廣東省2024屆高三年級下冊高考模擬測試（二）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

廣東省2024屆高三下學(xué)期高考模擬測試（二）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足|z-3+i|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(%,村,則()

2222

A.(x-3)+(y+l)=2B.(x+3)+(y-l)=2

2222

C.(x-3)+(y+l)=4D.(x+3)+(y-l)=4

2.已知集合4=｛才山耳-1)20｝,集合5=｛小2-3x＜0卜則AB=()

A.(0,2]B.[2,3)C.(0,+OO)D.[2,+OO)

3.在平行四邊形ABCD中，點E滿足AE=^AC,則3E=()

4八心一

3.1.31

A.-AB——ADB.——AB+-AD

4444

C.AB--ADD.-AB+-AD

44

4.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若G=1,S4=3S3+S],則4=（）

A.-5B.-7C.5D.7

5.在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中,同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小

鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡

子的距離為q=1.00m，之后將小鏡子前移a=6.00m,重復(fù)之前的操作，再次測量人與小

鏡子的距離為g=0.60m,已知人的眼睛距離地面的高度為h=1.75m,則鐘樓的高度大約

是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

6.函數(shù)/(x)的定義域為R,/(2)=3,若以€氏/(可＞1,則/(力＞%+1的解集為()

A.（-2,2）B.（2,+8）C.（-OO,2）D.（—?，”）

7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓O：V+>2=J,若等腰直角。的直角邊AC為

圓。的一條弦,且圓心。在△ABC外，點3在圓。外，則四邊形Q45c的面積的最大值為

()

A￡1B.后+IC+iD.百+i

22

8.已知球。與圓臺QQ的上、下底面和側(cè)面均相切，且球。與圓臺。1。2的體積之比為

；，則球。與圓臺O]Q的表面積之比為()

A.lB.lC.-D.1

6432

二、多項選擇題

9.若y是樣本數(shù)據(jù)西,無3,4的平均數(shù)，則()

X

A.X],%2,%3，4的極差等于X1，X2,X3i尤4J的極差

B.xt,x2,x3,x4的平均數(shù)等于Xj,x2,x3,x4,y的平均數(shù)

C.\,々，/，為4的中位數(shù)等于無1，4，為3，％4，的中位數(shù)

D.xt,x2,x3,x4的標(biāo)準(zhǔn)差大于xx,x2,x3,%,y的標(biāo)準(zhǔn)差

10.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=|sin2x|B./(%)=|cos2x|

C./(x)=|sinx|+cosxD./(%)=sinx+|cos%|

11.設(shè)。為坐標(biāo)原點，拋物線C：V=?的焦點為￡準(zhǔn)線/與x軸的交點為耳，過點尸的

直線與拋物線C交于A乃兩點，過點A,5分別作/的垂線，垂足分別為A，片，則下列說法

正確的有()

A.|A團?忸聞=歷「B.|A4|W2|M|

C.|04|.|0@=|041H。叫D.|O4|+|0B|>10^1+1^1

三、填空題

12.(%—y)(x+y)6的展開式中/丁的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

13.將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為△ABC，其中

C=°，AB=14,6C=7,記桌面為平面a.若且與平面a所成的角為巴，則點A

26

到平面a的距離的最大值為.

四、雙空題

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中放置著一個邊長為1的等邊三角形八鉆,且滿足PB

與x軸平行，點A在x軸上.現(xiàn)將三角形B鉆沿x軸在平面直角坐標(biāo)系x°y內(nèi)滾動，設(shè)頂

點P(x,y)的軌跡方程是y=/(同則”X)的最小正周期為；產(chǎn)/(%)

在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為.

yjk

P\7B

O\Ax

五、解答題

222

15.已知雙曲線c：土_2_=1(〃>2力>0)的焦點與橢圓土+9=1的焦點重合,其漸近

a2b25

線方程為丫=土走”

3

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若A,B為雙曲線C上的兩點且不關(guān)于原點對稱，直線/：y=gx過的中點，求直線

AB的斜率.

16.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中,點。是eq的中點,40=5。,^=A3.

