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文檔簡介

1.3函數(shù)的基本性質觀察下列各個函數(shù)的圖象,并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律:

1、觀察這三個圖象,你能說出圖象的特征嗎?2、隨x的增大,y的值有什么變化?1.3.1單調性與最大(?。┲嫡堄^察函數(shù)y=x2與y=x3圖象,回答下列問題:1、當x∈[0,+∞),x增大時,圖(1)中的y值

;圖(2)中的y值

。2、當x∈(-∞,0),x增大時,圖(1)中的y值

;圖(2)中的y值

。增大增大增大減小3、分別指出圖(1)、圖(2)中,當x∈[0,+∞)和x∈(-∞,0)時,函數(shù)圖象是上升的還是下降的?4、通過前面的討論,你發(fā)現(xiàn)了什么?結論:若一個函數(shù)在某個區(qū)間內圖象是上升的,則函數(shù)值y隨x的增大而增大,反之亦真;若一個函數(shù)在某個區(qū)間內圖象是下降的,則函數(shù)值y隨x的增大而減小,反之亦真。觀察某城市一天24小時氣溫變化圖.θ=f(t),t∈[0,24]問題:如何描述氣溫θ隨時間t的變化情況?(t1,θ1)(t2,θ2)t1t2問題:在區(qū)間[4,14]上,如何用數(shù)學符號語言來刻畫“θ隨t的增大而增大”這一特征?

如圖,研究函數(shù)θ=f(t),t∈[0,24]的圖象在區(qū)間[4,14]上的變化情況.在[4,14]上,取幾個不同的輸入值,例如t1=5,t2=6,t3=8,t4=10,得到相對應的輸出值θ1,θ2,θ3,θ4.在t1<t2<t3<t4時,有θ1<θ2<θ3<θ4,所以在[4,14]上,θ隨t的增大而增大.tθO取區(qū)間內n個輸入值t1,t2,t3,…,tn,得到相對應的輸出值θ1,θ2,θ3,…,θn,在t1<t2<t3<…<tn時,有θ1<θ2<θ3<…<θn,所以在區(qū)間[4,14]上,θ隨t的增大而增大.在[4,14]上任取兩個值t1,t2,只要t1<t2,就有θ1<θ2,就可以說在區(qū)間[4,14]上,θ隨t的增大而增大.問題:設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間I

A,在區(qū)間I上,y隨x的增大而增大,該如何用數(shù)學符號語言來刻畫呢?

在[4,14]上內任取兩個值t1,t2,只要t1<t2,就有θ1<θ2,就可以說在區(qū)間[4,14]上,θ隨t的增大而增大.函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間I

A,如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1,x2,

當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調增函數(shù),區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調增區(qū)間.問題:

如何定義單調減函數(shù)和單調減區(qū)間呢?

函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間I

A,如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1,x2當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調減函數(shù),區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調減區(qū)間.1.函數(shù)y=f(x),x∈[0,3]的圖象如圖所示.Oxy123區(qū)間[0,3]是該函數(shù)的單調增區(qū)間嗎?概念辨析2.對于二次函數(shù)f(x)=x2,因為-1,2∈(-∞,+∞),當-1<2時,f(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,+∞)上是單調增函數(shù).

3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,+∞),若對于任意的x2>0,都有f(x2)<f(0),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調減函數(shù).yxOx2f(x2)判斷yx10x2xf(x1)f(x2)設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)一、增函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間具有(嚴格的)單調性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調區(qū)間.yf(x1)f(x2)x10x2x設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)二、減函數(shù)三、單調性與單調區(qū)間請問:在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象是__________,減函數(shù)的圖象是__________.(填“上升的”或“下降的”)上升的下降的想一想:如何從一個函數(shù)的圖象來判斷這個函數(shù)在定義域內的某個單調區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)?

