江蘇省連云港市東?？h2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市東?？h2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A.2.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6〖答案〗D〖解析〗由題意可知，當(dāng)時(shí)，即，解得，又因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以.故選：D.3.6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取3件檢查，則抽到2件正品的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，從6件產(chǎn)品任取3件，共有種不同的取法；其中抽到的3件產(chǎn)品中，恰有2件正品，有種不同的取法，所以其概率為.故選：B.4.設(shè)，且，若能被3整除，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)槎寄鼙徽?，所以要使能?整除，則需要也能被3整除，且，，所以.故選：C5.若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗（1）時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增，不滿足題意；（2）時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，由題知，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C6.已知平行六面體中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗裕?故選：B.7.現(xiàn)有5名男生（含1名班長(zhǎng)）、2名女生站成一排合影留念，要求班長(zhǎng)必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）A.216 B.432 C.864 D.1728〖答案〗B〖解析〗班長(zhǎng)站在中間，有1個(gè)方法，先選2男生1女生排在班長(zhǎng)左側(cè)，有個(gè)方法，將余下的3人排在班長(zhǎng)右側(cè)，有個(gè)方法，則符合要求的方法總數(shù)為.故選：B8.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，為正整數(shù)，且，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A：，所以，故A正確；對(duì)于B：，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，故D正確.故選：AD.10.甲盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，事件A表示“從甲盒中取出的是紅球”，事件B表示“從甲盒中取出的是白球”；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，事件C表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件A與事件B是互斥事件 B.事件A與事件C是獨(dú)立事件C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)槭录皬募缀兄腥〕龅氖羌t球”與事件“從甲盒中取出的是白球”不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件B是互斥事件，選項(xiàng)A正確，因?yàn)榧缀兄杏?個(gè)紅球，2個(gè)白球，所以，，若甲中拿出的是紅球，則乙中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，若甲中拿出的是白球，則乙中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球，所以，，，故選項(xiàng)D正確，因?yàn)?，所以事件A與事件C不是獨(dú)立事件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；故選：ACD.11.棱長(zhǎng)為2的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.面C.平面平面D.當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)槠矫?平面∥平面，所以到平面的距離等于，所以為定值，故A正確；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意可知，，則，設(shè)平面法向量為，則，可取，所以，且面，所以面，故B正確；對(duì)于C，由題，所以，,，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，所以，即，，令，則，，所以，所以平面與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三棱錐即為三棱錐，取線段的中點(diǎn)，連接，由題意可知，根據(jù)幾何體特征補(bǔ)成長(zhǎng)方體，為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則外接球的球心在線段的中點(diǎn)，,所以，所以外接球的體積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)表示擲出的點(diǎn)數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗由已知隨機(jī)變量X的取值有1,2,3,4,5,6，，，，，，，∴隨機(jī)變量X的分布列為：X123456P∴隨機(jī)變量X的期望，∴.故〖答案〗為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的一點(diǎn)，是圓上的兩點(diǎn)，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗圓圓心為，半徑，圓圓心為，半徑，因?yàn)槭菆A上的一點(diǎn)，，是圓上的兩點(diǎn)，可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離最短，并且、與圓相切（、為切點(diǎn)）時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)在線段與圓的交點(diǎn)，又，所以，則，所以，所以的最大值為．故〖答案〗為：．14.在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗記在底面內(nèi)的投影為，則底面，又、平面，故、，則，，又，則，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，所以，所以，設(shè)直線與直線的所成角為，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以點(diǎn)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知.（1）當(dāng)時(shí)，記的展開式中的系數(shù)為，求的值（2）當(dāng)?shù)恼归_式中含項(xiàng)的系數(shù)為12，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)最小時(shí)的值.解：（1）由題意.，，所以；（2）由已知，，所以的系數(shù)為，易知時(shí)，取得最小值.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在上，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.解：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因，所以，又，所以，所以，因?yàn)槊?，面，所以平?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可取，平面的法向量可取，所以，得，因?yàn)?，與同向的單位向量，所以點(diǎn)到直線的距離為.18.某小組為調(diào)查高二學(xué)生在寒假名著閱讀情況，隨機(jī)抽取了20名男生和20名女生，得到如下閱讀時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)：男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.（1）在抽取的40名高二學(xué)生中，閱讀時(shí)長(zhǎng)超過45小時(shí)的為“閱讀能手”，時(shí)長(zhǎng)低于15小時(shí)的為“閱讀后進(jìn)者”.為了培養(yǎng)“閱讀后進(jìn)者”的閱讀興趣，現(xiàn)從“閱讀能手”中挑選幾人，對(duì)“閱讀后進(jìn)者”進(jìn)行一對(duì)一指導(dǎo).求閱讀時(shí)長(zhǎng)最短的同學(xué)被閱讀時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的同學(xué)指導(dǎo)的概率；（2）時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)的為“閱讀愛好者”，用頻率估計(jì)概率.現(xiàn)從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取兩位男生、兩位女生交流心得，其中“閱讀愛好者”有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）由數(shù)據(jù)分析知“閱讀能手”有4人，“閱讀后進(jìn)者”有3人，我們把閱讀時(shí)長(zhǎng)為51、49、46、46小時(shí)的同學(xué)分別記為A、B、C、D；把閱讀時(shí)長(zhǎng)為10、11、12小時(shí)的同學(xué)分別記為甲、乙、丙.那么問題即為：從4名“閱讀能手”中隨機(jī)選3人一對(duì)一指導(dǎo)甲乙丙，求甲被A指導(dǎo)的概率.從4名“閱讀能手”中隨機(jī)選3人一對(duì)一指導(dǎo)甲乙丙，則共有種情況.記“甲被A指導(dǎo)”為事件E，若甲被A指導(dǎo)，那么只需從BCD中隨機(jī)選2人指導(dǎo)乙丙，則共有種情況.則.即閱讀時(shí)長(zhǎng)最短的同學(xué)被閱讀時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的同學(xué)指導(dǎo)的概率為.（2）由題意可知，隨機(jī)抽取一名男生為“閱讀愛好者”的概率為，隨機(jī)抽取一名女生為“閱讀愛好者”的概率為.記隨機(jī)抽取的兩名男生和兩名女生中“閱讀愛好者”分別有人，則~，~，.于是有的所有可能取值為0，1，2，3，4.從而；=；=；=；的分布列為：01234.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為