B

⑴證明：45]，平面43。；

（2）若_LAC,AB=2，求平面^BD與平面ABD的夾角的余弦值.

17.已知/（X）=+（l—2a）x-21n%，a＞（）.

⑴求〃龍）的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)/（%）的圖象上是否存在兩點4（%],另）,_8（%2，%）（其中為/々），使得直線AB與

函數(shù)/（%）的圖象在/=與上處的切線平行？若存在，請求出直線A3；若不存在，請說

明理由.

18.已知正項數(shù)列｛叫,同,滿足%=空,%=華（其中c〉0）.

⑴若a尸4,且q+6產(chǎn)2c，證明：數(shù)列｛4—2｝和｛4+2—2c｝均為等比數(shù)列；

（2）若q＞偽，6+乙=2c,以%也，。為三角形三邊長構(gòu)造序列△ARC”（其中

AA=C,4c=%，4C.=〃），記△AAG外接圓的面積為S”,證明：斗＞三°2；

（3）在（2）的條件下證明：數(shù)列｛s“｝是遞減數(shù)列.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°y中有一個點陣，點陣中所有點的集合為

x<n,

，從集合M中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距

XGN,

J”

離.

(1)當(dāng)九=2時，求X的分布列.

⑵對給定的正整數(shù)"(心4).

(i)求隨機變量X的所有可能取值的個數(shù)；(用含有〃的式子表示)

(ii)求概率P(X＜血(n-1)).(用含有〃的式子表示)

參考答案

1.答案：c

解析：由復(fù)數(shù)Z滿足|z—3+i|=2,則|z—(3—i)|=2,

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(x,y)與復(fù)數(shù)3-i對應(yīng)的點(3,-1)之間的距離為2.

所以(x_3)2+(y+l)2=4.

故選：C.

2.答案：C

解析：由ln(x—1)20可得：尤之2,所以A=[2,+oo),

由爐一3x<0可得：0<%<3,所以5=(0,3),

所以A5=(0,+oo).

故選：C.

3.答案：B

解析：因為ABCD為平行四邊形，

則由AE=；ZC=；(AB+AD),

1O1

BE=AE-AB=-(AB+AD]-AB=--AB+-AD.

4、)44

故選：B.

4.答案：A

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為q=1￡=3S3+S]

所以4al+4；3d=313al+d^+,

即4+62=3(3+32)+1,解得d=-2,

所以%=q+3d=l+3*(一2)=—5.

故選：A.

5.答案：D

解析：如下圖，設(shè)鐘樓的高度為尸Q,

由AMKESAPQE，可得：EQ=勺薩=%；Q

由△NTFS^PQF,可得:FQ==PQ,

故￡0-也=生絲-也”=4,

hh

,,_ah6x1.7510.5“”

故PQ=--------=---------=——=26.25m,

—

4—。210.60.4

故選：D.

6.答案：B

解析:構(gòu)造函數(shù)/(x)=2x-1,滿足〃2)=3，r(x)=2>l,

貝1J由/(x)>x+l可得2x-l>x+l，解得：x>2-

故選：B.

7.答案：A

解析：如圖所示，設(shè)NQ4C=NOC4=e，則NAOC=7i—2a，

故梟℃=OA-OCsinZAOC=；sin(兀-2tz)=gsin2a,

由余弦定理得AC2=<M2+OC2一2OAOCcosZAOC=1+1—2cos(?！?e)=2+2cos2cr,

故等腰直角三角形△ABC的面積為gAC-BC=JAC?=1+cos2a,

故四邊形OABC的面積為gsin2a+cos2a+1=^^sin(2a+°)+l,

其中tan0=2,0<o<],

其中aef0,-1，故衛(wèi)71

2a+0e(°,7t+0)2,71

則4￡=“,3￡=公過4作4￡）_￡8。于點”,

由AW2+5R2=.2,得Qr）2+（&_切2=億+&）2,化簡得r=

由球的體積公式％=3口3,

球3

圓臺的體積公式4］臺=；（2廠）（叫2+兀&2+,?！?兀,）=g兀r（八2+42+

已知球。與圓臺OQ,的體積之比為L則—=

27+弓+秋2

化簡得4尸=1+&2+牡，

則=4+乃之+依，得3和=片+小

又球的表面積S球=4兀/,圓臺的表面積S圓臺=兀［（4+&）2+彳2+&2,

匚匚“S球4r22r之11

所以~C=c/、2V=-2=n2X;=不

S圓臺2（不+弓+口）不+2+以42

故選：D.

