甘肅省天水地區(qū)2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

甘肅省天水地區(qū)2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式是A． B． C． D．2．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知扇形的圓心角，弧長為，則該扇形的面積為（）A． B． C．6 D．124．如圖，設是正六邊形的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．5．已知是等差數(shù)列，且，，則（）A．-5 B．-11 C．-12 D．36．如圖，是圓的直徑，點是半圓弧的兩個三等分點，，，則（）A． B． C． D．7．某學校美術室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機抽取2幅進行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的概率為（）A． B． C． D．8．如圖，在中，，用向量，表示，正確的是A． B．C． D．9．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.610．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）12．已知函數(shù)，，則的最大值是__________．13．若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_________．14．已知數(shù)列的通項公式是，若將數(shù)列中的項從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.15．實數(shù)2和8的等比中項是__________．16．若，其中是第二象限角，則____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為銳角，.（1）求的值；（2）求的值．18．已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請求出的取值范圍；若不存在請說明理由．19．如圖，是邊長為2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.20．設向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求在方向上的投影.21．已知數(shù)列的前項和，且；（1）求它的通項.（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用三角函數(shù)圖像平移原則，結(jié)合誘導公式，即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到．故選B．【點睛】本題考查三角圖像變換，誘導公式，熟記變換原則，準確計算是關鍵，是基礎題.2、D【解析】

令，得，再令，得出，并構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間有交點，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】令，得，，令，則，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，由于，，，所以，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間有交點，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，在求解含參函數(shù)零點的問題時，若函數(shù)中只含有單一參數(shù)，可以采用參變量分離法轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，難點在于利用換元法將函數(shù)解析式化簡，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．3、A【解析】

可先由弧長計算出半徑，再計算面積．【詳解】設扇形半徑為，則，，．故選：A．【點睛】本題考查扇形面積公式，考查扇形弧長公式，掌握扇形的弧長和面積公式是解題基礎．4、D【解析】

容易看出，四邊形是平行四邊形，從而得出.【詳解】根據(jù)圖形看出，四邊形是平行四邊形故選：【點睛】本題考查相等向量概念辨析，屬于基礎題.5、B【解析】

由是等差數(shù)列，求得，則可求【詳解】∵是等差數(shù)列，設,∴故故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算能力，是基礎題6、A【解析】

連接，證得，結(jié)合向量減法運算，求得.【詳解】連接，由于是半圓弧的兩個三等分點，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量相等的概念，考查向量減法的運算，屬于基礎題.7、B【解析】

算出基本事件的總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率的計算公式可求概率.【詳解】設為“恰好抽到2幅不同種類”某學校美術室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機抽取2幅進行展覽，基本事件總數(shù)，恰好抽到2幅不同種類包含的基本事件個數(shù)，則恰好抽到2幅不同種類的概率為．故選B．【點睛】計算出所有的基本事件的總數(shù)及隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率計算即可.計數(shù)時應該利用排列組合的方法.8、C【解析】

由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.【詳解】因為，故選C.【點睛】本題考查向量的加法和數(shù)乘運算的幾何意義，考查平面向量基本定理在圖形中的應用.9、B【解析】AB＝1000×(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航線離山頂h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．選B.10、D【解析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進而可判斷出結(jié)果.【詳解】因為，由正弦定理可得，所以，即，因為角為三角形內(nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【點睛】本題主要考查判定三角形的形狀問題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．12、3【解析】函數(shù)在上為減函數(shù)，故最大值為.13、【解析】記甲、乙兩人相鄰而站為事件A甲、乙、丙三人隨機地站成一排的所有排法有=6，則甲、乙兩人相鄰而站的戰(zhàn)法有=4種站法∴=14、1【解析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個數(shù)，最后一個數(shù)為4；第二組有4＝2×2個數(shù)，最后一個數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個數(shù)，最后一個數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個數(shù)，其中最后一個數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當n＝31時，第31組的最后一個數(shù)為2×31×1＝1984，∴當n＝1時，第1組的最后一個數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【點睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應用，從有限項得到一般規(guī)律是解決問題的關鍵點，屬于中檔題．15、【解析】所求的等比中項為：.16、【解析】

首先要用誘導公式得到角的正弦值，根據(jù)角是第二象限的角得到角的余弦值，再用誘導公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：，又是第二象限角故，故答案為．【點睛】本題考查同角的三角函數(shù)的關系，本題解題的關鍵是誘導公式的應用，熟練應用誘導公式是解決三角函數(shù)問題的必備技能，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由二倍角公式，結(jié)合題意，可直接求出結(jié)果；（2）先由題意求出，，根據(jù)，由兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為為銳角，所以，，又，所以，，所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問題，熟記二倍角公式，以及兩角差的正弦公式即可，屬于常考題型.18、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的關系，求解；倒序相加求。（2）先用錯位相減求，分離參數(shù)，使得對于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對于一切的恒成立，即，令，則當且僅當時等號成立，故所以為所求.點睛：1、，一定要注意，當時要驗證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯位相減。3、數(shù)列中的恒成立問題與函數(shù)中的恒成立問題解法一致。19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取的中點，連接，由平面平面，得平面，再證即可證明（2）證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理從而進行證明．【詳解】（1）取的中點，連接，因為，且，.所以，.又因為平面平面，所以平面，又平面，所以又因為平面，平面，所以平面.（2）連接，由（1）知，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又是正三角形，為的中點，∴，因為平面平面，所以平面，所以平面.又平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.【點睛】本題考查了線面平行的證明，線面垂直，面面垂直的判定定理，考查空間想象和推理能力，熟記定理是關鍵，是一道中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）計算出的坐標，然后利用共線向量的坐標表示列出等式求出實數(shù)的值；（2）求出和，從而可得出在方向上的投影為.【詳解】（1），，，，，，解得；（2），，在方向上的投影.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查共線向量的坐標運算以及投影的計算，在解題時要弄清楚這些知識點的定義以及坐標運算律，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）【解