廣東省東莞市達(dá)標(biāo)名校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

廣東省東莞市達(dá)標(biāo)名校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某社區(qū)義工隊(duì)有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號(hào)為1至24號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個(gè)工作小組，則這個(gè)小組年齡不超過(guò)55歲的人數(shù)為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．42．若三棱錐的四個(gè)面都為直角三角形,平面,,,則三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為()A． B． C． D．3．已知，兩條不同直線與的交點(diǎn)在直線上，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-14．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，,且，，面積的最大值為（）A．6 B．8 C．7 D．95．已知空間中兩點(diǎn),則長(zhǎng)為()A． B． C． D．6．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．已知x，y∈R，且x>y>0，則（）A． B．C． D．lnx+lny>08．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．9．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶10．已知扇形的圓心角，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（）A． B． C．6 D．12二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的_______．12．已知正數(shù)、滿足，則的最小值是________．13．直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則________.14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，則的最大值為_(kāi)_______.15．設(shè)，則等于________．16．已知，那么__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值、最小值.18．如圖，在四棱錐中，，底面為平行四邊形，平面．（）求證：平面；（）若，，，求三棱錐的體積；（）設(shè)平面平面直線，試判斷與的位置關(guān)系，并證明．19．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．20．如圖，在中，已知點(diǎn)D在邊BC上，，的面積是面積的倍，且，.（1）求；（2）求邊BC的長(zhǎng).21．某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該產(chǎn)品在試銷一個(gè)階段后得到銷售單價(jià)（單位：元）和銷售量（單位：萬(wàn)件）之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價(jià)/元銷售量/萬(wàn)件（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）從反饋的信息來(lái)看，消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的心理價(jià)（單位：元/件）在內(nèi)，已知該產(chǎn)品的成本是元，那么在消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的心理價(jià)的范圍內(nèi)，銷售單價(jià)定為多少時(shí)，企業(yè)才能獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=銷售收入-成本）參考數(shù)據(jù)：參考公式：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

求出樣本間隔，結(jié)合莖葉圖求出年齡不超過(guò)55歲的有8人，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過(guò)55歲的有8人，則這個(gè)小組中年齡不超過(guò)55歲的人數(shù)為人．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出滿足題意的三棱錐，求解棱長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，故，且，則為直角三角形，由以及勾股定理得：；同理，因?yàn)閯t為直角三角形，由，以及勾股定理得：；在保證和均為直角三角形的情況下，①若，則在中，由勾股定理得：，此時(shí)在中，由，及，不滿足勾股定理故當(dāng)時(shí)，無(wú)法保證為直角三角形.不滿足題意.②若，則，又因?yàn)槊鍭BC，面ABC，則，故面PAB，又面PAB，故，則此時(shí)可以保證也為直角三角形.滿足題意.③若，在直角三角形BCA中，斜邊AB=2，小于直角邊AC=，顯然不成立.綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可以保證四棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，故作圖如下：由已知和勾股定理可得：，顯然，最長(zhǎng)的棱為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題表面考查幾何體的性質(zhì)，以及棱長(zhǎng)的計(jì)算，涉及線面垂直問(wèn)題，需靈活應(yīng)用.3、C【解析】

聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)在在直線上，得到三角關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】交點(diǎn)在直線上觀察分母和不是恒相等故故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，三角函數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，利用基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形的面積的最大值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)空間中的距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解，得到答案．【詳解】由空間中的距離公式，可得，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的距離公式，其中解答中熟記空間中的距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進(jìn)行計(jì)算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因?yàn)槭钦忮F，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.7、A【解析】

結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】結(jié)合x(chóng)，y∈R，且x>y>0，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析：對(duì)于選項(xiàng)A，，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，取，，則，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，當(dāng)時(shí)，，故D不正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，并按從小到大排列，分別得到中位數(shù)，并計(jì)算各自的平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、平均值相等得到關(guān)于的方程.【詳解】甲組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為：，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)的概念與計(jì)算，對(duì)甲組數(shù)據(jù)排序時(shí)，一定是最大，乙組數(shù)據(jù)中一定是最小.9、D【解析】解：因?yàn)樵谝粋€(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，那么分為的兩個(gè)錐體的體積比為1：，因此錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為．1∶10、A【解析】

可先由弧長(zhǎng)計(jì)算出半徑，再計(jì)算面積．【詳解】設(shè)扇形半徑為，則，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式，考查扇形弧長(zhǎng)公式，掌握扇形的弧長(zhǎng)和面積公式是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

按照程序框圖運(yùn)行程序，直到a的值滿足a>100時(shí)，輸出結(jié)果即可.【詳解】第一次循環(huán)：a=3；第二次循環(huán)：a=7；第三次循環(huán)：a=15；第四次循環(huán)：a=31；第五次循環(huán)：a=63；第六次循環(huán)：a=127，a>100，所以輸出a.所以本題答案為127.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.12、.【解析】

利用等式得，將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【詳解】，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.13、0【解析】

將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，每段弧對(duì)應(yīng)的圓周角為，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，每段弧對(duì)應(yīng)的圓周角為或故答案為0【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓相交問(wèn)題，判斷每段弧對(duì)應(yīng)的圓周角為是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

先求得的值，再利用兩角和差的三角公式和正弦函數(shù)的最大值，求得的最大值．【詳解】中，若的面積為，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要兩角和差的三角公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

首先根據(jù)題中求出的周期，然后利用周期性即可求出答案.【詳解】由題知，有，故的周期為，故，又因?yàn)?，?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.16、2017【解析】，故，由此得.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式.對(duì)于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運(yùn)用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）首先利用三角函數(shù)恒等變換將化簡(jiǎn)為，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.（2）根據(jù)，求出，再求的最值即可.【詳解】（1），.的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，熟練掌握三角函數(shù)的公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3），證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)題意得到，，面從而得到線線垂直；（2）由圖形特點(diǎn)得到面，代入數(shù)據(jù)可得到體積值；（3）證明平面，利用平面平面，可得．.【詳解】（）證明：∵面，面，∴，又∵，面，面，，∴面，（）∵底面為平行四邊形，面，∴面，∴．（）．證明：∵底面為平行四邊形，∴，∵面，面，∴面，又∵面面，面，∴．19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】

（1）可利用線線平行來(lái)證明線面平行（2）可采用等體積法進(jìn)行求解【詳解】證明：（1）如圖，連結(jié)BD；因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD交AC于F且F為BD中點(diǎn)；又因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明及錐體體積的求解方法，證線面平行一般是通過(guò)證線線平行來(lái)證明，三棱錐的體積常用等體積法轉(zhuǎn)換底面和高進(jìn)行求解.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用三角形面積公式得出和的表達(dá)式，由，化簡(jiǎn)得出的值；（2）由結(jié)合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，進(jìn)而得出，由直角三角形的邊角關(guān)系得出，最后由得出的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?/p>