2024中考數(shù)學(xué)幾何求最值五大考點(diǎn)練習(xí)（解析版）

考點(diǎn)01胡不歸胡不歸模型問題解題步驟如下；1、將所求線段和改寫為,2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α,使得3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題【模型展示】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1<V2,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小.3構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.CH=kAC將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小...考點(diǎn)02阿氏圓如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB=k(k≠1),則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓.;證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC,連接BD,則△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,接下來開始證明步驟：故M點(diǎn)為,故M點(diǎn)為,作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°,定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓.故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠考點(diǎn)03費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：(1)當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。(2)當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°>構(gòu)造等邊三角形兩點(diǎn)之間線段最短求解問題將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同→直線上利用【模型展示】問題：在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC最小.【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的連線中垂線段最短、作對(duì)稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)軌跡求最值等(1)如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE.(2)連接CD、BE,即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE.(3)記CD、BE交點(diǎn)為P,點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).(到這一步其實(shí)就可以了)(4)以BC為邊作等邊△BCF,連接AF,必過點(diǎn)P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.在圖三的模型里有結(jié)論：(1)∠BPD=60°;(2)連接AP,AP平分∠DPE.有這兩個(gè)結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識(shí)!考點(diǎn)04瓜豆原理動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：(1)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。(2)當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下；①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識(shí)精講】如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是?【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓0有什么關(guān)系?考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A0,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是?是圓.接下來確定圓心與半徑.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APOo△AQM,且相似比為2考點(diǎn)05將軍飲馬1.兩定(異側(cè)),一動(dòng)B2.兩定(同側(cè)),一動(dòng)折線問題→→→(利用軸對(duì)稱的性質(zhì))→→→兩點(diǎn)間線段最短問題的最小值是()練習(xí)于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝【答案】B·····設(shè)AE=a,BE=2a,則有：100=a2+4a22.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連【分析】首先對(duì)問題作變式2AD-+3BD故求最小值即可?？紤]到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造,條件已經(jīng)足夠明顯當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí)，DA=3,此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，始終存問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM,BM長度的3倍即為本題答案.最大值為..在BC上取M使得此時(shí)PE1,【分析】當(dāng)P.在BC上取M使得此時(shí)PE1,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.9上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，的值是,··【分析】作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交AC于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF取得最小值，過點(diǎn)F'作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K,根據(jù)題意可知點(diǎn)F'落在AD上，設(shè)正方形的邊長為a,求得AK··證明△AEP∽△KF'P,可得,即可解答.【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交AC于點(diǎn)P,過點(diǎn)F'作AD的垂線段，交AC于由題意得：此時(shí)F'落在AD上，且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)P點(diǎn)與P重合時(shí)PE+PF取得最小值，設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則∴∠F'AK=45°,∠PAE=45°,AC=√2a,【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.5.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論：PA+PC=PE到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是【詳解】逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△MPQ,∴點(diǎn)0到三頂點(diǎn)的距離為：0N+0M+OG=0N+0P+PQ,∴當(dāng)點(diǎn)N、0、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON+OM+OG最小，此時(shí)，∠NMQ=75°+60°=135°,∴∠AMQ=180°-∠NMQ=45°,∴AQ=AM=MQ·cos45°=4,故答案為：2√29.6.(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)AB重合時(shí)，將△ABP沿AP對(duì)折，得到△AB'P,連接CB',則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CB'的最小值為【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出B'在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，當(dāng)P在AD上時(shí)，即可求解.【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7,如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，此時(shí)CB'=AC-AB′=√I-2,當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB'>√11-2當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB'>√11-27.(2023·廣西·統(tǒng)考中考真題)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)，M,N分別是EF,AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為.【詳解】如圖所示，連接AE,∵M(jìn),N分別是EF,AF的中點(diǎn)，∴AE=√AB2+BE2=√4+BE2;”點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，即BC的長度，【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).8.(2023·山東·統(tǒng)考中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段AE上，∠ADF=∠BAE,則線段BF的最小值為.【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為O,以AD為直徑畫圓，連接OB,設(shè)OB與OO的交點(diǎn)為點(diǎn)F',證明∠DFA=90,可知點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到OB與OO的交點(diǎn)F'時(shí)，線段BF有最小值，據(jù)此求解即可.【詳解】解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O,以AD為直徑畫圓，連接OB,設(shè)OB與0O的交點(diǎn)為點(diǎn)F',∴點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到OB與OO的交點(diǎn)F'時(shí)，線段BF有最小值，.AD=4,【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E(m,0),F(m+3.0),連接用解直角三角形求得利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G,此時(shí)3BH+5DH的最小值是5DG的長，據(jù)此求解即可.作CD⊥AB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B'作B'E//CD交x軸于點(diǎn)E,則四邊形EFCB'是平行四邊形，∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，作CP⊥x軸于點(diǎn)P,設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,∴直線CD的解析式為y=3x-11,即過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G,;【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對(duì)稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，所在直線折疊得到△EB’F,連接B’D,則B’D的最小值是【詳解】如圖所示點(diǎn)B’在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B’、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F,∴∠B=∠EB’F,EB'=EB.故答案為2√10-2.點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為【解析】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h.∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.在Rt△ABE中，∵AB=10,AE=4+4=8,∴BE=√AB2+AE2=√102+82=2√41,即PA+PB的最小值為2√41.故答案為：2√41.12.如圖，等邊△ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少?【答案】∠ECF=309【解析】解：過E作EM//BC,交AD于N,如圖所示：*AC=4,AE=2,∴EC=2=AE,∴AM=BM=2,∴AM=AE,∵AM=AE,∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，連接CM交AD于F,連接EF,則此時(shí)EF+CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°,AC=BC,∵AM=BM,13.(1)如圖1,在A和B兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋CD,橋建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)A.圖1(2)如圖2,在A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在這兩條河上各建一座橋，分別是MN和PQ,橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)A.【答案】(1)【解析】解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BB’垂直于河岸，且使BB’長度等于這條河寬，連接AB’交河的一岸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD垂直于河岸，與另一岸交點(diǎn)為D,則CD即為架橋最合適的位置.(2)如圖，過點(diǎn)A作AA’垂直于距點(diǎn)A較近的河岸，且使AA’長等于該河寬，同樣，過點(diǎn)B作BB’垂直于距點(diǎn)B較近的河岸，且使BB’長等于河寬，連接A’B’分別交兩條河相鄰的河岸于點(diǎn)N,P,過點(diǎn)N作MM垂直于該河河岸，與另一岸交點(diǎn)為M,過P作PQ垂直于該河河岸，與另一岸交點(diǎn)為Q,則MN,PQ即為架橋最合適的位置.動(dòng)點(diǎn)，試求CM+MN的最小值.4【解析】如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M',過點(diǎn)M'作M'N'⊥BC于N',則CE即為CM+MN的最小值.∵BC=4√2,∠ABC=45°,BD故CM+MN的最小值為4.(1)求證：△AMB≌△ENB;②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為√3+1時(shí)，求正方形的邊長【答案】②連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，②如圖，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，∵∠MBN=60°,MB=NB,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短(3)過E點(diǎn)作EF⊥BC交C