江蘇省南通市如東縣2023-2024學年高一下學期期中學情檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如東縣2023-2024學年高一下學期期中學情檢測數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題正確的是（）A.單位向量都相等 B.任一向量與它的相反向量不相等C.平行向量不一定是共線向量 D.模為的向量與任意非零向量共線〖答案〗D〖解析〗對于A：單位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯誤；對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤；對于C：平行向量一定是共線向量，故C錯誤；對于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確.故選：D．2.若三角形中，，，則邊的值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗在三角形中，，，，由正弦定理得：，所以.故選：C.3.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得的面積為.故選：B.4.已知，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，可得，由正切的倍角公式可得．故選：D．5.如圖，在平行四邊形中，為的中點，與交于點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設，則，因為三點共線，所以，解得，則，所以.故選：A.6.已知，，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：A.7.已知中邊，若P為邊BC上的動點，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗設，則，，所以，因為，所以，所以.故選：B.8.在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，解得，因為，由勾股定理逆定理得⊥，，則，因為，，所以，，在上的投影向量為，故，令，則，令，因為，所以，故當時，，當時，，，故.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列等式成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.10.下列說法中錯誤的為（）A.已知，且與夾角為銳角，則B.點O為的內(nèi)心，且，則為等腰三角形；C.兩個非零向量，若，則與共線且反向D.若非零向量滿足，則與的夾角是〖答案〗AD〖解析〗對于A，，與夾角為銳角，所以，則，當與同向共線時，，則當與夾角為銳角時，且，所以，故A錯誤；對于B，，則，所以為等腰三角形，故B正確；對于C，，兩邊平方得，所以，即，則，所以，則與共線且反向，故C正確；對于D，，兩邊平方得，則，，，，，因為，所以，故D錯誤.故選：AD.11.已知三個內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，則（）A.B.若，則C.若，則周長的最大值為6D.若的取值范圍為〖答案〗BC〖解析〗由余弦定理得，A選項錯誤；若，則，由余弦定理，得，所以有，B選項正確；若，，由余弦定理得，解得，所以，解得，當且僅當時等號成立，則周長，所以周長的最大值為6，故C選項正確；若，，，由，得，因此的取值范圍為，D選項錯誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.12.設為銳角，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為為銳角，由，得，.故〖答案〗為：.13.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則__________．〖答案〗〖解析〗在中，，則，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，四個邊長均相等的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊上有10個不同的點，，記，若，則等邊三角形的邊長為__________．〖答案〗〖解析〗以為坐標原點，所在直線為軸建系，如圖所示：設等邊三角形邊長為，可得：，，，，設直線的方程為：，則有，解得，直線的方程為：，可設：，則有，即有：，，解得（負舍）.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，且與共線.（1）求的值；（2）若與垂直，求實數(shù)的值.解：（1），因為與共線，所以，解得.（2）由（1）知，所以，由與垂直，得，所以，解得.16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．17.已知在中，所對的邊分別為a，b，c，，且．（1）求角C的大小；（2）D為AB中點，若的面積等于，求的周長的最小值．解：（1），，由正弦定理得，，，.（2）依題意，即，所以，當且僅當時取等號，又由余弦定理得，，當且僅當時取等號，所以的周長的最小值為6．18.已知.（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；（3）若關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)，因為，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因為，所以，則，故當時，取最大值，最大值為．（3）由（1）可知，令，因為，所以，從而，則即為：在上恒成立，所以在在上恒成立，又，當且僅當時等號成立．所以，即實數(shù)a的取值范圍為.19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學家托里拆利給出了解答，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點O即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且設點為的費馬點．（1）若，．①求角；②求．（2）若，，求實數(shù)最小值．解：（1）①因為，，又，所以，即．因為，所以，因為，所以．②由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，的三個內(nèi)角均小于，結合題設易知點