2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列學(xué)案 理

第五章數(shù)列

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

數(shù)列的通項數(shù)列3｝的第〃項為

數(shù)列｛&｝的第〃項&與〃之間的關(guān)系能用公式&=/（〃）表示,這個

通項公式

公式叫做數(shù)列的通項公式

前〃項和數(shù)列｛2｝中,S7=a+段~1---Fa叫做數(shù)列的前n項和

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示〃與a“的對應(yīng)關(guān)系

圖象法把點（〃，a“）畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法

公式

使用初始值a和&+i=F（a〃）或a,我和&+i=F（&”&-1）

法遞推公式

等表示數(shù)列的方法

3.通項公式和遞推公式的異同點

不同點相同點

可根據(jù)某項的序號n的值,直接代入求

通項公式

出3.H

都可確定一個數(shù)列，也都可求

可根據(jù)第一項（或前幾項）的值,通過一

出數(shù)列的任意一項

遞推公式次（或多次）賦值，逐項求出數(shù)列的項，

直至求出所需的4

4.a“與S的關(guān)系

若數(shù)歹（I｛a｝的前n項和為S”

S,/7=1,

S-S-】,〃22.

5.數(shù)列的分類

分類的標(biāo)

名稱含義例子

準(zhǔn)

按項的個有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4,…，100

數(shù)無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,4,9,,,??n,…

從第二項起，每一項大

遞增數(shù)列3,4,5,???,n

于它的前一項的數(shù)列

從第二項起，每一項小1]

遞減數(shù)列1'2'3'…'2015

按項的變于它的前一項的數(shù)列

化趨勢常數(shù)列各項都相等的數(shù)列6,6,6,6,…

從第二項起，有些項大

擺動數(shù)列于它的前一項，有些項1,—2,3,—4

小于它的前一項的數(shù)列

任一項的絕對值都小于1,—1,1,—1,1,

有界數(shù)列

按項的有某一正值—1?…

界性不存在某一正值能使任

無界數(shù)列1,3,4,4,-

一項的絕對值小于它

??＞過基礎(chǔ)小題

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.()

(2)1,1,1,1.--不能構(gòu)成一個數(shù)列.()

(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.()

⑷如果數(shù)列｛&｝的前〃項和為S”則對V〃GN*,都有為+尸()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)V

2.已知數(shù)列｛&｝的通項公式為&=9+12〃，則在下列各數(shù)中，不是｛a｝的項的是()

A.21B.33

C.152D.153

解析：選C由9+12〃=152,得〃=帶2.

3.在數(shù)列｛a｝中，ai=l,a=1+」一(刀22),則&=()

5/?—I

35

A.]B-3

解析：選B由題意知，ai=l,&=1+工=2,a=1+—=3，&=1+'=3.

3\及Z&3

4.已知數(shù)列EJ滿足句=1,&=&LI+2T7(〃22),則與=()

A.53B.54

C.55D.109

解析：選C由題意知，8,2=d\~\~2X2>為=出+2*3,........,a=4+2X7,各式相加

得a?=&+2(2+3+4+…+7)=55.

2345

5.數(shù)列1,-,力,W，…的一個通項公式為=.

3

2

解析：由已知得，數(shù)列可寫成「5-故通項公式可以為

1O

fen

合案：2/7-1

6.已知數(shù)列｛a｝的前n項和6=2"—3,則數(shù)列｛&｝的通項公式是,

解析：當(dāng)?shù)?1時，ai=5=2—3=-l,

當(dāng)時，&=-=(2”-3)-(2"7-3)=2”一21=2".

又a\=—\不適合上式,

-1,〃=1,

故a.~

2n-1,心2?

—1,〃=1,

答案：

杉2

KETANGKAODIANTUPO陶透謨道朦砒遹?；?/p>

考點一由a與S的關(guān)系求通項a”基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透

［考什么?怎么考］

由$和a,,的關(guān)系求通項公式是一種常見題型，高考中選擇題、填空題、解答題都有呈

現(xiàn)，但以解答題的分支命題為重點，近幾年來考查難度有所降低.

