2023-2024學年恩施市重點中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2023-2024學年恩施市重點中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列；其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π3．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．1 B．5 C．9 D．44．過點斜率為－3的直線的一般式方程為（）A． B．C． D．5．已知在中，為的中點，，，點為邊上的動點，則最小值為（）A．2 B． C． D．－26．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．0 C．1 D．67．在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．568．如圖，在中，若，，，用表示為（）A． B．C． D．9．已知，，則（）A．1 B．2 C． D．310．設(shè)△的內(nèi)角所對的邊為，，，，則（）A． B．或 C． D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足,,則______．12．已知等比數(shù)列an中，a3=2，a13．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是14．在正四面體中，棱與所成角大小為________.15．函數(shù)的零點個數(shù)為__________．16．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平面直角坐標系中，點,，銳角的終邊與單位圓O交于點P．(Ⅰ)當時，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點M，使得恒成立？若存在，求出點M坐標；若不存在，說明理由．18．已知的三個內(nèi)角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長．19．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米．（1）求線段的長度；（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值．20．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）21．已知.（Ⅰ）化簡；（Ⅱ）已知，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

對于各個選項中的數(shù)列，計算第n+1項與第n項的差，看此差的符號，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列，d＞0∵對于①，n+1﹣n＝d＞0，∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對于②，數(shù)列，得，，所以不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，是假命題．對于③，數(shù)列，得，，不一定是正實數(shù)，故是假命題．對于④，數(shù)列，故數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：B．【點睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查學生的計算能力，正確運用遞增數(shù)列的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．3、C【解析】試題分析：由韋達定理得，，則，當適當排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，所以．考點：等差中項和等比中項．4、A【解析】

由點和斜率求出點斜式方程，化為一般式方程即可．【詳解】解：過點斜率為的直線方程為，化為一般式方程為；故選：．【點睛】本題考查了由點以及斜率求點斜式方程的問題，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過點作的垂線，垂足落在的延長線上，且,以所在直線為軸，以中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸時取得最小值，當時取得最小值故選：【點睛】本題考查向量方法解決幾何最值問題，屬于中等題型.6、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到答案.【詳解】等差數(shù)列中，若，【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于簡單題.7、C【解析】

利用等差數(shù)列通項公式求得基本量d，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a4【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為則a2+∴本題正確選項：C【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等差數(shù)列通項公式構(gòu)造方程求得公差，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)向量的加減法運算和數(shù)乘運算來表示即可得到結(jié)果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)向量的線性運算，來利用已知向量表示所求向量；關(guān)鍵是能夠熟練應用向量的加減法運算和數(shù)乘運算法則.9、A【解析】

根據(jù)向量的坐標運算法則直接求解.【詳解】因為,,所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】試題分析：因為，，，由正弦定理，因為是三角形的內(nèi)角，且，所以，故選B．考點：正弦定理二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用遞推公式再遞推一步,得到一個新的等式,兩個等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項公式,利用所求的通項公式可以求出的值.【詳解】得,,所以有,因此.故答案為：【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式,考查了累乘法,考查了數(shù)學運算能力.12、4【解析】

先計算a5【詳解】aaa故答案為4【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.13、1【解析】試題分析：因為將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點：系統(tǒng)抽樣．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．14、【解析】

根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點，連，，正四面體是四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

運用三角函數(shù)的誘導公式先將函數(shù)化簡，再在同一直角坐標系中做出兩支函數(shù)的圖像，觀察其交點的個數(shù)即得解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式得，所以令，求零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化求方程根的個數(shù)，因此在同一直角坐標系分別做出和的圖象，觀察兩支圖象的交點的個數(shù)為個，注意在做的圖像時當時，,故得解.【點睛】本題考查三角函數(shù)的有界性和余弦函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點情況，屬于中檔題.16、【解析】

將正三棱柱的側(cè)面沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點，可知點為棱的中點，即可計算出沿著螞蟻走過的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比.【詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點.由于，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，為的中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【點睛】本題考查棱柱側(cè)面最短路徑問題，涉及棱柱側(cè)面展開圖的應用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點，求得向量的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求得，即可求得答案．（Ⅱ）設(shè)M點的坐標為，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，列出方程組，即可求解．【詳解】（Ⅰ），，（Ⅱ）設(shè)M點的坐標為，則，，，．【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，以及向量的數(shù)量積的應用和恒成立問題的求解，其中解答中合理利用向量的坐標運算及向量的數(shù)量積的運算，以及轉(zhuǎn)化等式的恒成立問題，列出相應的方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．18、(1)；(2)【解析】

（1）通過正弦定理得，進而求出，再根據(jù)，進而求得的大??；（2）由正弦定理中的三角形面積公式求出，再根據(jù)余弦定理，求得，進而求得的周長．【詳解】（1）由題意知，由正弦定理得，又由，則，所以，又因為，則，所以．（2）由三角形的面積公式，可得，解得，又因為，解得，即，所以，所以的周長為【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）3；（2）1.【解析】

（1），．用余弦定理，即可求出；（2）設(shè)，，用正弦定理求出，，展開，結(jié)合輔助角公式可化為，由的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，所以線段的長度為3千米．（2）設(shè)，因為，所以，在中，由正弦定理得，．所以，，因此，因為，所以．所以當，即時，取到最大值1．答：兩條觀光線路距離之和的最大值為1千米．【點睛】本題考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，尤其是輔助角公式要熟練應用，屬于中檔題.20、（1）；（2）460元.【解析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【詳解】（1）根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300