第12講 冪函數(shù) 2024-2025年新高一暑假自學課(教師版)_第1頁
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第12講冪函數(shù)1.理解冪函數(shù)的概念;2.會畫常見冪函數(shù)的圖象,并理解它們的圖象變化規(guī)律和性質(zhì);3.能解決與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)問題.1冪函數(shù)的定義一般地,形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,注(1)注意冪函數(shù)中xα的系數(shù)是1,底數(shù)是變量x,指數(shù)α2正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子,根號外的n作為分母)(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義:a?(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3冪函數(shù)圖像及其性質(zhì)(1)冪函數(shù)y=x,y=x(2)冪函數(shù)y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1(3)性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);②α>0時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在[0,+∞)上是增函數(shù).特別地,當α>1時,冪函數(shù)變化快,圖象下凹;當0<α<1時,冪函數(shù)變化慢,圖象上凸.③α<0時,冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當x從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸,當x趨于+∞時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

【題型一】冪函數(shù)的概念相關知識點講解一般地,形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,注(1)注意冪函數(shù)中xα的系數(shù)是1,底數(shù)是變量x,指數(shù)α【典題1】下列函數(shù)中冪函數(shù)的是(

)A.y=3x B.y=x2+2 C.y=【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義直接得出結果.【詳解】A:函數(shù)y=3x為一次函數(shù),故A不符合題意;B:函數(shù)y=xC:函數(shù)y=(x+1)D:函數(shù)y=x故選:D【典題2】若冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過點2,2,則A.2 B.2 C.4 D.1【答案】C【分析】利用已知條件求得冪函數(shù)解析式,然后代入求解即可.【詳解】設冪函數(shù)y=fx=xα,因為fx的圖象經(jīng)過點2,所以fx=x故選:C變式練習1.(多選)下列哪些函數(shù)是冪函數(shù)(

)A.y=2x B.y=x?2 C.【答案】BD【分析】由冪函數(shù)的定義對比選項即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的標準形式y(tǒng)=xα,對比選項可知y=x故選:BD.2.已知fx=k2+2k+2A.3 B.23 C.6 D.【答案】D【分析】由冪函數(shù)的定義得出結果即可.【詳解】由題知k2+2k+2=1,解得k=?1,且m?3=0,解得故選:D3.若函數(shù)fx是冪函數(shù),且滿足f8?f12【答案】16【分析】設fx=【詳解】設fx=xa,由f8故fx=x故答案為:16【題型二】冪函數(shù)的定義域相關知識點講解正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子,根號外的n作為分母)(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義:a?(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【典題1】下列函數(shù)中定義域為R的是(

)A.y=x12B.y=x54【答案】C【分析】將分數(shù)指數(shù)冪化為根式,再根據(jù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到答案.【詳解】y=x12y=x54y=x23y=x?1故選:C.變式練習1.函數(shù)fx=xA.?∞,+∞C.0,+∞ D.【答案】D【分析】化簡函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關于x的不等式組,由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】因為fx=x?1+故函數(shù)fx的定義域為0,+故選:D.2.給出5個冪函數(shù):①y=x?2;②y=x45;③y=x14;④y=A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域求得正確答案.【詳解】①y=x?2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x?4所以符合的是②④.故選:C【題型三】冪函數(shù)的圖象的判斷相關知識點講解冪函數(shù)y=x,y=x【典題1】已知函數(shù)fx=x?2,x<0,A.

B.

C.

D.

【答案】C【分析】結合冪函數(shù)知識,畫出y=fx的圖象,將該圖象沿x【詳解】結合題意可得:當x<0時,易知fx=x當x≥0時,易知fx=x故函數(shù)fx要得到y(tǒng)=?fx,只需將y=fx的圖象沿故選:C.變式練習1.(2024·四川南充·二模)已知函數(shù)fx的圖象如圖所示,則fx的解析式可能是(A.y=x12 B.y=x?1【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A:函數(shù)y=x12對于B:函數(shù)y=x?1對于C:函數(shù)y=x3的定義域為R,又y=x3為奇函數(shù),又對于D:函數(shù)y=x13=3x的定義域為R,又故選:D2.冪函數(shù)y=x2,y=x?1,y=x

A.C1,C2,C3,C4 B.C1,C.C3,C2,C1,C4 D.C1,【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì)可知,在第一象限內(nèi)的圖像,當且n越大,圖像遞增速度越快,由此可判斷C1是曲線y=x2,C當n<0時,圖像遞減,且n越大,圖像越陡,由此可判斷C3是曲線y=C4是曲線y=x?1;綜上所述冪函數(shù)y=x2,y=在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線C1,C4,C2故選:D.3.已知冪函數(shù)y=xp3(p∈Z)的圖象關于A.p為奇數(shù),且p>0 B.p為奇數(shù),且p<0 C.p為偶數(shù),且p>0 D.p為偶數(shù),且p<0【答案】D【分析】從圖象的奇偶性與在第一象限的單調(diào)性判斷解析式的特征【詳解】因為函數(shù)y=xp3所以函數(shù)y=xp3又函數(shù)y=xp3且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則有p3所以p<0.故選:D.【題型四】冪函數(shù)的性質(zhì)相關知識點講解1冪函數(shù)y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,12性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);②α>0時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在[0,+∞)上是增函數(shù).特別地,當α>1時,冪函數(shù)變化快,圖象下凹;當0<α<1時,冪函數(shù)變化慢,圖象上凸.Egy=x12圖象上凸,y=③α<0時,冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當x從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸,當x趨于+∞時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.Egy=x【典題1】已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點2,24,則下列關于f(x)說法正確的是(A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.在(0,+∞)單調(diào)遞減 【答案】C【分析】設冪函數(shù)的解析式,根據(jù)圖象的點求得解析式,由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調(diào)性判斷C.【詳解】設冪函數(shù)y=f(x)=x由題意得:2α故y=f(x)=x?3定義域不關于原點對稱,y=f(x)為非奇非偶函數(shù),A,B錯誤;由于?32<0,故y=f(x)=故選:C【典題2】已知冪函數(shù)fx=xm2+2m?3m∈Z是偶函數(shù),且A.?2 B.?1 C.0 D.3【答案】B【分析】由函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?∞,0上是增函數(shù),可知函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減,由冪函數(shù)的性質(zhì)可得m2+2m?3<0,結合m∈Z,即可解出m=?2或【詳解】因為函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?所以函數(shù)fx在0,+所以m2+2m?3<0,即(m?1)(m+3)<0,解得又因為m∈Z,所以m=?2或m=?1或m=0當m=0或m=?2時,fx=x當m=?1時,fx=x所以m=?1.故選:B變式練習1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的函數(shù)為(