考法（一）已知S,求必

1.已知S=3"+2〃+L則a=

解析：因為當(dāng)〃=1時，&=S=6；

當(dāng)〃22時,

Qn—Sn—Sl=(3"+2〃+1)—[3"'+2(〃-1)+1]

=2?3,,-1+2,

由于切不適合此式,

6,Z7=l,

所以3n—

2?3"一」2,心2.

6,77=1,

答案:

2?3"一32,啟2

2.(2017?全國卷HI改編)設(shè)數(shù)列｛a｝滿足功+3d2H-----F(2〃一1)a=2〃，貝ijan=

解析：因為功+3a2-1-----F(2/?—1)a｛l=2n,

故當(dāng)?shù)?2時，

a+3a2+…+(2/7-3)&一1=2(〃-1).

兩式相減得(2/?—1)品=2,

2

所以a?=;j~(〃22).

z/?一1

又由題設(shè)可得4=2,滿足上式，

2

從而｛&｝的通項公式為_-(/?eN*).

2/7—1

9

答案：7~7(neN*)

2/7—1

［題型技法］已知S求當(dāng)?shù)?步驟

(1)先利用d=S求出cZi；

(2)用〃一1替換S中的〃得到一個新的關(guān)系，利用&=2-5-(〃22)便可求出當(dāng)/722

時&的表達式；

(3)注意檢驗〃=1時的表達式是否可以與〃導(dǎo)2的表達式合并.

考法(二)由S,與a〃的關(guān)系，求a”，Sn

3.設(shè)數(shù)列｛&｝的前刀項和為S”且S,=2(a—1)(〃￡N"),則為=()

A.2/7B.2n—1

C.2"D.2〃一l

解析：選C當(dāng)〃=1時，ai=S=2(a—1),可得囪=2,當(dāng)〃22時，a〃=S—S-1=2&

一22一|,???A=2&T,.??數(shù)列｛a｝為首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以a=2".

4.(2015?全國卷H)設(shè)S是數(shù)列｛a｝的前〃項和，且&=-1,&+i=SS+i,則S=

解析：**5/?+l=&+1—Sma+l=S?SrH,

??SR1S〃SnSn+1?

???S,W0,???9—4=1,即J—9=-1.

1”+1On

又F=-1,是首項為-1,公差為一1的等差數(shù)列.

.?.1=一1+（/7-1）X（―1）=—〃，/.Sn=

Snn

答案:T

［題型技法］S,與a“關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用&=$一2一（〃22）轉(zhuǎn)化為只含S”S-的關(guān)系式，再求解.

（2）利用$-Si=&（〃，2）轉(zhuǎn)化為只含a,”af的關(guān)系式，再求解.

考點二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透

［考什么?怎么考］

由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項公式在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有選擇題、填空題，也出現(xiàn)在解答

題的第問中，近幾年考查難度有所降低，但也要引起關(guān)注.

方法（一）疊乘法求通項公式

/7—1

1.在數(shù)列｛a｝中，a,=l,a“=——則數(shù)列｛a,,｝的通項公式為________.

n

n—1

解析：2）,

./?—2n-31

**?&L1=7aL2，3（1-2=，…，32?

n—1n—22

以上（〃一1）個式子相乘得

12n—11

a=a\-->T.........=—=］

n23nnn

當(dāng)〃=1時，ai=l,上式也成立..,?&='（〃￡"）.

n

答案：&2（〃WN*）

n

［方法點撥］疊乘法求通項公式的4步驟

（轉(zhuǎn)化）一求出內(nèi)，將遞推公式寫成皿=/（”）的形式

出

務(wù)司蔣;二匚2；3：二;“二i在工王無，春藥;二iN

（賦值）—

等式

I

利用a,,=―2-,—..........—,Oj求其通項公式a,,

（±5-Wl2al

檢驗?,是否符合所得的通項公式.若符合，則合

1檢驗）

并；若不符合，則寫成分段形式

方法（二）疊加法求通項公式

2.設(shè)數(shù)列｛a｝滿足&=1,且&+1一/=〃+l（〃￡N*）,則數(shù)列｛4｝的通項公式為

解析：由題意有a—囪=2,a-%=3,…，a—=.

+〃2

以上各式相加,得&-d=2+3+…+〃=2=-21

又;Hl=LQn—2(〃22).

2_|_

??,當(dāng)〃=1時也滿足上式，???&=一^—(〃￡N*).

