江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.已知甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，每天一人，則甲排在乙前面值班的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧?、乙、丙三人?天節(jié)日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情況有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6種，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3種，故甲排在乙前面值班的概率為.故選：C.3.設(shè)，是單位向量，若，則的值為（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，是單位向量，且，所以，，所?故選：A.4.為激發(fā)中學(xué)生對(duì)天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識(shí)競賽”，并隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A.直方圖中的值為0.035B.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績不低于80分C.估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分D.在被抽取的學(xué)生中，成績?cè)趨^(qū)間的學(xué)生數(shù)為10〖答案〗B〖解析〗由頻率分布直方圖可得，故，故A錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可得全校學(xué)生的平均成績估計(jì)為：，故B正確；前4組的頻率為，故全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)大于，故C錯(cuò)誤；區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為，故對(duì)應(yīng)的人數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，整理可得，所以有，所以，所以，.故選：D.6.在長方體中，已知，，則和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，在長方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，，所以和所成角等于與所成的角，在中，，，則，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值為.故選：B.7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)5的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為1.2 D.平均數(shù)為2，方差為1.6〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，若試驗(yàn)結(jié)果為1，2，2，5，5，則滿足題意，故A項(xiàng)可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)5；對(duì)于B項(xiàng)，若試驗(yàn)結(jié)果為2，2，3，4，5，則滿足題意，故B項(xiàng)可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)5；對(duì)于C項(xiàng)，若試驗(yàn)結(jié)果為2，2，3，3，5，則平均數(shù)為，方差為滿足題意，故C項(xiàng)可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)5；對(duì)于D項(xiàng)，若試驗(yàn)結(jié)果中有5，則方差大于等于，故D項(xiàng)不可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)5.故選：D.8.已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正四面體，設(shè)點(diǎn)是底面的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點(diǎn)在線段上，分別設(shè)為，則易知，，設(shè)球的半徑分別為，因?yàn)椋鶕?jù)重心定理可知，，，，，，，由可得，，即，解得，，所以，由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”的概率分別為，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗拋擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的等可能得結(jié)果為4個(gè)，其中包括“兩個(gè)正面”的結(jié)果為1個(gè)，所以；包括“兩個(gè)反面”的結(jié)果為1個(gè)，所以；包括“一正一反”的結(jié)果為2個(gè)，所以，所以，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B、C、D正確.故選：BCD.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，，，故C錯(cuò)誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD.11.在棱長為2的正方體中，為中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.三棱錐體積為C.線段最小值為 D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗取、中點(diǎn)分別為、，連接、、、，，如下圖：為正方體，，，，，平面，平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)為時(shí)，，則與的夾角為，此時(shí)，則，則與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，線段最小，，，在邊上的高為，則，則當(dāng)時(shí)，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：為正方體，平面，平面，，為直角三角形，且直角為，，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則當(dāng)最大時(shí)，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)最小，為，當(dāng)最小時(shí)，即，此時(shí)，此時(shí)最大，為，則的取值范圍為，故D正確.故選：BCD12.設(shè)點(diǎn)是的外心，且（，），則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若是正三角形，則D.若，，，則四邊形的面積是17〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)是的外心，所以，所以為中點(diǎn)，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，，三點(diǎn)共線，易知是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且為的中點(diǎn)，則，，故B錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)槭钦切?，則也是的重心，故，則，故C對(duì)；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)椋试谕?，又，所以，又，，則，故D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，，若為實(shí)數(shù)，則m的值為______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.故〖答案〗為：.14.在中，，，則的值為______.〖答案〗1〖解析〗.故〖答案〗為：1.15.如圖，用，，三種不同元件連接成系統(tǒng)S，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響.當(dāng)元件正常工作且，中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.6，0.5，0.5，則系統(tǒng)S正常工作的概率為______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，都不能正常工作的概率為，所以，元件，中至少有一個(gè)正常工作的概率為，所以，元件正常工作且，中至少有一個(gè)正常工作的概率為，即系統(tǒng)S正常工作的概率為.故〖答案〗為：.16.已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點(diǎn)之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗過分別作則二面角的大小為，，，則，即兩點(diǎn)間的距離為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.（1）求A；（2）若，求周長的最大值.解：（1）在中，由已知結(jié)合正弦定理角化邊可得，整理可得，所以，又，所以.（2）方法一：由（1）知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，整理可得，所以，故的周長的最大值為12.方法二：由（1）知，所以，，記的周長為，則，由，，得，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，.18.甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為，乙譯出密碼的概率為，丙譯出密碼的概率為，求：（1）其中恰有一人破譯出密碼的概率；（2）密碼被破譯的概率.解：（1）記密碼被甲、乙、丙3人獨(dú)立地破譯分別為事件A、、，則，，，，，，記“恰有一人破譯出密碼”為事件，由已知可得，.（2）記“密碼被破譯出”為事件，因?yàn)?，所?19.如圖，為了測量河對(duì)岸，兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，，測得，，，，.設(shè)，，，在同一平面內(nèi)，試求，兩點(diǎn)之間的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）解：（1）在中，，，則，又，由正弦定理，得，中，，，則，在中，由余弦定理，得，所以，答：，兩點(diǎn)之間的距離為.20.如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為6的正方形，平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）若平面平面，中邊上的高，，求該幾何體的體積.解：（1）因?yàn)槭钦叫?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所?（2）連接，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，同理可得平面，又，所以平面，因此，，分別為四棱錐和三棱錐的高，從而.21.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求常數(shù)m的值；（2）若，，求的值.解：（1），當(dāng)，即時(shí)，，所以.（2）由（1）知，，由得，，所以，又，所以，所以，所以，，所以.22.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求側(cè)面與側(cè)面所成二面角的大小.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槭钦切危堑闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵?/p>