統(tǒng)計回歸模型舉例

1、多元線性回歸命令：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)2、一元多項式回歸命令：[p,s]=polyfit(x,y,m)3、多元二項式回歸命令：rstool(x,y,’model’,alpha)線性（linear），完全二次（quadratic),純二次（purequadratic),交叉（interaction)4、非線性回歸命令：[beta,r,j]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)幾個常見回歸命令例1牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型

預測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量

收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價

9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029

8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期

令y表示公司牙膏的銷售量，x1表示其它廠家與本公司價格差，

x2表示公司廣告費用，則數(shù)據(jù)如下：>>x1=[-0.050.250.600.250.20.150.05-0.150.150.20.10.40.450.350.30.50.50.4-0.05-0.05-0.10.20.10.50.6-0.0500.050.55];x2=[5.56.757.255.576.56.755.255.2566.56.2576.96.86.87.176.86.56.2566.576.86.86.55.755.86.8];>>y=[7.388.519.527.59.338.288.757.877.187.898.159.18.868.98.879.2698.757.957.657.2788.58.759.218.277.677.939.26];

下面探討y與x1、x2的關系：用matlab軟件作圖：plot(x1,y,’*’);plot(x2,y,’*’)運行得如下圖形：x1y從右圖看出，y與x1成線性關系，y與x2成二次曲線關系。x2y

>>x3=x2.^2;>>x=[ones(30,1)x1'x2'x3'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)運行結果：b=17.3244，1.3070，-3.6956，0.3486bint=5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594stats=0.9054，82.9409，0.0000，0.0490模型求解MATLAB統(tǒng)計工具箱

結果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3F遠超過F檢驗的臨界值P<<

=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近)x2對因變量y的影響不太顯著由于x22項顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立銷售量預測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=650萬元控制x1通過x1,x2預測yx1=0.2;x2=6.5;Y=b(1)+b(2)*x1+b(3)*x2+b(4)*(x2.^2)運行結果：Y=8.2933即預測牙膏銷售量為8.2933百萬支。

上述模型中的回歸變量x1,x2對因變量y的影響是相互獨立的。即牙膏銷售量y的均值與廣告費x2的二次關系由回歸系數(shù)β2和β3確定，而不必依賴于差價x1,同樣y的均值與x1的線性關系僅由回歸系數(shù)β1確定，不依賴于x2.根據(jù)直覺和經(jīng)驗可以猜想，x1和x2之間的交互作用也會對y有影響，不妨簡單地用x1,x2的乘積來表示他們的相互作用，于是上述模型中增加一項，得到：模型改進

>>x=[ones(30,1)x1',x2'(x2.^2)'(x1.*x2)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=29.113311.1342-7.60800.6712-1.4777bint=3.701344.52521.977820.2906-12.6932-2.52280.25381.0887-2.8518-0.1037stats=0.9209，72.7771，0.0000，0.0426模型比較x1和x2對y的影響獨立

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p=0.0000

3

0

1

2

4x1和x2對y的影響有交互作用

由于R2有所提高，所以模型(**)比模型（*）有所改進，并且參數(shù)的置信區(qū)間不再包含0點，所以有理由認為模型（**）比模型（*）更符合實際。預測比較：x1=0.2;x2=6.5;Y=b(1)+b(2)*x1+b(3)*x2+b(4)*(x2.^2)+b(5)*(x1.*x2)Y=8.3272兩模型銷售量預測比較(百萬支)區(qū)間[7.8230，8.7636]區(qū)間[7.8953，8.7592](百萬支)控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元預測區(qū)間長度更短略有增加完全二次多項式模型>>

x=[x1'x2'];>>rstool(x,y','quadratic')運行結果：beta=2.098414.7436-8.6367-2.10381.10740.7594rmse=0.2083剩余標準差為0.2.83較小，說明回歸模型的顯著性比較好。問題：一家高技術公司人事部門為研究軟件開發(fā)人員的薪金與他們的資歷、管理責任、教育程度等因素之間的關系，要建立一個數(shù)學模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作為新聘人員的薪金的參考。他們認為目前公司人員的薪金總體上是合理的，可以作為建模的依據(jù)。于是調(diào)查了46名軟件開發(fā)人員的檔案資料，如下表，其中資歷一列指從事專業(yè)工作的年數(shù)，管理一列中：1表示管理人員，0表示非管理人員，教育一列中：1表示中學程度，2表示大學程度，3表示更高程度（研究生）。例2軟件開發(fā)人員的薪金