答案：8尸空(〃GN*)

［方法點撥］疊加法求通項公式的4步驟

（轉(zhuǎn)化）一:求出5，將遞推公式寫成a,十1一a”=f（n）的形式:

分別將”=1,2,3,…，n—1代入上式，得到11—1個

（賦值］—

等式

（疊加J一:得出an—的值，求其通項公式an

麻斯檢驗的是否符合所得的通項公式.若符合，則合

'-----';并；若不符合，則寫成分段形式

方法（三）構(gòu)造法求通項公式

3.已知數(shù)列｛aj滿足a=1,&+i=3a,,+2,則數(shù)列｛a｝的通項公式為—

解析：：a0+1=3a”+2,?,?a"+i+l=3(a〃+l),

-a“+l—

二數(shù)列｛&+1｝為等比數(shù)列,公比g=3,

又囪+1=2,a.+1=2?3"',

/.a?—2?3"-'-1（〃GN*）.

答案：a〃=2?3"T-I（〃GN*）

［方法點撥］構(gòu)造法求通項公式的3步驟

（定關(guān)系）T根據(jù)已知條件確定數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系

（巧1形）一遍琶莢家叉祈靈W形菱獷萋；黃嘀”.鬲城更

屋」源養(yǎng)“至；豪;嘀;;防花一叉;看立逅河家加［索廉而

XjT-1ft,

:方式或轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項求解

［怎樣快解?準(zhǔn)解］

1.正確選用方法求數(shù)列的通項公式

(1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為空f5)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列｛『(〃)｝前"項的積時,

a?

采用疊乘法求數(shù)列｛a｝的通項公式.

(2)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為a.+i=a“+f(〃)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求

其通項公式.

(3)對于遞推關(guān)系式形如a.+i=pa,,+q(p/O,1,。￥0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通

項.

2.避免2種失誤

(1)利用疊乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到生，漏掉國而導(dǎo)

致錯誤；二是根據(jù)連乘求出血之后，不注意檢驗國是否成立.

(2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項的正確求解以及準(zhǔn)確確定疊加、疊乘后最后一

個式子的形式.

考點三數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用重點保分型考點一一師生共研

從近幾年高考可以看出，數(shù)列中的最值、周期是高考的熱點，一般難度稍大.在復(fù)習(xí)中，

從函數(shù)的角度認(rèn)識數(shù)列,注意數(shù)列的函數(shù)特征，特別是利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).

［典題領(lǐng)悟］

1.已知數(shù)列｛4｝滿足a,—，若明=〈，則戊018=()

1—a2

A.-1B.1

C.1D.2

解析：選D由&=不，，得32~~—2,

z1—att1-a\

1111

&=";=11,?Si—"全="；=2,…，

1一色1—821-51

于是可知數(shù)列｛a｝是以3為周期的周期數(shù)列,因此a018=83X672+2=刈=2.

2.已知數(shù)列｛a。｝滿足a.=#2(〃eN*),則數(shù)列｛a〃｝的最小項是第項.

解析：因為a,產(chǎn)空士，所以數(shù)列｛aJ的最小項必為&<0,即#2<0,3〃-16〈0,從

3/7-163/7—16

16

而水工.又〃WN*,所以當(dāng)77=5時，晶的值最小.

答案：5

［解題師說］

1.解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

2.判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法

（1）作差比較法：比較與0的大小.

（2）作商比較法：比較％與1的大小，注意a,,的符號.

an

3.求數(shù)列最大項或最小項的方法

f3n—1W3nf

（1）利用不等式組、（〃、2）找到數(shù)列的最大項；

12a”,

⑵利用不等式組，（〃22）找到數(shù)列的最小項.

a+1

［沖關(guān)演練］

1.已知數(shù)列，兩足a1=1,&汁1=成-2a〃+1（〃《N）,則以oi8=（）

D.-2018

解析：選BV31=1,a+1=/一2a+1=（a一1）2,.,?/=（功-1）2=0,a=（/—1）2=

1,1=（三—1）2=0，…，可知數(shù)列｛&｝是以2為周期的數(shù)列，018=。2=0,選B.

