高考數(shù)學復(fù)習第三章　第七節(jié)　第1課時　函數(shù)的零點與方程的解、二分法（導(dǎo)學案）

第七節(jié)函數(shù)的應(yīng)用第1課時函數(shù)的零點與方程的解、二分法【課程標準】1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象,能夠借助計算工具利用二分法求相應(yīng)方程的近似解.【必備知識·精歸納】1.函數(shù)的零點與方程的解(1)函數(shù)的零點對于一般函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實數(shù)x.(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數(shù)零點存在定理①條件:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0.②結(jié)論:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.點睛連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.2.二分法對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.【常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點的三個結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時,函數(shù)值可能變號,也可能不變號.【基礎(chǔ)小題·固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯易混2,314,51.(結(jié)論)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且有如下的對應(yīng)值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個解析：選B.依題意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知,f(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一個零點,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有3個.2.(教材變式)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析：選B.由f'(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點3.(教材提升)已知函數(shù)f(x)=x2+x-2,x解析：由題意,知x≤0,解得x=-2或x=e.答案:-2,e4.(忽視區(qū)間端點值)函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,則k的取值范圍是.

解析：依題意函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,所以k≠0,函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12答案:[-1,-125.(應(yīng)用零點和奇函數(shù)的概念不準確)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當x>0時,f(x)=x-1+lgx,則在R上f(x)的零點為.

解析：因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x).又當x>0時,f(1)=0,所以當x<0時,奇函數(shù)f(x)還有一個零點-1.答案:0,-1,1【題型一】函數(shù)零點所在區(qū)間的判定[典例1](1)(多選題)(2022·菏澤質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析：選AD.f(-2)=1e2>0,f(-1)=f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因為f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)存在零點.(2)設(shè)f(x)=0.8x-1,g(x)=lnx,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點一定位于下列哪個區(qū)間()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)解析：選A.h(x)=f(x)-g(x)的零點等價于方程f(x)-g(x)=0的根,即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點的橫坐標,其大致圖象如圖,從圖象可知它們僅有一個交點A,橫坐標的范圍為(0,1).【方法提煉】——自主完善,老師指導(dǎo)確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)定理法:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(2)圖象法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有公共點來判斷.【對點訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=6x-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)解析：選C.因為f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=32-log24=-12<0,且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x2.設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx,則函數(shù)y=f(x)(A.在區(qū)間(1e,1)B.在區(qū)間(1e,1)C.在區(qū)間(1e,1)D.在區(qū)間(1e,1)解析：選D.方法一(定理法):當x∈(1e,e)時,函數(shù)圖象是連續(xù)的,且f'(x)=13-1x所以函數(shù)f(x)在(1e,e)上單調(diào)遞減又f(1e)=13e+1>0,f(1)=13>0,f(e)=方法二(圖象法):令f(x)=0,得13x=ln作出函數(shù)y=13x和y=lnx顯然y=f(x)在(1e,1)內(nèi)無零點,在(1,e)內(nèi)有零點【加練備選】1.(2022·白銀模擬)函數(shù)f(x)=lnx-2x2的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析：選B.(定理法)由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù),因為f(1)<0,f(2)=ln2-12=ln2-lne>0,所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)2.