《21.3.3 實際問題與一元二次方程-圖形面積問題》分層練習(xí)（解析版）

21.3.3實際問題與一元二次方程--圖形面積問題基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲等寬的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為cm，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】依題意，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則(80+2x)(50+2x)=5400，整理得出：故答案為：B.【分析】抓住已知條件，是在矩形風(fēng)景畫的四周鑲等寬的金色紙邊，根據(jù)整個掛圖的面積=5400，列方程，化簡方程即可得出答案。2．如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為，則下面所列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：由題意得，(32?2x)(20?x)=570【分析】將六塊草坪拼為一塊可得一個矩形，該矩形面積為六塊草坪的面積和570m2。由圖易得新矩形的長為(32?2x)m,寬為（20-x）m，所以可得方程(32?2x)(20?x)=5703．王叔叔從市場上買了一塊長80cm，寬70cm的矩形鐵皮，準(zhǔn)備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長xcm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000cm2的無蓋長方形工具箱，根據(jù)題意列方程為（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000【答案】C【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：由題意可得，（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，故選C．【分析】根據(jù)題意可知裁剪后的底面的長為（80﹣2x）cm，寬為（70﹣2x）cm，從而可以列出相應(yīng)的方程，本題得以解決．4．公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，剩余空地的面積為18m2，求原正方形空地的邊長．設(shè)原正方形的空地的邊長為xm，則可列方程為（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0【答案】C【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)原正方形的邊長為xm，依題意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故選C．【分析】可設(shè)原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x﹣1）m，寬為（x﹣2）m．根據(jù)長方形的面積公式方程可列出．5．某廣場綠化工程中有一塊長2千米，寬1千米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間既周邊留有寬度相等的人行通道（如圖），并在這些人行通道鋪上瓷磚，要求鋪瓷磚的面積是矩形空地面積的，設(shè)人行通道的寬度為x千米，則下列方程正確的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2【答案】A【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)人行通道的寬度為x千米，則矩形綠地的長為：（2﹣3x），寬為（1﹣2x），由題意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，故答案為：A．【分析】設(shè)人行通道的寬度為x千米，依據(jù)題意可以得出矩形綠地的長為：（2﹣3x），寬為（1﹣2x），從而得出方程解之即可得出答案.6．如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴(kuò)大了一倍，則小圓形場地的半徑為（）A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m【答案】D【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)小圓的半徑為xm，則大圓的半徑為（x+5）m，根據(jù)題意得：π（x+5）2=2πx2，解得，x=5+5或x=5﹣5（不合題意，舍去）．故選D．【分析】根據(jù)等量關(guān)系“大圓的面積=2×小圓的面積”可以列出方程．7．如圖，矩形ABCD是由三個矩形拼接成的．如果AB=8，陰影部分的面積是24，另外兩個小矩形全等，那么小矩形的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)小矩形的長為x，則小矩形的寬為8﹣x，根據(jù)題意得：x[x﹣（8﹣x）]=24，解得：x=6或x=﹣2（舍去），故選B．【分析】設(shè)小矩形的長為x，則小矩形的寬為8﹣x，然后表示出陰影部分的寬，從而根據(jù)其面積列出方程求解即可．二、填空題：8．如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，則道路的寬為．【答案】2m【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)道路寬為x米（32-x）(20-x)=540解得：x1=2，x2=50（不合題意，舍去）∴x=2答：設(shè)道路寬為2米【分析】設(shè)道路寬為x米，由平移法把草坪面積轉(zhuǎn)化為矩形，根據(jù)矩形面積=540列方程求解即可。9．如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為532m2，設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為xm，根據(jù)條件，可列出方程：．【答案】x2﹣35x+34=0【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為xm，：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．【分析】方法一、根據(jù)矩形的面積以及平行四邊形的面積結(jié)合種植花草的面積為532m2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程；