2.等差數(shù)列｛&｝的公差水0,且若=指，則數(shù)列｛4｝的前〃項和S取得最大值時的項數(shù)

〃的值為（）

C.5或6D.6或7

解析:選C由析=搐,可得（國十國］）（囪一a”）=0,

因為水0,所以功一ai20,所以d+&1=0,

又2a=a+a”，所以c?6=0.

因為水0,所以｛4｝是遞減數(shù)列,

所以囪＞加＞…＞全＞a=0＞a＞嶺…，顯然前5項和或前6項和最大,故選C.

（一）普通高中適用作業(yè)

A級一一基礎(chǔ)小題練熟練快

1.已知數(shù)列1,2,干，平,小，…，則2標(biāo)在這個數(shù)列中的項數(shù)是（）

解析：選C因為團=1=4，a?=2=亞,a尸/，at—y/lb,急=寸衛(wèi)，…,所以為

=、3〃-2.令afl=y[3n—2—2y[l9=y[76,解得〃=26.

2.數(shù)列｛品｝的前〃項和S=2〃2—3〃(〃WN*),若p—q=5,則為一西=()

A.10B.15

C.-5D.20

解析：選D當(dāng)?shù)?2時，H〃=S—ST=2//—3〃一[2(〃-I)?一3(〃-1)]=44一5,當(dāng)n

=1時，ai=Si=—1,符合上式，所以&=4〃-5,所以&-%=4(4一0)=20.

3.(2017?河南許昌二模)己知數(shù)列｛2｝滿足&=1,a+2-a=6,則囪1的值為()

A.31B.32

C.61D.62

解析：選A'?,數(shù)列｛4｝滿足&=1,a〃+2—a〃=6,

.*.<33=6+1=7,55=6+7=13,2=6+13=19,<39=6+19=25,au=6+25=31.

4.(2018?云南檢測)設(shè)數(shù)列EJ的通項公式為a=7一加,若數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(—8,—1]B.(—8,2]

/、(夕

C.(—8,3)D.1—8,-

解析：選C因為數(shù)列｛品｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以&+I-&=2〃+l—?0(〃￡N*),所以

伙2〃+l(〃eN*),所以從(2刀+1)i=3,即從3.

5.(2018?湖南湘潭一中、長沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列｛&｝滿足：V勿，〃￡N*,都有

Qn*Es=Hn+m,且4=],那么念=()

11

B.

3216

11

4-D.2-

解析：選A=?數(shù)列｛&｝滿足：V/〃，〃￡N*,都有&?a=&+陽，旦品=],.?.42=&&=彳,

11

ai?52=0，??.55=義3?32=—

oJZ

6.數(shù)列｛4｝滿足a+a〃+i=g（，eN*）,52=2,S是數(shù)列｛a｝的前〃項和，則的為（）

7

A.5B.~

解析：選B*/a?+a?+i=~,a=2,

—〃為奇數(shù),

2,〃為偶數(shù).

.,.211X^1）+10X2=*

7.己知數(shù)列｛a｝的前刀項和S=//+2〃+l（刀WN*）,則為=

解析：當(dāng)〃22時、&=￡,—S_i=2〃+L

當(dāng)n=l時，a=S=4W2X1+1,

4,門=1,

因此&=

2〃+1,〃N2.

4,n—\,

答案:

2n+\,心2

5132961

-1-

^一^-----

8.已知數(shù)列｛aj010364…，則數(shù)列｛a｝的一個通項公式是

X2J

解析：各項的分母分別為…，易看出從第2項起，每一項的分子都比分母

2-3

少3,且第1項可變?yōu)?/p>

2

2—323-32-3

故原數(shù)列可變?yōu)?/p>

'2'

2"-4

故其通項公式為a=(-1)〃?為「，

2"-3

答案：,〃@N*

9.數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,若S,+ST=2〃-1(〃22,刀￡N*),且S=3,則團+&

的值為.

解析：?.?S+S-i=2〃-1(/?22),令〃=2,

得￡+S=3,由S=3得ai=5i=0,

令〃=3,得W+W=5,所以S=2,

則念=W—￡=—1,所以4+a=0+(―1)=—1.

答案：一1

10.在一個數(shù)列中，如果V，eN*,都有4a+14+2=4(女為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等

積數(shù)列，A叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛a｝是等積數(shù)列，且功=1,々=2,公積為8,則

國+22+/+…+&2=________.