編號薪金資歷管理教育編號薪金資歷管理教育113876111131980031321160810314114174013187011131520263413411283102161323140351176710317128844026208722121813245502711772202191367750381053520120159655119121952032112366601101231330222213526131114975311231383960212213713122422884612編號薪金資歷管理教育編號薪金資歷管理教育251697871136168821202261480380237241701213271740481138159901301282218481339263301312291354880140179491402301446710014125685151331159421002422783716123223174101343188381602332378010124417483160134254101112451920717023514861110146193462001

分析與假設——按照常識，薪金自然隨著資歷（年）的增長而增加，管理人員的薪金應高于非管理人員，教育程度越高薪金也越高。令y表示薪金，x1表示資歷，x2表示是否管理人員，x3表示學歷

基本模型——假設薪金y與資歷x1、管理x2、學歷x3成線性關系:

y=[13876116081870111283117672087211772105351219512313149752137119800114172026313231128841324513677159651236621352138392288416978148031740422184135481446715942231742378025410148611688224170159902633017949256852783718838174831920719346];x1=[111112222333344445556666788881010101011111212131314151616161720];

x2=[1010010000111010000101011011000111001010110000];x3=[1332322132123133223113221213112323123122322121];x=[ones(46,1),x1',x2',x3'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=1.0e+003*6.9333,0.5659,6.5936,1.6134bint=1.0e+003*5.66128.20540.49110.64065.81347.37371.11112.1156stats=0.9327194.016901603719.76601

由于R2=0.9327接近于1，F(xiàn)=194.0169大于臨界值，p<<0.05所以模型的顯著性較好。回歸模型為：殘差分析：Rcoplot(r,rint)

模型修正在上述模型中，資歷、管理、學歷對薪金的影響都是獨立的。事實上，管理與學歷對薪金應具有交叉影響，為此增加交叉項x2x3,得模型：模型求解——

x=[ones(46,1),x1',x2',x3',(x2.*x3)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=8135.915538.3664525.2491077.1391019.748bint=6410.8499860.982461.000615.7322311.7486738.750351.3631802.914-6.3142045.810stats=0.9387157.01201495857.511

R2=0.9387>0.9327,所以，該模型較好。

為了表示三種教育程度，也可引進兩個0——1變量來表示：

y=[13876116081870111283117672087211772105351219512313149752137119800114172026313231128841324513677159651236621352138392288416978148031740422184135481446715942231742378025410148611688224170159902633017949256852783718838174831920719346];x1=[111112222333344445556666788881010101011111212131314151616161720];x2=[1010010000111010000101011011000111001010110000];

X3=[1000000100100100000110001010110000100100000101];X4=[0001011001010000110000110100001011010011011010];x=[ones(46,1),x1',x2',x3‘,x4‘];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)

b=11032.7343011281546.12764929776882.53291698754-2994.17834433349147.737980069428stats=0.956691811962102226.42579883577701057144.84841479

R2=0.956691811962102F=226.425798835777p<<0.05所以模型的顯著性較好。殘差分析：rcoplot(r,rint)

模型修正在上述模型中，資歷、管理、學歷對薪金的影響都是獨立的。事實上，管理與學歷對薪金應具有交叉影響，為此增加交叉項x2x3,x2x4,得模型模型求解：X=[x(x2.*x3)'(x2.*x4)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X)

b=11203.753782227896.8639299123927047.99973466834-1726.5041924628-348.392543178968-3070.596188012791835.9676370463stats=0.998829102890402,5544.79903960134,030047.093445917

R2=0.998829102890402>0.956691811962102

所以，該模型較好。例3投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)

問題建立投資額模型，研究某地區(qū)實際投資額與國民生產(chǎn)總值(GNP)及物價指數(shù)(PI)的關系2.06883073.0424.5201.00001185.9195.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145992.7144.281.63422417.8423.0170.8679944.0149.371.50422163.9386.6160.8254873.4133.361.40051918.3324.1150.7906799.0122.851.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號根據(jù)對未來GNP及PI的估計，預測未來投資額該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

時間序列中同一變量的順序觀測值之間存在自相關以時間為序的數(shù)據(jù)，稱為時間序列

分析許多經(jīng)濟數(shù)據(jù)在時間上有一定的滯后性

需要診斷并消除數(shù)據(jù)的自相關性，建立新的模型若采用普通回歸模型直接處理，將會出現(xiàn)不良后果

投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)