9.答案：AB

解析：對于A,樣本數(shù)據(jù)/,乙，工3，工4的平均數(shù)為％則%<丁<九4,故再，工4的極差等

于x19x2,x39x4,y的極差，故A正確;

對于B,數(shù)據(jù)七，馬,￡，*4，y的平均數(shù)亍=1(%+工2+項+/+丁)=((分+田=>故8正確;

對于C,如果看,乙,七，4是按從小到大排列，則%,%，%3，%的中位數(shù)為生產(chǎn)，不一定等于

%1,%，=3*4，丁的中位數(shù)，故C錯誤；

2222

對于D,再，馬,芯，的方差S；=；[(玉-y)+(X2-y)+(x3-y)+(x4-y)],

X2-

而X],%，%，\^y的方差S；=—[(Xj-y)+(x2y)?+(工3—y)?+(%-y)?+(y—y)」=

但當(dāng)石=々=%=%時兩組數(shù)據(jù)的方差相等，其標(biāo)準(zhǔn)差也相等，故D錯誤.

故選：AB.

10.答案：AC

解析：對于A：/(一光)=卜皿一2%)|=|-sin2xRsin2x1=/(x),為偶函數(shù),

:時2e-兀苫/(x)=|sin2x|=-sin2x,

y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為九￡———+2H,--+2HGZ),

22v7

.?./(%)=—sin2x的遞增區(qū)間為％e—~^+左兀,一:+E(ZeZ),

3兀7兀1(7T-g\

而-工」e--------卜lot,--------FK7CKEZ,

(2444V7

所以"%)=卜近2加在￡上單調(diào)遞增，故A正確;

對于B：/(-%)=|cos(-2%)|=|cos2H=/(%),為偶函數(shù),

/(x)=|cos2x|=-cos2x,

y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為X?_兀+2E,2E](kcZ),

/(x)=-cos2jr的單調(diào)遞減區(qū)間為了￡+kit,kjt(keZ),

而(一會一je-^+kjt,kn(keZ),

所以/a)=|cos2x|在，夕-二上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C：/(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=/(x)，為偶函數(shù),

當(dāng)x￡［一］,一；)時,/(x)=|sinx|+cosx=一sinx+cosx=_0sin1元一：

y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為xw-日+2左兀,一］+2左兀(keZ),

則〃x)=-的單調(diào)遞增區(qū)間為—乎+2阮-+2E(^eZ),

ffif--€-—+2fei,--+2kjt(keZ),

［24ji44Jv)

所以/(司=卜時+8院在上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D：/(-%)=sin(-x)+|cos(-x)|=-sinx+|cosx|^±/(x),

所以〃x)=sinx+|cosM為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：AC.

