2024年高二數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)：幾何概型

2024年高二數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)幾何概型

一、回顧

1.隨機(jī)事件的概率

2.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

P(AB)=P(A)+P(B)

P(A)=1-P(A)

3.古典概型的特征

(1)結(jié)果有限(2)等可能

4.古典概型概率的計(jì)算

=事件A包含的基本事件數(shù)

試驗(yàn)的基本事件總數(shù)

知識(shí)講解

問題1：往一個(gè)方格中投針，針尖可能落在方格中的任何一點(diǎn)上.這個(gè)試驗(yàn)

可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無限個(gè)？

問題2：下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)

域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝.你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少？

問題3：上述每個(gè)扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度(或扇形的面積)和它所在

位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)

域的哪個(gè)因素有關(guān)？哪個(gè)因素?zé)o關(guān)

與扇形的弧長(或面積)有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān).

二、幾何概型

1.幾何概型定義：

事件A可以理解為區(qū)域。的某一子區(qū)域,事件A的概率只與區(qū)域A

的度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān).

2.幾何概型的兩個(gè)特征：

（1）試驗(yàn)結(jié)果有無限多；

（2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的.

3.幾何概型概率的計(jì)算

夕⑷二構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

注：

點(diǎn)的長度為0,線的面積為0,面的體積為0.

典型例題

例1在一根6m的繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率.

解析：

思考：

概率為0的事件會(huì)發(fā)生嗎？

概率為1的事件一定會(huì)發(fā)生嗎？

例2射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán).從外向內(nèi)依次為白色、黑色、

藍(lán)色、紅色，靶心為金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑

為122cm，靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭

都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多

少？

解析:

例3在裝有5升純凈水的容器中放入一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)取出1升水,

那么這1升水中含有病毒的概率是多少？

解析：

例4兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者

40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00至21：00各

時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.

解析：

例5為了測(cè)算如圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長為6的正方形將其包含

在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn).已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分

內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是.

解析:

知識(shí)拓展

3.隨機(jī)模擬試驗(yàn)一一蒲豐實(shí)驗(yàn)

1777年的一天，法國數(shù)學(xué)家蒲豐(Buffon)忽發(fā)奇想，邀請(qǐng)了許多親朋好友

來到他家里。他要做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。

蒲豐事先準(zhǔn)備好一張白紙鋪在桌上，紙上畫滿了一條條距離相等的平

行線。他又拿出許許多多的小針，小針的長度剛好等于相鄰兩條平行直線

之間距離的一半。

實(shí)驗(yàn)開始了，蒲豐讓客人把小針一根一根隨手往紙面上投去，這些針

有的落在白紙上的兩條平行直線之間，不與直線相交，有的與某一條直線

相交。

蒲豐關(guān)心的是針與直線相交的情況。他在一旁數(shù)著投針的次數(shù)和相交

的次數(shù)。結(jié)果，共投針2212次，與直線相交的有704次，蒲豐做了一個(gè)

簡單的除法：

2212+704^3.142。

他宣布這就是X的近似值，眾人驚訝不已。這就是著名的蒲豐投

針問題。后來他把這個(gè)試驗(yàn)寫進(jìn)了他的論文《或然性算術(shù)嘗試》中。

平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直

線，現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針，

試求針與任一平行直線相交的概率.

以x表示針投到平面上時(shí)，針的中點(diǎn)M到最近的一條平行直線的距

離，。表示針與該平行直線的夾角。那么針落在平面上的位置可由(X,

。)完全確定。

P(A)=—

〃兀

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，當(dāng)投針試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，算出針與平行直線相

交的次數(shù)m,則頻率值上即可作為P（A）的近似值代入上式，那么

n

m2b2bn

——x——,n兀才.

n。兀am

利用上式可計(jì)算圓周率n的近似值。

歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果（直線距離a=l）

歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果（直線距離〃=1）

試驗(yàn)者時(shí)間針長投擲次數(shù)相交次數(shù)兀的近似值

Wolf18500.8500025323.1596

Smith18550.6320412183.1554

De

18601.06003823.137

Morqan

Fox18840.7510304893.1595

Lazzerini19010.83340818083.1415929

Reina19250.541925208593.1795

統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例（無答案版）

一、知識(shí)要點(diǎn)

1、隨機(jī)抽樣；

2、用樣本估計(jì)總體：

（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；

（2）用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

常用的樣本的數(shù)字特征包括平均數(shù)與方差和標(biāo)準(zhǔn)差:

_1n

平均數(shù)：x=-Yxi,表明數(shù)據(jù)的平均水平.

幾i=l

1n_1n_

樣本方差：Y9,

〃i=l〃曰

樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S=3?（X,-42，

方差與標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)圍繞平均水平的波動(dòng)情況.

3、變量的相關(guān)性;

4、兩個(gè)變量的線性相關(guān)

(1)回歸直線：a-y-bx

(2)回歸直線的求解

_n_n___

b=m-------------------

n..n_

之(王一葉9?x；—nx9

i=li=l

a-y-bx.

二、典型例題

例L某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工

250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，

用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中的青年職工為7人,

則樣本容量為()

(A)7(B)15(C)25(D)35

例2.某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖

所示，其中成績分組區(qū)間是：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求圖中x的值；

(2)從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成

績?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)記為蜃求。的數(shù)學(xué)期望.

405060708090100成績

例3.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名

員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表

所示.

一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)(人)

結(jié)算時(shí)間

(分鐘/人)1

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.

(1)確定x,y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布

列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各

顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分

鐘的概率.(注：將頻率視為概率)

例4.近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分

為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的

垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市

三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：

“廚余垃圾”箱"可回收物”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾

可回收物

其他垃圾

(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

⑵試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；

(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃

圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當(dāng)數(shù)

據(jù)a,b,c的方差$2最大時(shí)，寫出mb,c的值(結(jié)論不要求證

明)，并求此時(shí)§2的值.

注：52=^[(X1-X)2+(%2~X)2+...+(%?—X)2],其中X為

數(shù)據(jù)XI,X2,…，X”的平均數(shù)

第2講組合

知識(shí)要點(diǎn)

組合的相關(guān)概念

組合

一般地，從〃個(gè)不同元素中取出7"。尤")個(gè)元素并成一組，

叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出機(jī)(加芻)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做

從"個(gè)不同元素中取出根個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C：表示

組合數(shù)計(jì)算公式

c，n==-1)("-2)(n-m+1)=加

"A：mlm\{n-m)l

組合數(shù)的性質(zhì)

⑴：C：=C'；'n

/c、「ntcm,

(2)：C”+i=C〃+C“

規(guī)定C，=l

C*2+Cg+C：++C]彳

典型例題分析

例1、從16人中選派7人做代表參加會(huì)議，下列情況各有多少種

不同的選派方法.

(1)其中甲、乙兩人中恰有1人做代表；

(2)其中甲、乙兩人不能同時(shí)做代表；

(3)其中甲，乙，丙3人中至少有1人做代表.

例2、5個(gè)男生3個(gè)女生，分別滿足下列