遼寧省2024屆高三重點(diǎn)高中協(xié)作校聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省2024屆高三重點(diǎn)高中協(xié)作校聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗，若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即.故選：D.2.已知集合..若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合..，.故選：C3.下表為某地春節(jié)假期某日游客抽取的100人樣本的出行方式統(tǒng)計數(shù)據(jù)出行方式高鐵自駕飛機(jī)客車頻數(shù)27162829某實(shí)驗(yàn)點(diǎn)從這批游客中抽取25人，當(dāng)中選擇飛機(jī)出行的人數(shù)大約為（）A.8 B.7 C.6 D.4〖答案〗B〖解析〗由題意可知：每人被抽到乘飛機(jī)的可能性均為，所以選擇飛機(jī)出行的人數(shù)大約為.故選：B.4.在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋稍O(shè)，則，可得，其中，因?yàn)?，所?故選：A.5.數(shù)列中，，，，則的值為（）A. B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.7.某同學(xué)筆袋里有10支筆，其中8支黑色，2支紅色.被甲同學(xué)借走2支.已知甲借走的有一支是紅色，則另一支也是紅色的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗記“甲借走的有一支是紅色”為事件A，“甲借走的兩支都是紅色”為事件B，則，，所以所求的概率為.故選：D.8.已知是橢圓上的動點(diǎn)，若動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可設(shè)：，則，令，則，注意到，則，可知的圖象開口向上，對稱軸為，當(dāng)，即時，可知在內(nèi)的最小值為，則，整理得，解得，不合題意；當(dāng)，即時，可知在內(nèi)的最小值為，符合題意；綜上所述：.可得橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.二、選擇題9.已知，下列不等式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如滿足，但，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：例如滿足，但，即，故D錯誤；故選：AC.10.若的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)（項(xiàng)中是整數(shù)）可以是（）A.第2項(xiàng) B.第3項(xiàng) C.第4項(xiàng) D.第5項(xiàng)〖答案〗ACD〖解析〗由題意可知：的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)橹械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)為偶數(shù)，則，即，此時，令為整數(shù)，可得，即第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)為有理項(xiàng)，故C正確；當(dāng)為奇數(shù)，則或，即或，且，可得，此時，令為整數(shù)，可得，即第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第8項(xiàng)為有理項(xiàng)，故AD正確；故選：ACD.11.已知正四棱臺的各個頂點(diǎn)都在球的表面上，，，，是線段上一點(diǎn)，且，下列選項(xiàng)正確的（）A.當(dāng)時，過點(diǎn)作球的截面的最小面積B.當(dāng)時，多面體C.到平面距離是2D.與平面夾角正弦值是〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，圓心為，連接，，過作的垂線垂足為，過作的垂線垂足為，可得，,即，且正四棱臺的高,設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，可得，，故或，即或，解得,故，即為球心.易得，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則故，對于A，當(dāng)時，，故，故，過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)垂直截面時，截面面積最小，此時截面半徑為,最小面積，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故,故B正確；對于C，到平面距離即到平面的距離，易知垂直平面，故到平面的距離為，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，則令，解得.設(shè)與平面的夾角正弦值是，則，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題12.過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．〖答案〗或〖解析〗當(dāng)直線l的斜率不存在時，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線，此時圓心到直線的距離為1=r，此時直線與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，所以，即，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或，故〖答案〗為：或13.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，.設(shè)，則當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和________.〖答案〗〖解析〗由題意可得：，解得或，注意到，則，可得，則，當(dāng)時，則，即當(dāng)時，.故〖答案〗為：.14.若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個元素，且，稱為的一個“有序子集列”，若有5個元素，則有多少個“有序子集列”________.〖答案〗960〖解析〗因?yàn)?，，均只有一個元素，且，作出韋恩圖，則從的5個元素中選擇3個元素均分給，，三個位置，共有種不同排法，剩余2個元素，每個均有4個位置可以排，共有有種不同排法；所以“有序子集列”共有個.故〖答案〗為：960.四、解答題15.在中，角所對的邊分別為，，，已知，.（1）求的值；（2）若，求的面積.解：（1）由題意可知：，可得，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所?（2）因?yàn)?，即，由余弦定理可得，即，整理得，解得或，若，可得的面積；若，可得的面積；所以的面積為或.16.如圖，已知多面體的底面為正方形，四邊形是平行四邊形，，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若是等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：設(shè)，連接，因?yàn)闉檎叫?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則∥，且平面，平面，所以∥平面，由題意可知：四邊形是平行四邊形，∥，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面.（2）解：由題意可知：，且，平面，可得平面，取的中點(diǎn)，連接，可知分別為的中點(diǎn)，可得∥，所以平面，由平面，可得，又因?yàn)槭堑冗吶切?，可得，且，平面，可得平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，可得，且，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)，（1）求的最小值；（2）證明：.（1）解：令，由可知，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以的最小值為1.（2）證明：由（1）可知：，即，又因?yàn)?，則，可得，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，注意到，則，所以.18.（1）利用雙曲線定義證明：方程表示的曲線是焦點(diǎn)在直線上的雙曲線，記為曲線；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，在曲線上，且滿足，求方程；（3）點(diǎn)在上，過點(diǎn)的直線與的漸近線交于，兩點(diǎn)，且滿足，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.（1）證明：設(shè)，顯然直線上，則，同理可得，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則，，可得；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，可得，則，，可得；綜上所述：，所以方程表示的曲線是焦點(diǎn)在直線上的雙曲線；（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，則，又因?yàn)椋傻?，所以方程為；?）解：令，可得，即曲線的漸近線為，由題意可知：直線的斜率可能不存在，但不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，解得，即，同理可得：，因?yàn)椋芍獮榫€段的中點(diǎn)，則，即，又因?yàn)樵谇€上，則，整理得，且，即，可得，注意到直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的面積.19.某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目，某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物，統(tǒng)計其中種的數(shù)目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個試驗(yàn)共20次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.（1）求的分布列；（2）記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差