江蘇省徐州市豐縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

江蘇省徐州市豐縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大致圖象為（）A． B． C． D．2．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項(xiàng)和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．313．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形4．不等式所表示的平面區(qū)域是()A． B．C． D．5．已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．7．已知，則（）．A． B． C． D．8．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，記，，，則的大小關(guān)系為()A． B．C． D．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為_(kāi)_________.12．給出下列語(yǔ)句：①若為正實(shí)數(shù)，，則；②若為正實(shí)數(shù)，，則；③若，則；④當(dāng)時(shí)，的最小值為，其中結(jié)論正確的是___________．13．已知向量，的夾角為°，，，則______．14．若函數(shù)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則________．15．如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，.的值為_(kāi)__________.16．已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．若數(shù)列滿(mǎn)足：存在正整數(shù)，對(duì)任意的，使得成立，則稱(chēng)為階穩(wěn)增數(shù)列.（1）若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，且對(duì)任意，數(shù)列中恰有個(gè)，求的值；（2）設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項(xiàng)大于，試求該數(shù)列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數(shù)列（其中，常數(shù)為正實(shí)數(shù)），設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若已知數(shù)列極限存在，試求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出該極限值.18．近年來(lái)，某地大力發(fā)展文化旅游創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)，創(chuàng)意維護(hù)一處古寨，幾年來(lái)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，古寨的使用年限x（年）和所支出的維護(hù)費(fèi)用y（萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)以往資料顯示y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.（1）求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）試根據(jù)（1）中求出的回歸方程，預(yù)測(cè)使用年限至少為幾年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.19．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若圓與圓無(wú)公共點(diǎn)，求的取值范圍.20．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.21．如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且.(1)求證:；(2)若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又令，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，且?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，選項(xiàng)C滿(mǎn)足條件.故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的解析式和圖象的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)圖象是高考常見(jiàn)題型，往往從定義域、奇偶性（對(duì)稱(chēng)性）、單調(diào)性、最值及特殊點(diǎn)的符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，逐一驗(yàn)證進(jìn)行排除.2、B【解析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項(xiàng)和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項(xiàng)和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知，根據(jù)基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結(jié)果．【詳解】由a，b，c依次成等差數(shù)列，有2b=a+c(1)由，，成等比數(shù)列,有(2)，由(1)(2)得，又根據(jù)，當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀判斷，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)及基本不等式關(guān)系可得三邊關(guān)系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.4、D【解析】

根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行判斷即可．【詳解】不等式組等價(jià)為或則對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镈，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次不等式組表示平區(qū)域，比較基礎(chǔ)．5、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)O為球心，因?yàn)椋缘耐饨訄A的圓心為AC的中點(diǎn)M，且半徑，又因?yàn)樵撉虻那蛐牡狡矫娴木嚯x為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積的相關(guān)問(wèn)題.6、B【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.7、A【解析】

.所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因?yàn)?所以,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值9、C【解析】

可建立合適坐標(biāo)系，表示出a,b,c的大小，運(yùn)用作差法比較大小.【詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，，，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的建模能力，意在考查學(xué)生的理解能力及分析能力，難度中等.10、C【解析】開(kāi)始，輸入，則，判斷，否，循環(huán)，，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點(diǎn)睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見(jiàn)的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來(lái)求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過(guò)幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.12、①③.【解析】

利用作差法可判斷出①正確；通過(guò)反例可排除②；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③正確；根據(jù)的范圍可求得的范圍，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知④錯(cuò)誤.【詳解】①，為正實(shí)數(shù)，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯(cuò)誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當(dāng)時(shí)，，由對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知：，可知④錯(cuò)誤.本題正確結(jié)果：①③【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問(wèn)題、利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.13、1【解析】

把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數(shù)量積公式，即可得到答案．【詳解】由向量，的夾角為°，且，，則.故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直接考查公式本身的直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由反函數(shù)的性質(zhì)可得的圖象過(guò)，將代入，即可得結(jié)果.【詳解】的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，的圖象過(guò)，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查反函數(shù)的基本性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

在和在中,根據(jù)正弦定理,分別表示出.由可得等式,代入已知條件化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】在中,由正弦定理可得,則在中,由正弦定理可得,則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則所以因?yàn)?,由誘導(dǎo)公式可知代入上述兩式可得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、相交【解析】

根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個(gè)圓相交．故答案為：相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設(shè)，由題意得出，求出正整數(shù)的值即可；（2）根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列，分和兩種情況討論，列出關(guān)于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結(jié)合數(shù)列的極限存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，則，對(duì)任意，數(shù)列中恰有個(gè)，則數(shù)列中的項(xiàng)依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設(shè)數(shù)列中值為的最大項(xiàng)數(shù)為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，即對(duì)任意的，，且.所以，等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當(dāng)時(shí)，則等比數(shù)列中每項(xiàng)都為正數(shù)，由可得，整理得，解得；②當(dāng)時(shí)，（i）若為正奇數(shù)，可設(shè)，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數(shù)時(shí)，可設(shè)，則，由，得，即，整理得，解得.所以，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3），由（1）知，則.①當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)，數(shù)列的極限不存在；②當(dāng)時(shí)，，，上式下式得，所以，，則.（i）若時(shí)，則，此時(shí)數(shù)列的極限不存在；（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列的極限存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義“階穩(wěn)增數(shù)列”的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題、數(shù)列極限的存在性問(wèn)題，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和，解題的關(guān)鍵就是理解新定義“階穩(wěn)增數(shù)列”，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.18、（1）（2）使用年限至少為14年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元【解析】

（1）由已知圖形中的數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）直接由求得的范圍得答案．【詳解】（1），，，．故線性回歸方程為；（2）由，解得．故使用年限至少為14年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．19、(1)或.(2)【解析】試題分析：由題意可得圓的方程為．（1）由圓心到直線的距離等于半徑可得，解得或，即為所求．（2）由圓與圓無(wú)公共點(diǎn)可得兩圓內(nèi)含或外離，根據(jù)圓心距和兩半徑的關(guān)系得到不等式即可得到所求范圍．試題解析：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，所以圓的方程為，即，故圓心為，半徑.（1）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，整理得，解得或.（2）圓的圓心為，則,由題意可得圓與圓內(nèi)含或外離，所以或，解得或.所以的取值范圍為.20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，再證即可證明（2）證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理從而進(jìn)行證明．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且?所以，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）連接，由（1）知，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又是正三角形，為的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，線面垂直，面面垂直的判定定理，考查空間想象和推理能力，熟記定理是關(guān)鍵，是一道中檔題．21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）利用直線與平面垂直的判定，結(jié)合三角形全等判定，得到，再次結(jié)合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐標(biāo)系，分別計(jì)算的法向量，結(jié)合兩向量夾角為直角，計(jì)算出的值，然后結(jié)合，即可．法二：設(shè)出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結(jié)合，建立方程