解析：依題意得數(shù)列｛2｝是周期為3的數(shù)列，且&=1,&=2,&=4,因此國+色+續(xù)

+…+&2=4(a+&+H3)=4X(1+2+4)=28.

答案：28

B級——中檔題目練通抓牢

.若囪=5，3〃=4&T+1(〃=2),則為＞100時，〃的最小值為(

解析:選C由&=看&=4&一1+1(〃22)得，

a2=4&+l=4X；+l=3,a=44+1=4X3+1=13,

a=4^+1=4X13+1=53,d=42+1=4X53+1=213〉100.

2.(2018?咸陽模擬)已知正項數(shù)列｛a,,｝中，近+正+…—(/7eN*),

則數(shù)列｛&｝的通項公式為()

A.an=nB.an=n

nn

C.4=5D.3n=-

9

解析：選B\y[a\+y[a2+--*+y[an=^—竽---,

:?板1+正2T---\-^an-i=--氣----(〃22),

兩式相減得以=心~竽——生當(dāng)一=〃(〃)2),

??&=/?""(/?22).

又當(dāng)〃=1時，=8^=1,ai=l,適合上式，

.\af,=n,〃￡N*.故選B.

3.若數(shù)列｛a｝滿足：a=19,g】=&-3(〃￡N*),則數(shù)列｛a｝的前〃項和數(shù)值最大時,

力的值為()

A.6B.7

C.8D.9

解析：選BVai=19,&+1一a=-3,

???數(shù)列｛a｝是以19為首項，―3為公差的等差數(shù)列，

&=19+(〃-1)X(—3)=22—3/7.

設(shè)｛2｝的前4項和數(shù)值最大，

22-3^0,

Hk+1W022—k+

???4￡N\???4=7.???滿足條件的〃的值為7.

4.在數(shù)列｛&｝中,&>0,且前〃項和S滿足4s=(&+l)2(〃￡N*),則數(shù)列｛&｝的通項

公式為________.

解析：當(dāng)〃=1時，4s=(a+l):解得&=1；

當(dāng)?shù)?2時，由4s=(2+1)2=4+2a+1,

得4sLi=an-\+2&一1+1,

兩式相減得4S,>—4sLi=乩-Wt+2an-21=

整理得(4+為-1)(為一品-【-2)=0,

因為a>0,所以an—an-\—2=0,即an—an-1=2,

又4=1,故數(shù)列｛&｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，

所以a=1+2(/?-1)=2n—1.

答案：ar,=2n—\

5.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為品=(—1)”?2〃+1,該數(shù)列的項排成一個數(shù)陣(如圖)，則

該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為________.

a\

3586

解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為數(shù)列｛a｝的第1+2+3+…+9+3=

^^+3=48項，而&產(chǎn)(-1)”X96+1=97,故該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為97.

答案：97

6.已知數(shù)列｛&｝的通項公式是a?=n:+kn+^.

(1)若★=—5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？〃為何值時，%有最小值？并求出最小值：

(2)對于〃CN*,都有a“+〉a”求實數(shù)4的取值范圍.

解：⑴由n-5/?+4<0,解得1〈水4.

因為〃CN*,所以〃=2,3,

所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為色，甌

因為5n+4=fn—|^2—

由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)〃=2或〃=3時，必有最小值，其最小值為金=4=—2.

(2)由知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式a=//+加+4,可以看作是

k3

關(guān)于〃的二次函數(shù)，考慮到〃WN*,所以一手5,解得力>一3.

所以實數(shù)4的取值范圍為(-3,+8).

7.已知二次函數(shù)f(x)=*—Hx+a(a>0,x￡R),有且只有一個零點，數(shù)列｛4｝的前n

項和S=f(〃)(〃WN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

4

(2)設(shè)c,=l一一定義所有滿足d<0的正整數(shù)"的個數(shù),稱為這個數(shù)列伍｝

an

的變號數(shù)，求數(shù)列｛&J的變號數(shù).

解：(1)依題意，4=才-4a=0,

所以3=0或a=4.

又由a>0得a=4,

所以f｛x｝=x—4x+4.

所以S=〃2—4〃+4.