……………………1.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號

y=[90.997.4113.5125.7122.8133.3149.3144.2166.4195.0229.8228.7206.1257.9324.1386.6423.0401.9474.9424.5];>>x1=[596.7637.7691.1756.0799.0873.4944.0992.71077.61185.91326.41434.21549.21718.01918.32163.92417.82631.72954.73073.0];>>x2=[0.71670.72770.74360.76760.79060.82540.86790.91450.96011.01.05751.15081.25791.32341.40051.50421.63421.78421.95142.0688];t~年份，yt~投資額，x1t~GNP,x2t~物價指數(shù)畫出散點圖投資額與GNP及物價指數(shù)間均有很強的線性關系

0,1,2~回歸系數(shù)x1tytx2tyt

t~對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量Plot(x1,y,’*’)Plot(x2,y,’*’)

x=[ones(20,1)x1‘x2’]；[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=322.724963028216；0.618456651396034；-859.478998026578bint=224.338557066255；421.1113689901780.477272347881124；0.759640954910943-1121.47567088142；-597.482325171736stats=0.990843999027999919.8528940192380161.707321609199基本回歸模型的結果與分析

MATLAB統(tǒng)計工具箱

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間

0322.7250[224.3386421.1114]

10.6185[0.47730.7596]

2-859.4790[-1121.48,-597.48]R2=0.9908F=919.8529p=0.0000剩余標準差

s=12.7164

沒有考慮時間序列數(shù)據(jù)的滯后性影響R2＝0.9908，擬合度高模型優(yōu)點模型缺點可能忽視了隨機誤差存在自相關；如果存在自相關性，用此模型會有不良后果

例4、教學評估問題：為了考評教師的教學質(zhì)量，教學研究部門設計了一個教學評估表，對學生進行一次問卷調(diào)查，要求學生對12名教師的15門課程（其中3位教師有2門課）按以下7項內(nèi)容打分，分值為1—5分（5分最好，1分最差）。X1—課程內(nèi)容的合理性；x2—主要問題展開的邏輯性；X3—回答學生問題的有效性；x4—課下交流的有助性；X5—教科書的幫助性；x6—考試平分的公平性；y—對教師的總體評價。

收回問卷調(diào)查后，得到了學生對12位教師15門課的各項評分的平均值，見下表：教師編號課程編號x1x2x3x4x5x6y12014.464.424.234.14.564.374.1122244.113.823.293.63.993.823.3833013.583.313.243.764.393.753.1743014.424.374.344.43.634.274.3953014.624.474.534.674.634.574.6963093.183.823.923.623.54.143.2573112.472.793.583.52.843.842.8483114.293.924.053.762.764.113.9593124.414.364.274.754.594.114.18103124.594.344.244.392.644.384.44113334.554.454.434.574.454.44.47124244.674.644.524.393.484.214.6133513.713.413.394.184.084.063.1744114.284.454.14.073.764.434.1594244.244.384.354.484.154.54.33

教學研究部門認為，所列各項具體內(nèi)容x1——x6不一定每項都對教師總體評價y有顯著影響，并且各項內(nèi)容之間也可能存在很強的相關性，他們希望得到一個總體評價與各項具體內(nèi)容之間的模型，這個模型應盡量簡單和有效，并且由由此能給教師一個合理的建議，以提高總體評價。逐步回歸的基本思想——先確定一個包含若干自變量的初始集合，然后每次從集合外的變量中引入一個對因變量影響最大的，再對集合中的變量進行檢驗，從變得不顯著的變量中移出一個影響最小的。依次進行，直到不能引入和移出為止。引入和移出都以給定的顯著性水平為標準。雖然給出了6個變量，但是我們希望從中挑選出對因變量y有顯著影響的哪些來建立回歸模型。為此我們采用逐步回歸方法。

MATLAB統(tǒng)計工具箱中逐步回歸命令為：stepwise通常的用法為：Stepwise(x,y,inmdel,penter,premove)x：自變量數(shù)據(jù)矩陣；y：因變量數(shù)據(jù)；Inmodel：自變量初始集合的指標（即矩陣x中哪些列進入初始集合），缺省時設定為沒有選取任何x的列向量；Penter：引入變量時設定的最大p值，缺省時為0.05；Premove：移出變量時設定的最小p值，缺省時為0.10。注意：Premove的值不能小于Penter的值。

x1=[4.464.113.584.424.623.182.474.294.414.594.554.673.714.284.24];x2=[4.423.823.314.374.473.822.793.924.364.344.454.643.414.454.38];x3=[4.233.293.244.344.533.923.584.054.274.244.434.523.394.104.35];x4=[4.103.603.764.404.673.623.503.764.754.394.574.394.184.074.48];x5=[4.563.994.393.634.633.502.842.764.592.644.453.484.063.764.15];x6=[4.373.823.754.274.574.143.844.114.114.384.404.214.064.434.50];y=[4.113.383.174.394.693.252.843.954.184.444.474.613.174.154.33];x=[x1'x2'x3'x4'x5'x6'];