11.答案：ACD

解析：由已知日(1,0),片(-1,0),設(shè)過點尸的直線方程為:x=my+l,

設(shè)點A&,%),%)，則A(T%)，4(-1,y2)，

由<丁X，得y2—4/n_y—4=0,

x=my+1

所以X+%=4根，%為=-4,玉+%2=機(％+%)+2=4.+2,用*=(”%)=］,

16

|A用?忸闿=-%%=4,|咐「=22=4,所以|十訃忸闿=|兩「故人正確，

|A5i|=I%一%|=J(H+%)2-4%為=V16m2+16>4=2怛耳卜故B錯誤，

|OA|2?|。8「=(片+對(%+￡)=片考+片田+心；+寸￡=17+而+片￡=17+4君石+4+2

=17+4%+w)=25+16加之，

=

|01A「.印=(1+y；)(1+。)=1+1+y；+y；y；=17+y；+必=17+(%+%)2-+16*

，故|04卜［0阿=|O41Ho4卜C正確，

222

(|(M|+|6>B|)-(|O41|+|C)B1|)=|0A|+103「—|。4『T04『+2|。/.|0回—2|O41Ho耳|,

由選項C可知|Q4|.|OB|=|Q41H。州，

所以

(3+3|)2一(|04|+|04『=3『+3._.4「一|04后苗+對+優(yōu)+陽_(1+對_(1+婿

=(x；+x；)—2=(為+X。一2x^xo—2=(4/獷+2)—420,

故|Q4|+1。到習(xí)1+1。4卜D正確；

故選：ACD.

解析：(X+>)6展開式的通項公式為&i=C"6fyr,

故(x+y)6展開式中x2y4系數(shù)為c：=15,凸3系數(shù)為c：=20,

故(x-y)(x+y)6的展開式中Vy4的系數(shù)為15—20=—5，

故答案為：-5.

13.答案：—

2

解析：如圖，過3作BB[_La,交a于耳,過A作44,_1_蟆,交a于A,

因為在RSABC中,ZAGB=L5C=7，AB=14，

2

則AC=VAB2-BC2=A/142-72=76，當(dāng)ABB］,。四點共面時，點A到a的距離最大.

因為3q，a,所以/BCg是3C與平面。所成的角，則/8。片=工，則NAQ

63

于是,M=ACsin巴=7百x3=斗即A到a的最大距離為”

3222

故答案為：21.

2

14.答案：3,如+@

34

解析：設(shè)P(p,凈,

如圖，當(dāng)三角形沿x軸在平面直角坐標(biāo)系x0y內(nèi)滾動時,

然后再以用為圓心旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到鳥，此時+(0),

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時,P不旋轉(zhuǎn)，此時A旋轉(zhuǎn)到&,

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以4為圓心旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到P3,

點P從開始到B2時是一個周期，故y=/(司的周期為=3，

如圖，物,乞為丁=/(對相鄰兩個零點，

y=/(x)在［與,陽］上的圖像與x軸圍成的圖形的面積為：

2,。。+與心生+叵

23434

故答案為：3,空+且.

34

2

15.答案：⑴二_/=1

3

（2）1

2

解析：（1）橢圓?+y2=l的焦點為（12,0）,故/+廿=4，

由雙曲線的漸近線為y=±XIx，故2=無,故6=1,4=百

3a3

2

故雙曲線方程為：土—y2=i.

3

（2）設(shè)A（X],yJ,B（X2，y2），A6的中點為M

因為A1在直線/：y=g九，故為

而]-"1,1-戈=1,故企二智3-）（x+%）=0，

故國一?如_（>「,）為=。，

由題設(shè)可知AB的中點不為原點，故與為A0,所以江&=孑=1，

故直線AB的斜率為1.

12

此時AB:y=x-xM+-xM=x--xM,

-2x

由『X一寶可得V-31X-j=23,整理得到：2V—4與x+g總+3=0,

j2—3y2=3I）

當(dāng)A=16xj-+3]=-24〉0即為<一]^或與

即當(dāng)/<_乎或與>半時，直線A5存在且斜率為1.

16.答案：（1）證明見解析

（2）^

2

解析：（1）如圖，記A3與A用的交點為點0,連接耳。,如，

因為三棱柱ABC-4與￡是直三棱柱，

所以NAAB=ZDCA=NB￡D=90°.

因為A4,=A3,所以四邊形A415d是正方形，故AB1，4瓦

因為4。=5。,5。=耳。1，

所以AC=AG.又因為。是CG的中點，

所以CD=G。，

所以AD=yJCD2+AC2="D+BC=4D.

因為四邊形是正方形,所以點。是A耳的中點，

所以4耳LOD.

又因為AB，ODu平面OD=O,

所以AB1，平面ABO.

(2)因為BC_LAC，AB="=2,所以AC=BC=VL

如圖2,以點。為原點，分別以C4，CB,CG所在直線為MW軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(V2,0,0),B(0,a0),(0,72,2),￡)(0,0,1).