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)解析：選A.函數(shù)y=f(x)是開口向上的二次函數(shù),最多有兩個零點,由于a<b<c,則a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在區(qū)間(a,b)和區(qū)間(b,c)內(nèi)各有一個零點.【題型二】函數(shù)零點個數(shù)的判定[典例2](1)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3解析：選B.方法一:因為f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點.方法二:設(shè)y1=2x,y2=2-x3,在同一坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示,在區(qū)間(0,1)內(nèi),兩圖象的交點個數(shù)即為f(x)的零點個數(shù).故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點.(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x≤0,1+1xA.0 B.1 C.2 D.3解析：選C.(方程法)令f(x)+3x=0,則x≤0,解得x=0或x=-1,所以函數(shù)y=f(x)+3x的零點個數(shù)是2.(3)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析：選B.(圖象法)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=(12)x設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=(12)x,在同一平面直角坐標系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點,因此函數(shù)f(x)有2個零點.【方法提煉】——自主完善,老師指導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)的判定方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有幾個解就有幾個零點.(2)定理法:利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)圖象法:畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點的個數(shù)有幾個,其中交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點.【對點訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),當0≤x<2時f(x)=x2-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[-3,3]上與x軸的交點個數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9解析：選B.令f(x)=x2-x=0,所以x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0.因為函數(shù)的最小正周期為2,所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0.所以函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[-3,3]上與x軸的交點個數(shù)為7.2.函數(shù)f(x)=x2-2解析：當x≤0時,令x2-2=0,解得x=-2(正根舍去),所以在(-∞,0]上,f(x)有一個零點;當x>0時,f'(x)=2+1x所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).又因為f(2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有一個零點.綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.答案:2【加練備選】函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5解析：選D.(方程法)借助余弦函數(shù)的圖象求解.f(x)=xcos2x=0?x=0或cos2x=0,又cos2x=0在[0,2π]上有4個根,即π4,3π4,5π4,【題型三】函數(shù)零點的應(yīng)用角度1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)[典例3](1)已知函數(shù)f(x)=ex-a,x≤0,2x-a,x>0(a∈R),若函數(shù)A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,1]解析：選A.畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因為函數(shù)f(x)在R上有兩個零點,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一個零點.當x≤0時,f(x)有一個零點,需0<a≤1;當x>0時,f(x)有一個零點,需-a<0,即a>0.綜上,0<a≤1.(2)函數(shù)f(x)=xx+2-kx2有兩個零點,則實數(shù)k的值為解析：由f(x)=xx+2-kx2=x(1x+2函數(shù)f(x)=xx+2-kx即函數(shù)y=1x+2-kx只有一個零點x0,且x0即方程1x+2-kx顯然k≠0,即1k=x2+2x有且只有一個非零實根即二次函數(shù)y=x2+2x的圖象與直線y=1k有且只有一個交點(橫坐標不為零)作出二次函數(shù)y=x2+2x的圖象,如圖.因為1k≠0,由圖可知,當1函數(shù)y=x2+2x的圖象與直線y=1k有兩個交點,不滿足條件當1k=-1,即k=-1時滿足條件當1k<-1時,函數(shù)y=x2+2x的圖象與直線y=1k答案:-1角度2根據(jù)函數(shù)零點范圍求參數(shù)[典例4](1)(2023·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,43) B.(0,4C.(-∞,0) D.(43解析：選B.由f(x)=3x-1+ax可得a=3x-1x令g(x)=3x-1x,其中x∈由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函數(shù)y=3x,y=-1x所以函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增.當x∈(-∞,-1)時,g(x)=3x-1x<3-1+1=4又g(x)=3x-1x所以函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上的值域為(0,43)因此實數(shù)a的取值范圍是(0,43)(2)若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的兩個零點分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是.