當(dāng)n=1時，a=S=l-4+4=1；

當(dāng)?shù)?2時，&,=$一Si=2〃-5.

—3,n—1,

⑵由題意得4

1277-5,心2.

4

由c〃=l—7；---^可知，當(dāng)〃25時，恒有0〃>0.

Z/7-o

r113

又C\=-3,Q=5,。3=-3,Ci=-T,。5=三,。6=丁，

357

即Ci?Q<0,Ci?c?<0,Ci?C5<0,

所以數(shù)列｛4｝的變號數(shù)為工

C級一一重難題目自主選做

1.已知數(shù)列｛&｝的通項公式為&=(〃+2)(?(〃GN*),則數(shù)列｛a｝的最大項是()

A.&或與B.勿或全

C.a困D.

解析：選B因為a+1一4=(4+3)(4)“一(〃+2)[4)=(4)?彳”，當(dāng)〃<7時，an

+i—&>0,即4+i>&；當(dāng)〃=7時，品+i—區(qū)=0,即區(qū)+1=&；當(dāng)〃>7時，&+i—a<0,即a+

、<&,則水生<…〈多二蛉蛉功?！贰?，所以此數(shù)列的最大項是第7項或第8項，即a或戊,故

選B.

2

2.（2018?成都診斷）在數(shù)列｛品｝中，a=1,a=r/^7a7（〃22,刀￡2）,則a?=_______.

z?—1

解析：由題意知旦=E=-----------匚工一，

/?—1n~n-r

所以a=aX-X一義…X-----

3\ai3lt—\

2232n

=lXKh…

__________________________________22X32X42X-X/?2

2-1~X_2+1~X~S771~X~3+1X~I771~X~~4+1~X-X_n^l~X~n+i

______________22X32X42X?rX/?2_______________2/?

-1X3X2X4X3X5X-X~~X_n+1-=/?+l-

（二）重點高中適用作業(yè)

A級一一保分題目巧做快做

1.已知數(shù)列1,2,于，平,仃，…，則2寸用在這個數(shù)列中的項數(shù)是（）

A.16B.24

C.26D.28

解析：選C因為囪=1=<1,&=2=/,&=巾，ai=^/10,55=A/13,??-,所以區(qū)

=、3〃-2.令an=y/3n—2=2y[19=yf7Q,解得刀=26.

2.（2018?鄭州模擬）已知數(shù)列｛4｝滿足&=1,4+2—④=6,則二的值為（）

A.31B.32

C.61D.62

解析：選A???數(shù)列｛&｝滿足?=1,a+2-&=6,

.*.53=6+1=7,55=6+7=13,57=6+13=19,

a9=6+19=25,an=6+25=31.

3.數(shù)列｛a｝的前刀項和S=2〃2—3）（刀￡N*）,若/?—Q=5,則為一%=（）

A.10B.15

C.-5D.20

2

解析:選D當(dāng)時，an=Sn—Sn-i=2n—3n—[2（n—1）—3（/?—1）]=4/?—5,當(dāng)n

=1時，a=S=-1,符合上式，所以a=4〃-5,所以為一備=4（2一g）=20.

4.（2018?湖南湘潭一中、長沙一中等六校聯(lián)考）已知數(shù)列｛4｝滿足：VR,〃￡N*,都有

an?a=&+?,且51=-,那么戊=()

11

A——B，

32T6

1

c-zD."

解析：選A?.?數(shù)列｛4｝滿足：V/〃，〃￡N*,都有&?a=&+陽，且a尸,

11

&=a?飽=土:?氏=&?a2=-

5.若數(shù)列｛&｝滿足：ai=19,a+1=&-3（〃WN*）,則數(shù)列｛&｝的前〃項和最大時，〃的

值為（)

A.6B.7

C.8I).9

解析：選BVai=19,&+i—4=-3,

，數(shù)列｛4｝是以19為首項，―3為公差的等差數(shù)歹U,

=

/.3n19+(n—1)X(—3)=22—3/?.

設(shè)｛a｝的前4項和最大,

國20,22—3欄0,

則有MN*,??.

a+W022—A+

.1922

???左￡N*,：.k=7.

???滿足條件的〃的值為7.