方法二、采用平移法，得出等量關(guān)系：種植花草的面積=（30-2x）（20-x），列方程即可。10．已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程：．【答案】（x+1）2=25【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：（x+1）2﹣1=24，即：（x+1）2=25．故答案為：（x+1）2=25．【分析】此圖形的面積等于兩個正方形的面積的差，據(jù)此可以列出方程．11．如圖，某廣場一角的矩形花草區(qū)，其長為40m，寬為26m，其間有三條等寬的路，一條直路，兩條曲路，路以外的地方全部種上花草，要使花草的面積為864m2，求路的寬度為m．【答案】2【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)路的寬度是xm．根據(jù)題意，得（40﹣2x）（26﹣x）=864，x2﹣46x+88=0，（x﹣2）（x﹣44）=0，x=2或x=44（不合題意，應(yīng)舍去）．答：路的寬度是2m．【分析】設(shè)路的寬度是xm．把兩條曲路移到矩形花草區(qū)的兩邊，則剩下的部分是一個矩形，根據(jù)矩形的面積公式，即可列方程求解．12．如圖，利用兩面夾角為135°且足夠長的墻，圍成梯形圍欄ABCD，∠C＝90°，新建墻BCD總長為15米，則當(dāng)CD＝米時，梯形圍欄的面積為36平方米．

【答案】4或6【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】如圖，連接DE，過點A作AE⊥BC于E，

則四邊形ADCE為矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，

則∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，

在直角△CDE中，

又∵∠AEB=90°，

∴∠B=45°，

∴DC=AE=BE=x，

∴AD=CE=15-2x，

∴梯形ABCD面積S=（AD+BC）?CD=（15-2x+15-x）?x=36

解得:x1=4，x2=6

【分析】過點A作AE⊥BC于E，則四邊形ADCE為矩形，得出DC=AE=BE=x，再證明△ABE是等腰直角三角形，得出AD=CE=15-2x，然后根據(jù)梯形的面積公式即可得到一元二次方程，求解即可.三、解答題：13．小明想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向，裁出一塊面積為360cm2的長方形紙片。使它的長寬之比為4：3，他不知道能否裁得出來，聰明的你幫他想想。他能裁得出來嗎？(通過計算說明)【答案】解：設(shè)長方形紙片的長為4xcm，則寬為3xcm，依題意得4x·3x=360，即x2=30，∴x=∴長方形紙片的長為4cm?！哒叫渭埰拿娣e為400cm2，∴邊長為=20(cm)∵4>20，∴長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長故不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【分析】設(shè)長方形紙片的長為4xcm，寬為3xcm，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解，即可求出長方形的長，再根據(jù)正方形的面積，求出正方形的邊長，得出長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長，即可求解.14．如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【答案】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得化簡，得，解得：當(dāng)時，（舍去），當(dāng)時，，答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m?！局R點】一元二次方程的應(yīng)用；一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題【解析】【分析】根據(jù)題意，可以設(shè)出未知量，利用未知量x表示另外相關(guān)的量，根據(jù)題意即可得到關(guān)于x的不等式，根據(jù)實際情況得到x的值即可得到答案。15．MN是一面長10m的墻，用長24m的籬笆，圍成一個一面是墻,中間隔著一道籬笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的設(shè)計面積為45m2，花圃的寬應(yīng)當(dāng)是多少？【答案】解：設(shè)花圃的寬為xm,那么它的長是根據(jù)題意得方程即解這個方程，得，根據(jù)題意，舍去所以，花圃的寬是5m【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【分析】根據(jù)圖形可設(shè)花圃的寬為xm,那么它的長是(24?3x)m，由題意列方程x(24?3x)=45，解方程得=3,=5,當(dāng)=3時，花圃的長為24-33=1510，所以=3不符合實際意義，所以，花圃的寬是5m。16．如圖所示，某工人師傅要在一個面積為15m2的矩形鋼板上裁剪下兩個相鄰的正方形鋼板當(dāng)工作臺的桌面，且要使大正方形的邊長比小正方形的邊長大1m．求裁剪后剩下的陰影部分的面積．【答案】解：設(shè)大正方形的邊長xm，則小正方形的邊長為（x﹣1）m，根據(jù)題意得：x（2x﹣1）=15，解得：x1=3，x2=（不合題意舍去），小正方形的邊長為（x﹣1）=3﹣1=2，裁剪后剩下的陰影部分的面積=15﹣22﹣32=2（m2），答：裁剪后剩下的陰影部分的面積2m2【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【分析】設(shè)大正方形的邊長為x米，表示出小正方形的邊長，根據(jù)總面積為15平方米列出方程求解即可．提升篇1．如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè)a=1，則b=（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：依題意得（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，∴b2﹣b﹣1=0，∴b=，而b不能為負(fù)，∴b=．故選B．【分析】根據(jù)左圖可以知道圖形是一個正方形，邊長為（a+b），右圖是一個長方形，長寬分別為（b+a+b）、b，并且它們的面積相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到關(guān)于b的方程，解方程即可求出b．2．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個三角形重疊部分的面積為1cm2，則它移動的距離AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【答案】B【知識點】一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)AC交A′B′于H，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形設(shè)AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=2﹣x∴x?（2﹣x）=1∴x=1即AA′=1cm．故選B．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設(shè)AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=2﹣x，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解．3．如圖的六邊形是由甲、乙兩個長方形和丙、丁兩個等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的一股長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長為何？（）A． B． C．2﹣ D．4﹣2【答案】D【知識點】公式法解一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)丁的一股長為a，且a＜2，∵甲面積+乙面積=丙面積+丁面積，∴2a+2a=×22+×a2，∴4a=2+a2，∴a2﹣8a+4=0，∴a===4±2，∵4+2＞2，不合題意舍，4﹣2＜2，符合題意，∴a=4﹣2．故答案為：D【分析】由題意可設(shè)設(shè)丁的一股長為a，且a＜2，設(shè)丁的一股長為a，且a＜2，根據(jù)題意可知：甲面積+乙面積=丙面積+丁面積，列出關(guān)于a的方程，解方程即可求解。4．如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=8cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到達(dá)B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動．當(dāng)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．(若一點到達(dá)終點，另一點也隨之停止運動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s【答案】D【解析】【分析】設(shè)當(dāng)P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)當(dāng)P、Q兩點從出發(fā)開始到xs時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根據(jù)題意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：當(dāng)P、Q兩點從出發(fā)開始到2s或s時，點P和點Q的距離是10cm．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．當(dāng)t為（