解析：依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知,m需滿足m≠2m解得14<m<1答案:(14,1角度3求函數(shù)多個零點(方程根)的和[典例5]已知函數(shù)f(x)=lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,A.2 B.3 C.4 D.1解析：選A.當x>1時,2-x<1,所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-lnx=-f(x);當x<1時,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x);當x=1時,f(1)=0,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.顯然x=1不是方程(x-1)f(x)=1的根.當x≠1時,原方程可變?yōu)閒(x)=1x故求方程(x-1)f(x)=1的所有實根的和即為求y=f(x)和y=1x-作出函數(shù)y=f(x)和y=1x-由圖象得,兩個函數(shù)的圖象有2個交點,分別設(shè)為A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2).因為函數(shù)y=f(x)和y=1x-1的圖象都關(guān)于點(1,0)對稱,所以A所以x1+x22=1,即x1【方法提煉】已知函數(shù)有零點求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求已知函數(shù)零點情況的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.【對點訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=x2-ax+1在區(qū)間(12,3)上有零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.[2,52) D.[2,10解析：選D.由題意知方程ax=x2+1在(12,3)上有解,即a=x+1x在(12,3)上有解,設(shè)t=x+1x,x∈(12,3),則t的取值范圍是[2,103)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-x)=f(x)且f(x)=f(2-x),當x∈[0,1]時,f(x)=x3,則函數(shù)g(x)=|cos(πx)|-f(x)在區(qū)間(-12,32]上的所有零點的和為(A.1 B.2 C.3 D.4解析：選C.由f(-x)=f(x),知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),由f(x)=f(2-x),可知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1.由于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=|cos(πx)|均為偶函數(shù),所以在(-12,12]上g(x)的零點之和為0,只需求在(12,32]上的零點和.在同一個直角坐標系中畫出函數(shù)y=|cos(πx)|,y=f(x)在(在(12,32]上,(1,1)為兩函數(shù)圖象的交點,且另兩個交點關(guān)于x=1對稱,所以在(12,32]上,g3.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a解析：若a=1,則f(x)=2x-1,x<1由圖可得f(x)的最小值為-1.當a≥1時,要使f(x)恰有2個零點,需滿足21-a≤0,即a≥2;當a<1時,要使f(x)恰有2個零點,需滿足a<1≤2a,21-綜上,實數(shù)a的取值范圍為[12,1)∪[2,+∞)答案:-1[12,1)∪【加練備選】1.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=|lnx|,x>0,ex(x+1),x≤0.若函數(shù)g(x)=fA.0 B.13 C.12 D解析：選BCD.函數(shù)g(x)=f(x)-b有三個零點等價于函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=b有三個不同的交點,當x≤0時,f(x)=(x+1)ex,則f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,0]上單調(diào)遞增,且f(-2)=-1e2,x→-∞時,f(x)→0,從而可得f(x)的圖象如圖所示.通過圖象可知,若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=b有三個不同的交點,則b∈(0,1].2.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)-1x+m在區(qū)間(1,3]上有零點,則m的取值范圍為(A.(-53,0B.(-∞,-53)∪C.(-∞,-53]∪D.[-53,0解析：選D.由于函數(shù)y=log2(x+1),y=m-1x所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增.由于函數(shù)f(x)=log2(x+1)-1x+m則f(1解得-53≤m<0因此,實數(shù)m的取值范圍是[-53,0)3.(2023·浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x).當0<x≤1時,f(x)=log2x,則方程f(x)=1在[-6,6]上的實數(shù)根的和為.

