遼寧省教研聯(lián)盟2024屆高三調(diào)研測(cè)試（二模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省教研聯(lián)盟2024屆高三調(diào)研測(cè)試（二模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，，所以，故，?所以,所以.故選：C.2.設(shè)，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由復(fù)數(shù)，可得.故選：A.3.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（）A.366 B.422 C.450 D.600〖答案〗C〖解析〗由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為，可得該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以此數(shù)列的第30項(xiàng)為.故選：C.4.有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)工作，現(xiàn)需將四人隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記甲、乙在同一組為事件，將四人隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為，其中甲、乙在同一組包含基本事件個(gè)數(shù)為，所以甲、乙在同一組的概率．故選：A．5.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.6.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的圖象，如圖，由圖象可知，，所以.故選：D7.已知的外接圓半徑為2，且內(nèi)角滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，得，即，則，由，解得，由正弦定理知.故選：D.8.已知，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，即，易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為.故選：D二、選擇題9.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.的定義域?yàn)?B.的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)椋瑒t，解得，所以的定義域?yàn)?，故A正確；因?yàn)?，即為奇函?shù)，所以的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ACD.10.設(shè)，為橢圓：兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，對(duì)于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對(duì)于BCD，，又因?yàn)?，解得：，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；從而，故D正確.故選:ABD．11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，M分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，則（）A.平面EMN截正方體得到的截面多邊形是矩形B.平面平面C.存在，使得平面平面D.當(dāng)時(shí)，平面EMN截正方體得到的截面多邊形的面積為〖答案〗ABC〖解析〗如圖，連接，，，則，由正方體的性質(zhì)可得點(diǎn)E是側(cè)面的中心，點(diǎn)M是正方體的中心，所以連接EM并延長(zhǎng)交側(cè)面于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是側(cè)面的中心，且．設(shè)平面EPN交于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，連接NF，GH，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，．因?yàn)椋矫鍭BCD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，易知，所以，所以平面EMN截正方體得到的截面多邊形NFGH是矩形，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)M是正方體的中心，所以，M，B三點(diǎn)共線，所以平面即為平面，因?yàn)?，，，AB，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)重合，平面EMN即為平面，由B選項(xiàng)可知平面平面，即平面平面EMN，C正確；當(dāng)時(shí)，，則，又，，所以截面多邊形NFGH的面積為，D錯(cuò)誤．故選:ABC．三、填空題12.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________．〖答案〗4〖解析〗設(shè)，由，得，所以，解得．故〖答案〗為：4.13.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，令，則數(shù)列的前121項(xiàng)和為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，即，即，當(dāng)時(shí)，，可得，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)的前121項(xiàng)和為.故〖答案〗為：.14.某運(yùn)動(dòng)員在亞運(yùn)會(huì)田徑比賽中準(zhǔn)備參加100米、200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往成績(jī)分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為，200米比賽未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中獲得了獎(jiǎng)牌，則他在200米比賽中也獲得獎(jiǎng)牌的概率為_(kāi)______________.〖答案〗〖解析〗設(shè)在200米比賽中獲獎(jiǎng)為事件，在100米比賽中獲獎(jiǎng)為事件，則,所以，則,所以該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中獲獎(jiǎng)，在200米比賽中也獲獎(jiǎng)的概率是.故〖答案〗為：.四、解答題15.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.解：（1）因?yàn)?，則，，，由為等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以且，所以，則，所以，則.（2）因?yàn)?，則，由（1）可知，則，由可得，解得，且，所以n的最大值為.16.某大型體育賽事首日火炬?zhèn)鬟f共有106名火炬手參與.（1）組委會(huì)從火炬手中隨機(jī)抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計(jì)滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計(jì)20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；（2）在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽，某電視臺(tái)隨機(jī)選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請(qǐng)問(wèn)這位火炬手是男性的概率為多少？（1）解：零假設(shè)為：全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒(méi)有關(guān)聯(lián)，根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，所以根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，所以可以認(rèn)定為成立，即認(rèn)為全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲沒(méi)有關(guān)聯(lián).（2）解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手時(shí)男性的概率約為.17.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，，G為線段PD中點(diǎn)，，O為AD中點(diǎn).（1）求證：平面平面ABCD；（2）M為線段PA上一點(diǎn)，且，求平面BCM與平面POC所成角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則，，又，所以，設(shè)，又，，所以，因?yàn)?，所以，所以，又在中，，而在中，，所以為直角三角形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：連接，因?yàn)?，所以，又，所以平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，所以，且易知平面的一個(gè)法向量為，則，則，所以平面BCM與平面POC所成角的余弦值為0.18.彗星是太陽(yáng)系大家庭里特殊的一族成員，它們以其明亮的尾巴和美麗的外觀而聞名，它的運(yùn)行軌道和行星軌道很不相同，一般為極扁的橢圓形、雙曲線或拋物線.它們可以接近太陽(yáng)，但在靠近太陽(yáng)時(shí)，由于木星、土星等行星引力的微繞造成了軌道參數(shù)的偏差，使得它軌道的離心率由小于1變?yōu)榇笥诨虻扔?，這使得少數(shù)彗星會(huì)出現(xiàn)“逃逸"現(xiàn)象，終生只能接近太陽(yáng)一次，永不復(fù)返.通過(guò)演示，現(xiàn)有一顆彗星已經(jīng)“逃逸”為以太陽(yáng)為其中一個(gè)焦點(diǎn)離心率為的運(yùn)行軌道，且慧星距離太陽(yáng)的最近距離為.（1）求彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，過(guò)，作雙曲線的切線，，若點(diǎn)P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作雙曲線的切線，交實(shí)軸于點(diǎn)Q，記直線與交于點(diǎn)M，直線交于點(diǎn)N.求證：M，N，Q三點(diǎn)共線.（1）解：由題意知，彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線，不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在上，設(shè)其方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，可得，即，又因?yàn)榛坌蔷嚯x太陽(yáng)的最近距離為，可得，解得，可得，所以彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由雙曲線，可得，則，所以，即切線的斜率為，則切線方程為且，可得，令，可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由過(guò)，可得切線，，因?yàn)椋缘姆匠虨?，的方程為，?lián)立方程組，解得，即，再聯(lián)立方程組，解得，即，則，且，所以，所以三點(diǎn)共線..19.已知函數(shù)，（，）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）