢設(shè)有參照系E、M，其上固連的坐標(biāo)系，如圖1-13，二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，M相對(duì)于E運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)E、M的位矢分別為、，相對(duì)位矢為：(2-18)結(jié)論：P對(duì)E的位矢等于P對(duì)M的位矢與對(duì)E的位矢的矢量和。二、相對(duì)位移由（2-18）有（2-19）結(jié)論：P對(duì)E的位移等于P對(duì)M的位移與對(duì)E的位移的矢量和。三、相對(duì)速度將式（2-18）兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有（2-20）結(jié)論：P對(duì)E的速度等于P對(duì)M的速度與M對(duì)E的速度的矢量和。四、相對(duì)加速度由式（2-20）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)有（2-21）結(jié)論：P對(duì)E的加速度等于P對(duì)M的加速度與M對(duì)E的加速度的矢量和。例1-3：質(zhì)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為，和，速度為，試說(shuō)明下式正確的有哪些？⑴⑵⑶⑷解：因?yàn)闃?biāo)量矢量，所以⑴不對(duì)。又，而，故⑵不對(duì)。而，因此⑶正確。由于中為曲率半徑，而這里為位矢的大小，不一定是曲率半徑，所以⑷不對(duì)。例1-4：在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪上，一個(gè)齒尖P沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程隨時(shí)間的變化規(guī)律為，其中，，都是正的常數(shù)，則時(shí)刻齒尖P的速度和加速度大小為多少？解：例1-5：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為（SI），求：（1）（2）解：⑴m/s⑵m/s2(注意此方法，給定運(yùn)動(dòng)方程，先求出、，之后求，這樣比用求簡(jiǎn)單)例1-6：拋射體運(yùn)動(dòng)，拋射角為，初速度為，不計(jì)空氣阻力，⑴問(wèn)運(yùn)動(dòng)中變化否？、變否？⑵任意位置、為多少？⑶拋出點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)、各為多少？曲率半徑為多少？解：如圖所取坐標(biāo)，x軸水平，y軸豎直，為拋射點(diǎn)。⑴∵質(zhì)點(diǎn)受重力恒力作用，有，故不變.∵，而改變，∴變?！叨蛔?，變，∴變。⑵任意位置P處，質(zhì)點(diǎn)的、為⑶拋射點(diǎn)處，，，有最高點(diǎn)：，，∵落地點(diǎn)：與出射點(diǎn)對(duì)稱，∴例1-7：一質(zhì)點(diǎn)從靜止（）出發(fā)，沿半徑為m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度大小不變，為m/s2,在時(shí)刻，其總加速度恰與半徑成45°角，求解：依題意知，與夾角為45°，有①∵②由②有得：s例1-8：某人騎自行車以速率向西行使，北風(fēng)以速率吹來(lái)（對(duì)地面），問(wèn)騎車者遇到風(fēng)速及風(fēng)向如何？解：地為靜系E，人為動(dòng)系M。風(fēng)為運(yùn)動(dòng)物體P絕對(duì)速度：，方向向南；牽連速度：，方向向西；求相對(duì)速度方向如何？∵∴