6.（2018?河北唐山一模）設(shè)數(shù)列｛&｝的前〃項和為S”且S尸色'>右@=32,

3

則a=

解析：???6=弛,a1=32,

3

255al63a1

=32,a\="

33

小心1

答案：3

52961

7.已知數(shù)歹ij｛a｝為:，:,------

8364…，則數(shù)列｛a｝的一個通項公式是

2J

解析：各項的分母分別為2L22t23-2l,易看出從第2項起，每一項的分子都比分母

2—3

少3,且第1項可變?yōu)橐弧?/p>

22-32-32'-3

故原數(shù)列可變?yōu)?/p>

，2''

故其通項公式為a“=(—D"?2守”-3，/7GN-.

9"—3

答案：&=(-1)"?學(xué)，〃GN*

8.在一個數(shù)列中，如果V〃GN*,都有g(shù)a+1&+2=內(nèi)衣為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等

積數(shù)列，〃叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛a〃｝是等積數(shù)列，且團=1,a?=2,公積為8,則

ai+a2+S3+…+a”=.

解析：依題意得數(shù)列｛a｝是周期為3的數(shù)列，且功=1,忿=2,as=4,因此4+a+&

+…+ai2=4(ai+az+a3)=4X(1+2+4)=28.

答案：28

9.已知數(shù)列｛a｝的前n項和S?=-^n+kn,4GN*,且S的最大值為8.試確定常數(shù)k,

并求數(shù)列｛a｝的通項公式.

解：因為s=—52+A〃=—〃>十1^其中a是常數(shù)，且4金N*,所以當(dāng)時，

S取最大值故32=8,A2=16,因此4=4,從而S=—；//+4/?.

,17

當(dāng)〃=1時，8=S=—萬+4=/；

當(dāng)〃22時，a?=S—ST=(—手,+4,---^(/7—1)2+4(/7—1)=1—/?.

979

當(dāng)〃=1時，,一1=5=&，所以a=/—〃.

10.已知數(shù)列｛4｝的通項公式是at,=n'+kn+^.

(1)若A=—5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？〃為何值時，為有最小值？并求出最小值；

(2)對于刀￡N\都有為+9&,求實數(shù)A的取值范圍.

解：⑴由/72-5/?+4<0,解得1</7<4.

因為〃￡N*,所以〃=2,3,

所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為&,a.

因為國產(chǎn)〃2_5〃+4=(〃_5_*

由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)〃=2或〃=3時，&有最小值，其最小值為4=a=—2.

(2)由加M>為,知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式a=)+?；+*可以看作是

k3

關(guān)于〃的二次函數(shù)，考慮到〃GN*,所以一5<5,解得上一3.

所以實數(shù)左的取值范圍為(-3,+8).

B級一一拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做

1.(2018?云南檢測)設(shè)數(shù)列｛a,,｝的通項公式為a?=ii-bn,若數(shù)列｛a｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

則實數(shù)6的取值范圍為()

A.(—8,—1]B.(—8,2]

/、(9*1

C.(—8,3)D.I—°0.

解析：選C因為數(shù)列｛&｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以&+「&=2〃+1—?0(〃GN*),所以

伏2〃+l(〃GN*),所以伏(2〃+l).in=3,即從3.

2,已知數(shù)列｛4｝滿足場尸&+2〃，且a=33,則7的最小值為()

A.21B.10

2117

C.-D.-

解析：選C由已知條件可知，當(dāng)〃22時，

&=句+(4一句)+(己3-選)+…+(a-aL1)

=33+2+4+…+2(〃-1)

=//'—刀+33,又力=1時，&=33滿足此式.

所以&=〃+久一L

nn

令f\n)=-=〃+——1,

nn

則F(〃)在［1,5］上為減函數(shù)，在［6,+8)上為增函數(shù).

又F(5)=受RQ,A6)91,則f(5)>f(6),

oz

o91

故f⑦=’的最小值為3.

n2

=

3.(2018?成都質(zhì)檢)在數(shù)歹U{a}中，4=1,3n~T3H-i(〃22,〃￡N*),則a〃=________.

/?—1

解析：由題意知旦=3=-------—,

a,/-in—1n一〃十

—eLn

所以&=diX-X-X…X—

a\&Qn-\

22Q2n

=1X=

2?X32X42X…義戶

+—+—+