所以AB=(-V2,V2,0),BD=(0,-y/2,1),AB,=卜也72,2).

因為胡，平面A8。,所以平面\BD的法向量為ABX=(-V2,V2,2).

設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),

_.n-AB=0,_—>/2,x+,\/2y=0?尤=y,p-

則《即n1廣解&7得JZFI1r取'=1，

n-BD=Q,[-&y+z=0,[z=s/2y,

得“=(1,1,碼，

設(shè)平面ABD與平面ABD的夾角為。，

則。。"="=晨=3

所以平面A3。與平面的夾角的余弦值為:.

17.答案：(1)/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增.

(2)不存在，理由見解析

解析：(1)由題可得了,(X)=奴+1—2?！?=/+(1—2g—2=(以+l)(x—2)(X〉0)

XXX

因為Q>0,所以or+l>0,

所以當(dāng)X￡(0,2)時,/(?<0,/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(2,+oo)時,/'(%)>0,/(%)在(2,+oo)上單調(diào)遞增.

綜上"(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增.

12

+(1_2Gx2-2In%2]-[―a/+(1-2a)%-2In再]

(2)由題意得，斜率心_%

K一

x2—玉x2一%

—a(xf-%；)+(1-2〃)(%2-xj-lin-21n—

2X〃/、4cM

=—(再+%2)+]—2a--------

%2一再--2x2-x1

石+々)=。(%1+%2)門2a___-

22匹+x2

E；2，即In逗=幺上二史，即In&■——一=0

----=石石+々西強1

x2-X,Xx+X2-----------------------------f

令”強,不妨設(shè)/>不則/>1,

X1

i己g?)=hu_2?l)=m/+，__2(?>1)

r+1t+1

所以g，⑺=1-—>0,所以g⑺在(1,+?))上是增函數(shù)，所以g?)>g⑴=0,

所以方程g⑺=0無解，則滿足條件的兩點A,B不存在.

18.答案：(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

解析：(1)正項數(shù)列｛4｝,也｝,滿足，=駕二%=牛，

兩式相減可得：4用-2+1=-；(%-%)，

因為q,所以4一4wO,

所以｛4-2｝是以囚-仇為首項，-;為公比的等比數(shù)列，

由4+1="上山+i兩式相加可得：4+1+%=g(4+2)+c，

即以+%-2c=g(4+優(yōu)-2。,因為4+6戶2c,

所以q+4-2cH0，所以｛a“+》“-2c｝是以q+b｛-2c為首項為公比的等比數(shù)列.

(2)因為q>/由(1)得｛%-"｝是等比數(shù)列，

所以。-4#0,即a產(chǎn)b,,

由⑴知,a“+]+%-2c=；(%+%-2c),

因為〃i+4=2c,所以〃1+4-2c=0,

所以｛g+么-2c｝為常值數(shù)列0,故4+2=2c,

由a：+b；—c2

cosCn

2a也2anbn

22121217331i

:+47—，—4包Z一2“也_442+『"2-2m_3（2一/1：31J,

2岫2ah8Jbn）4442

因為4w2,所以等號不成立，

故cosC“〉g,因為C“e（0,兀），所以Ge[o,；],

所以sinC

"2

由正弦定理得44Gl外接圓的直徑"=穴>逅=耳,

~2

二2

所以r>，所以S〃=7ir2>—^―?

（3）由（1）可知,%一,=（%一4）

由(2)可知,6+a=2。,

解得:……

所以=c2-fe^[-|p=c2-(^-4)](f，

可包隨著九的增大而減小，又因為

cosC—c?&+-J—2a也—3c22ah_3c?

2anbn2anb〃2%22冊%

所以cosG隨著n的增大而減小，所以｛cosCn｝是遞減數(shù)列,

因為G,，所以｛sinCj是遞增數(shù)列，所以?，一是遞減數(shù)列,

sinG.

所以數(shù)列｛S,,｝是遞減數(shù)列.

19.答案：(1)答案見解析;

(2)答案見解析.

解析：(1)當(dāng)〃=2時，集合〃中共有9個點,