解析：定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x),則f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,且其圖象關(guān)于直線x=1對稱.當0<x≤1時,f(x)=log2x,所以f(12)=-1,則f(-12)由f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,得f(52)則由周期為4可得,f(72)=1,f(-92f(-32)=1,f(-112所以-12-32-92-112+5答案:-6【備選題型】嵌套函數(shù)的零點問題函數(shù)的零點是高考命題的熱點,主要涉及判斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍,對于嵌套函數(shù)的零點,通常先“換元解套”,將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.角度1嵌套函數(shù)零點個數(shù)的判斷[典例1]已知函數(shù)f(x)=x+1x,x<0,lnx,x>0.則方程fA.3 B.4 C.5 D.6解析：選C.因為函數(shù)f(x)=x由f(x)=-3,當x>0,即lnx=-3,解得x=1e當x<0時,則有x+1x解得x=-3±因為f(f(x))+3=0,即f(x)=1e3或f(x)=由f(x)=1e3,可得lnx=1又x<0時,f(x)=x+1x≤-2,故f(x)=-3+52僅在x>0時有一個根,f(x)=-3-52在x<0時有兩個根,在x【方法提煉】求解嵌套函數(shù)零點問題的主要步驟(1)換元解套,轉(zhuǎn)化為t=g(x)與y=f(t)的零點.(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判斷圖象交點個數(shù).角度2與嵌套函數(shù)零點相關(guān)的參數(shù)范圍[典例2]函數(shù)f(x)=ln(-x-1),x<-1,2x+1,x≥-解析：設(shè)t=f(x),令f(f(x))-a=0,則a=f(t).在同一坐標系內(nèi)作y=a,y=f(t)的圖象(如圖).當a≥-1時,y=a與y=f(t)的圖象有兩個交點.設(shè)交點的橫坐標為t1,t2(不妨設(shè)t2>t1),則t1<-1,t2≥-1.當t1<-1時,t1=f(x)有一解,當t2≥-1時,t2=f(x)有兩解.綜上,當a≥-1時,函數(shù)g(x)=f(f(x))-a有三個不同的零點.答案:[-1,+∞)【方法提煉】1.求嵌套函數(shù)零點中的參數(shù)范圍可抓住分段函數(shù)的圖象性質(zhì),由y=a與y=f(t)的圖象,確定t1,t2的取值范圍,進而由t=f(x)的圖象確定零點的個數(shù).2.含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程,還應(yīng)注意讓參數(shù)的取值“動起來”,抓臨界位置,動靜結(jié)合.【對點訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=|x2+2x|,x≤0,lnx,x>0A.7 B.8 C.10 D.11解析：選B.記t=f(x)-1,則2f(t)-1=0的解為t1=e,t2=-1-62,t3=-1+22,t4=-1-22.t=f(x)-1的根等價于直線y=t+1與y=f(x)的圖象的交點個數(shù),畫出f(x)的圖象,如圖,數(shù)形結(jié)合知有8個交點,即g(x)=2f(f(2.已知f(x)=xlnx,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三個不等實根,則a的取值范圍為(A.{-e}∪(3-e,+∞)B.{-e}∪(0,3-e)C.(-∞,0)D.{-e}∪[3-e,+∞)解析：選B.由題意知f'(x)=lnx-1ln2x(x>0且x≠1),令f'(x)=0,得x=e,所以當x∈當x∈(e,+∞)時,f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(0,1),(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x=e時,f(x)有極小值,且極小值為e,則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三個不等實根,則有-a<0解得0<a<3-e或a=-e.【思維導(dǎo)圖·構(gòu)網(wǎng)絡(luò)】解題思維拓廣角度?復(fù)合函數(shù)零點、方程根的問題復(fù)合函數(shù)涉及內(nèi)外兩層函數(shù),問題的解決往往涵蓋函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類整合和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.復(fù)合函數(shù)零點問題具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強的特點,對考查學生思維能力、運算能力有較高的要求.[常見方法]先將復(fù)合函數(shù)的解析式寫出,再根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)的圖象研究零點問題.類型一確定復(fù)合函數(shù)零點的個數(shù)或方程解的個數(shù)[典例1](1)已知函數(shù)f(x)=ax+1,x≤0,log2x,xA.當a>0時,有4個零點;a<0時,有1個零點B.當a>0時,有3個零點;a<0時,有2個零點C.無論a為何值,均有2個零點D.無論a為何值,均有4個零點解析：選A.所求函數(shù)的零點,即方程f(f(x))=-1的解的個數(shù),令t=f(x),先作出y=f(t)的圖象,直線y=ax+1為過定點(0,1)的一條直線,但需要對a的符號進行分類討論.當a>0時,如圖1所示,先拆外層可得t1=-2a<0,t2=12,如圖2所示,而t1有兩個對應(yīng)的x,t2也有兩個對應(yīng)的x,共計4個;當a<0時,如圖3所示,先拆外層可得t=12,如圖4所示,t=12只有一個滿足的x(2)已知f(x)=|lgx|,x>0,2|x|,x≤0,則函數(shù)解析：由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖象由圖象知y=12與y=f(x)的圖象有2個交點,y=1與y=f(x)的圖象有3個交點.因此函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點有5個答案:5【方法提煉】求復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的零點的個數(shù)或方程解的個數(shù)的策略:(1)先換元解“套”,令t=g(x),則y=f(t),再作出y=f(t)與t=g(x)的圖象.(2)由y=f(t)的圖象觀察有幾個t的值滿足條件,結(jié)合t的值觀察t=g(x)的圖象,求出每一個t與幾個x對應(yīng),將x的個數(shù)匯總后即為y=f(g(x))的零點或方