江蘇省南通市如東縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如東縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題正確的是（）A.單位向量都相等 B.任一向量與它的相反向量不相等C.平行向量不一定是共線向量 D.模為的向量與任意非零向量共線〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际?，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：平行向量一定是共線向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確.故選：D．2.若三角形中，，，則邊的值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗在三角形中，，，，由正弦定理得：，所以.故選：C.3.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得的面積為.故選：B.4.已知，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，可得，由正切的倍角公式可得．故選：D．5.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，則，所以.故選：A.6.已知，，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以，所?故選：A.7.已知中邊，若P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.8.在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，解得，因?yàn)?，由勾股定理逆定理得⊥，，則，因?yàn)?，，所以，，在上的投影向量為，故，令，則，令，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為（）A.已知，且與夾角為銳角，則B.點(diǎn)O為的內(nèi)心，且，則為等腰三角形；C.兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D.若非零向量滿足，則與的夾角是〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，與夾角為銳角，所以，則，當(dāng)與同向共線時(shí)，，則當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，所以為等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，，兩邊平方得，所以，即，則，所以，則與共線且反向，故C正確；對(duì)于D，，兩邊平方得，則，，，，，因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，則（）A.B.若，則C.若，則周長(zhǎng)的最大值為6D.若的取值范圍為〖答案〗BC〖解析〗由余弦定理得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，由余弦定理，得，所以有，B選項(xiàng)正確；若，，由余弦定理得，解得，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)的最大值為6，故C選項(xiàng)正確；若，，，由，得，因此的取值范圍為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.12.設(shè)為銳角，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉殇J角，由，得，.故〖答案〗為：.13.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則__________．〖答案〗〖解析〗在中，，則，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)均相等的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)，，記，若，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為__________．〖答案〗〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建系，如圖所示：設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，可得：，，，，設(shè)直線的方程為：，則有，解得，直線的方程為：，可設(shè)：，則有，即有：，，解得（負(fù)舍）.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，且與共線.（1）求的值；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值.解：（1），因?yàn)榕c共線，所以，解得.（2）由（1）知，所以，由與垂直，得，所以，解得.16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，因此，．?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)?，所以，因此．因?yàn)?，所以，因此，?7.已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且．（1）求角C的大?。唬?）D為AB中點(diǎn)，若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．解：（1），，由正弦定理得，，，.（2）依題意，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的周長(zhǎng)的最小值為6．18.已知.（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；（3）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以?（2）由，而，可得，即，所以，因?yàn)椋?，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為．（3）由（1）可知，令，因?yàn)?，所以，從而，則即為：在上恒成立，所以在在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若，．①求角；②求．（2）若，，求實(shí)數(shù)最小值．解：（1）①因?yàn)?，，又，所以，即．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕谟扇切蝺?nèi)角和性質(zhì)可知，的三個(gè)內(nèi)角均小于，結(jié)合題設(shè)易知點(diǎn)