）秒時，△PCQ的面積是△ABC面積的？A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不對【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得的長，進(jìn)而求得，根據(jù)的面積是面積的，列出方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：，，∵一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運動，∴，∵點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，∴AQ=2，，，的面積是面積的，，整理得，解得，當(dāng)s時，的面積是面積的．故選擇B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用動點問題，用代數(shù)式表示線段，三角形面積，根據(jù)三角形面積列出方程是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形中，，點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，點到達(dá)終點后，、兩點同時停止運動，則__秒時，的面積是．【答案】2或3##3或2【解析】【分析】設(shè)t秒后的面積是，則，，列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)運動時間為秒，則，，依題意得：，整理得：，解得：，．或3秒時，的面積是．故答案為：2或3．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒，有一點到終點運動即停止，當(dāng)t＝___時，S△DPQ＝28cm2．【答案】2或4【解析】【分析】由題意可知當(dāng)運動時間為t秒時，則AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，根據(jù)S△DPQ=28cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)運動時間為t秒時，則AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，依題意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t?（6-t）=28，整理得：t2-6t+8=0，解得：t1=2，t2=4．故答案為：2或4．【點睛】本題考查一元二次方程的幾何應(yīng)用與矩形的性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點B移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿CD以3cm/s的速度向終點D移動，其中一個點到達(dá)終點，另一個點也停止運動．經(jīng)過_________秒P、Q兩點之間的距離是5cm．【答案】或【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過x秒P、Q兩點之間的距離是5cm，如圖，過P點作，垂足為M點，得到DQ的長，并根據(jù)四邊形ABCD為矩形推出PM和QM的長，利用勾股定理列式解答即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒P、Q兩點之間的距離是5cm，如圖，過P點作，垂足為M點，，，四邊形ABCD為矩形，在直角三角形PQM中，經(jīng)過或秒P、Q兩點之間的距離是5cm．故答案為：或．【點睛】本題主要考查矩形的動點問題，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定難度，根據(jù)題意做出合適的輔助線，利用勾股定理解答是關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當(dāng)P運動到B點時P、Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為ts．(1)BP＝cm；BQ＝