模型解釋：在最終模型里回歸變量只有x1,x2，是一個簡單易用的模型。據(jù)此可把課程內(nèi)容組織的合理性（x1）和回答學生問題的有效性(x3)，列入考評的重點，模型（*）表明，x1的分值每增加一分，對教師的總體評價就增加0.5分；x3的每增加1分，對教師的總體評價就增加0.77分，應建議教師注重這兩方面的工作。為了分析其他自變量沒有最終進入模型的原因，可以計算x1~x6,y的相關系數(shù)。

>>

A=[xy'];>>corrcoef(A)ans=1.0000，0.9008，0.6752，0.7361，0.2910，0.6471，0.89730.9008，1.0000，0.8504，0.7399，0.2775，0.8026，0.93630.6752，0.8504，1.0000，0.7499，0.0808，0.8490，0.91160.7361，0.7399，0.7499，1.0000，0.4370，0.7041，0.82190.2910，0.2775，0.0808，0.4370，1.0000，0.1872，0.17830.6471，0.8026，0.8490，0.7041，0.1872，1.0000，0.82460.8973，0.9363，0.9116，0.8219，0.1783，0.8246，1.0000一般認為，兩個變量的相關系數(shù)超過0.85時才具有顯著的相關性。由上面結果知道，與y相關性顯著的只有x1,x2,x3，而X2未進入最終模型，是由于它與x1,x3的相關性顯著（r12=0.9008，r23=0.8504），可以說，模型中有了x1,x3之后，變量X2是多余的，應該去掉。

例6冠心病與年齡問題：冠心病簡稱CHD，是一種常見的心臟疾病，嚴重地危害著人類的健康。到目前為止，其疾病尚未完全研究清楚，醫(yī)學界普遍認同的、重要的易患因素是高領、高血壓、糖尿病、動脈粥樣硬化及家族史等。多項研究表明，冠心病發(fā)病率隨著年齡的增加而上升，在冠心病的流行病學研究中，年齡也最常見的混雜因素之一。為了更好地說明冠心病發(fā)病率與年齡的關系，醫(yī)學界對100名不同年齡的人進行觀察，表1給出了這100名被觀察者的年齡及是否患冠心病的數(shù)據(jù)。

表1100名被觀察者的年齡與是否患冠心病的觀察數(shù)據(jù)序號年齡冠心病序號年齡冠心病序號年齡冠心病序號年齡冠心病120026350514417655122302735052441775613240283605345078561425029361544517956152513036055460805706260313705646181570726032371574708257182803337058470835719280343805947184571102903538060480855711130036390614818658012300373916248187581133003840063490885811430039401644908959115300404106549190591163014141066500916001732042420675019260118320434206851093611193304442069520946212033045421705219562121340464307153196631223404743072531976402334148431735419864124340494407455099651253405044075551100691

表1冠心病一欄中，1代表患冠心病，0表示不患冠心病。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型，來分析冠心病發(fā)病率與年齡的關系，并進行統(tǒng)計預測。分析與假設——假設這100名被觀察者是獨立選取的，記x被觀察者的年齡，Y為觀察者患冠心病的情況（Y=1表示患冠心病，Y=0表示未患）x=[20232425252626282829303030303030323233333434343434353536363637373738383939404041414242424243434344444444454546464747474848484949495050515252535354555555565656575757575757585858595960606162626364646569;

Y=[0000100000000001000000100000100100001010000010010011010100101100101001111011111001111011110111110111];作出Y對x的散點圖Plot(x,Y.’*’)從右圖可以看出，直接對上述數(shù)據(jù)建立回歸模型是行不通的，需要對數(shù)據(jù)進行處理。

數(shù)據(jù)處理的一種常見方法是將被觀察者按年齡進行分組，并統(tǒng)計各年齡段中患冠心病的人數(shù)，及患病人數(shù)占該組人數(shù)的比例（以下簡稱患病比例）為方便起見，將年齡分成8個年齡段，分組數(shù)據(jù)如下表：表2各年齡段的冠心病患病人數(shù)及比例年齡段組中值人數(shù)患病人數(shù)患病比例20-2924.51010.130-34321520.1335-39371230.2540-44421550.3345-49471360.4650-5452850.6355-5957171