2025屆湖南省永州市祁陽縣第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆湖南省永州市祁陽縣第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，則a2019的值為（）A．﹣2 B． C． D．2．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元3．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為：V＝×（底面的圓周長的平方×高）．則由此可推得圓周率的取值為（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.34．袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“和”、“諧”、“校”、“園”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“和”、“諧”兩個字都摸到就停止摸球，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用，，，代表“和”、“諧”、“校”、“園”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下組隨機數(shù)：由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．5．過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．6．已知等差數(shù)列中，，.若公差為某一自然數(shù),則n的所有可能取值為()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,707．若集合A={x|2≤x<4},?B={x|x>3}A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}8．為了得到函數(shù)，(x∈R)的圖象，只需將(x∈R)的圖象上所有的點（）.A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位9．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是（）A． B．0 C．1 D．210．若為圓的弦的中點，則直線的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.12．在中，，則_____________13．與終邊相同的最小正角是______.14．已知數(shù)列中，且當時，則數(shù)列的前項和=__________．15．數(shù)列中，，則____________．16．已知，，，，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過點，且與直線相切.（1）求過點P且被圓C截得的弦長等于4的直線方程；（2）過點P作兩條相異的直線分別與圓C交于A，B，若直線PA，PB的傾斜角互補，試判斷直線AB與OP的位置關(guān)系（O為坐標原點），并證明.18．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點．求證:平面⊥平面.19．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a20．若，解關(guān)于的不等式.21．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大??；(2)求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)遞推公式，算出即可觀察出數(shù)列的周期為3，根據(jù)周期即可得結(jié)果．【詳解】解：由已知得，，，

，…，，

所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故，

故選：B．【點睛】本題考查遞推數(shù)列的直接應(yīng)用，難度較易．2、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結(jié)余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．3、A【解析】試題分析：由題意知圓柱體積×（底面的圓周長的平方×高）,化簡得：，故選A．考點：圓柱的體積公式．4、B【解析】

隨機模擬產(chǎn)生了18組隨機數(shù)，其中第三次就停止摸球的隨機數(shù)有4個，由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率．【詳解】隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：343432341342234142243331112342241244431233214344142134其中第三次就停止摸球的隨機數(shù)有：142，112，241，142，共4個，由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為p．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【點睛】本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析：由等差數(shù)列的通項公式得，公差，所以，可能為，的所有可能取值為選.考點：1.等差數(shù)列及其通項公式；2.數(shù)的整除性.7、B【解析】

根據(jù)交集定義計算．【詳解】由題意A∩B={x|3<x<4}．故選B．【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點向左平移個單位.故選D【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記左加右減的原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可得解.【詳解】作出可行域如圖，設(shè)，聯(lián)立，則，，當直線經(jīng)過點時，截距取得最小值，取得最大值.故選：C【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

圓的圓心為O，求出圓心坐標，利用垂徑定理，可以得到，求出直線的斜率，利用兩直線垂直斜率關(guān)系可以求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)圓的圓心為O，坐標為（1，0），根據(jù)圓的垂徑定理可知：，因為，所以，因此直線的方程為，故本題選D.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、兩直線垂直斜率的關(guān)系，考查了斜率公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【點睛】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運用．利用邊長關(guān)系建立等式，找到公比是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．12、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結(jié)果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先利用累乘法計算，再通過裂項求和計算.【詳解】，數(shù)列的前項和故答案為：【點睛】本題考查了累乘法，裂項求和，屬于數(shù)列的常考題型.15、1【解析】

利用極限運算法則求解即可【詳解】故答案為：1【點睛】本題考查數(shù)列的極限，是基礎(chǔ)題16、【解析】

先求出的平方值，再開方得到所求結(jié)果．【詳解】【點睛】本題考查求解復(fù)合向量模長的問題，求解此類問題的關(guān)鍵是先求模長的平方，將其轉(zhuǎn)化為已知向量運算的問題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）平行【解析】

（1）設(shè)出圓的圓心為，半徑為，可得圓的標準方程，根據(jù)題意可得，解出即可得出圓的方程，討論過點P的直線斜率存在與否，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補，分類討論兩直線的斜率存在與否，當斜率均存在時，則直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，分別與圓C聯(lián)立可得，利用斜率的計算公式與作比較即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)圓C的圓心為，半徑為，則圓C，由圓C經(jīng)過點，且與直線相切，則，解得，故圓C的方程為：，所以點在圓上，過點P且被圓C截得的弦長等于4的直線，當直線的斜率不存在時，直線為：，滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，直線方程為：，故，解得，故直線方程為：.綜上所述：所求直線的方程：或.（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補，且直線PA，PB的斜率均存在，設(shè)兩直線的傾斜角為和，，，因為，由正切的性質(zhì)，則，不妨設(shè)直線的斜率為，則PB的斜率為，即：，則：，由，得，點的橫坐標為一定是該方程的解，故可得，同理，，，,直線AB與OP平行.【點睛】本題考查了圓的標準方程，已知弦長求直線方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系以及學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.18、證明見解析【解析】

先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡單證明.19、(1)-π4【解析】

（1）兩向量垂直，坐標關(guān)系滿足x1x2+y1y2=0，由已知可得關(guān)于sin【詳解】（1）∵a⊥b，∴sinθ+cosθ=0（2）|a+b|=(1+sinθ)2+【點睛】本題考查向量的坐標運算，兩向量垂直，求兩向量之和的模的最大值，當計算到最大值為3+22時，由平方和公式還可以繼續(xù)化簡，即3+220、當0<a<1時，原不等式的解集為，當a<0時，原不等式的解集為；當a=0時，原不等式的解集為?.【解析】

試題分析：（1），利用，可得，分三種情況對討論的范圍：0<a<1，a<0，a=0，分別求得相應(yīng)情況下的解集即可.試題解析：不等式>1可化為>0.因為a<1，所以a-1<0，故原不等式可化為<0.故當0<a<1時，原不等式的解集為，當a<0時，原不等式的解集為，當a=0時，原不等式的解集為?.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式將化簡為，