如果這個函數(shù)在某個單調區(qū)間上的圖象是上升的,那么它在這個單調區(qū)間上就是增函數(shù);如果圖象是下降的,那么它在這個單調區(qū)間上就是減函數(shù)。1、增函數(shù)、減函數(shù)的三個特征:(1)局部性:也就是說它肯定有一個區(qū)間。區(qū)間可以是整個定義域,也可以是其真子集,因此,我們說增函數(shù)、減函數(shù)時,必須指明它所在的區(qū)間。如y=x+1(X∈Z)不具有單調性(2)任意性:它的取值是在區(qū)間上的任意兩個自變量,決不能理解為很多或無窮多個值。(3)一致性增函數(shù):f()f()減函數(shù):f()>f()。

<<<例1.下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調區(qū)間,以及在每個單調區(qū)間上,y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?解:函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).例2:物理學中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大。試用函數(shù)的單調性證明之。Vkp=分析:按題意,只要證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)即可。例2、物理學中的玻意耳定律告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大。試用函數(shù)的單調性證明之。證明:根據(jù)單調性的定義,設V1,V2是定義域(0,+∞)上的任意兩個實數(shù),且V1<V2,則由V1,V2∈

(0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以,函數(shù)是減函數(shù).也就是說,當體積V減少時,壓強p將增大.取值定號變形作差結論探究:畫出反比例函數(shù)的圖象。(1)這個函數(shù)的定義域I是什么?(2)它在定義域I上的單調性是怎樣的?證明你的結論。

通過觀察圖象,先對函數(shù)是否具有某種性質做出猜想,然后通過邏輯推理,證明這種猜想的正確性,是研究函數(shù)性質的一種常用方法。證明:設x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則1-1-1Oxy1f(x)在定義域

上是減函數(shù)嗎?

取x1=-1,x2=1

f(-1)=-1

f(1)=1

-1<1

f(-1)<f(1)用定義證明函數(shù)的單調性的步驟:(1).設x1<x2,并是某個區(qū)間上任意二值;(2).作差f(x1)-f(x2);(3).判斷f(x1)-f(x2)的符號:(4).作結論.①分解因式,得出因式(x1-x2②配成非負實數(shù)和。方法小結③有理化。

圖象上有一個最低點(0,0),即對于任意的,都有圖象沒有最低點。畫出下列函數(shù)的草圖,并根據(jù)圖象解答下列問題:

1說出y=f(x)的單調區(qū)間,以及在各單調區(qū)間上的單調性;2指出圖象的最高點或最低點,并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征?

(1)(2)

圖象上有一個最低點(0,0),即對于任意的,都有圖象沒有最低點。課堂互動講練

例1求證:函數(shù)f(x)=--1在區(qū)間(-∞,0)上是單調增函數(shù).【思路點撥】利用定義進行判斷,主要判定f(x2)-f(x1)的正負.

證明:任取x1<x2<0,則f(x2)-f(x1)=(--1)-(--1)=-=.因為x1<x2<0,所以x1x2>0,x2-x1>0,所以>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1).故f(x)在(-∞,0)上是單調增函數(shù).【規(guī)律小結】用定義證明函數(shù)單調性的一般步驟:(1)取值:即設x1,x2是該區(qū)間內的任意兩個值,且x1<x2.(2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2)),并通過通分、配方、因式分解等方法,向有利于判斷差的符號的方向變形.(3)定號:根據(jù)給定的區(qū)間和x2-x1的符號,確定差f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符號.當符號不確定時,可以進行分類討論.(4)判斷:根據(jù)定義得出結論.課堂互動講練3.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于對稱y軸原點3.奇偶函數(shù)的定義域有何特點?【思考·提示】若函數(shù)f(x)具有奇偶性,則f(x)的定義域關于原點對稱.反之,若函數(shù)的定義域不關于原點對稱,則該函數(shù)無奇偶性.2.理解函數(shù)的奇偶性應注意的問題(1)定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.規(guī)律方法總結課堂互動講練例2【思路點撥】可從定義域入手,在定義域關于原點對稱情況下,考查f(-x)與f(x)的關系.課堂互動講練故f(x)為非奇非偶函數(shù).課堂互動講練綜上,對x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).(4)易知f(x)的定義域是(-1,0)∪(0,1),∴f(x)是奇函數(shù).(3)當x<0時,-x>0,則:f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);當x>0時,-x<0,則:f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).【說明】對于(1)的結論不能只說奇函數(shù)或偶函數(shù).課堂互動講練點此播放講課視頻2.理解函數(shù)的奇偶性應注意的問題(1)定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.規(guī)律方法總結課堂練習1、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞,6]內遞減,則a的取值范圍是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上遞減,在[-2,+∞)上遞增,則f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,39]證明:函數(shù)f(x)

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