A.y=x?2 C.y=x2 【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】對于A,y=x對于B,y=x?1為奇函數(shù),且在區(qū)間對于C,y=x對于D,y=x3為奇函數(shù),且在區(qū)間故選:B.2.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點2,14,則f(x)(A.為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞B.為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞C.為奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞D(zhuǎn).為奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞【答案】B【分析】根據(jù)已知條件,結合冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】設冪函數(shù)為f(x)=x因為冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點2,1所以2α=1故f(x)=x?2,定義域為f(?x)=?x?2=又因為?2<0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞故選:B.3.已知函數(shù)fx=xA.α=?2時,fx是偶函數(shù) B.α=12時,C.fx的圖象恒過定點0,0和1,1 D.0<α<1時,f【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A,當α=?2時fx=x且f?x=1對于B,當α=12時,fx=x對于C,當α=?2時,fx=x?2=對于D,當0<α<1時,fx=x故選:A4.冪函數(shù)y=xa2?2a?3是奇函數(shù),且在0,+∞是減函數(shù),則整數(shù)A.0 B.0或2 C.2 D.0或1或2【答案】B【分析】由題得a2?2a?3<0,且a2?2a?3是奇數(shù),且【詳解】由于冪函數(shù)y=xa2故a2?2a?3<0,且a2∴?1<a<3,a∈Z,當a=0時,a2當a=1時,a2當a=2時,a2故a=0或2.故答選:B5.(多選)關于冪函數(shù)fx=xA.當a=2024時,fx在?B.當a=2023時,fx在?C.當a=20232024時,D.當a=20242023時,【答案】AD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結合冪函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷每一選項即可得解.【詳解】對于A,當a=2024>0時,fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于B,當a=2023>0時,fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于C,當a=20232024時,fx對于D,當a=20242023時,fx且f?x=2023故選:AD.6.(多選)已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點8,4,則下列命題正確的有(

)A.函數(shù)f(x)為增函數(shù)B.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C.若x>1,則f(x)>1D.若0<x1【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式,根據(jù)解析式即可判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項;利用f?x=fx判斷函數(shù)為偶函數(shù)判斷B選項;根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷C選項,根據(jù)f(【詳解】設冪函數(shù)f(x)=xα(α∈R),函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點8,4,則83α=2,α=23,所以f(x)=x由f?x=3分析函數(shù)解析式可知:x>0時,隨著x的增大,x2也增大,3所以x>0時,fx又f(x)為偶函數(shù),所以x<0時,fxx>1時,fx單調(diào)遞增,又f1=1,所以x>1大致畫出函數(shù)圖像如下,f(x1)+f(x2f(x1+觀察圖象可知選項D正確.故選:BCD7.已知冪函數(shù)f(x)=(m(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若f(2x?3)<f(1?x),求x的取值范圍;(3)若g(x)=x2?ax+1,對任意x1∈?1,2,都存在唯一【答案】(1)f(x)=(2)4(3)?【分析】(1)利用冪函數(shù)的特點和偶函數(shù)的性質(zhì)求解;(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式;(3)先求函數(shù)fx的值域,再利用題中條件判斷gx與【詳解】(1)冪函數(shù)f(x)=(m所以m2?3m+3=1,解得m=1或所以f(x)=x或f(x)=x因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=x(2)f(x)=x4圖象關于y軸對稱,且在則f(2x?3)<f(1?x)可化為2x?3<1?x,平方得,化簡得,3x2?10x+8<0所以x的取值范圍是43(3)因為f(x)=x4,所以對任意x1因為存在唯一x2∈?2,4,使得f(x1)=gx2,則因為g(x)=x2?ax+1①當a2≥4,即a≥8時,gx滿足g?2解得,a≥112,和a≥8取交集得②當a2≤?2,即a≤?4時,gx滿足g?2=4+2a+1≤0g4=16?4a+1≥16,解得,a≤?綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是?∞【題型五】冪函數(shù)的應用【典題1】已知a=243A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b【答案】C【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可.【詳解】由y=x則可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a.故選:C.變式練習1.已知a<b<0,那么()A.a(chǎn)2<b2 B.a(chǎn)<b 【答案】D【分析】對A,B,C選項采用特殊值驗證方法判斷,對D選項利用冪函數(shù)y=a【詳解】因為a<b<0,當a=?2,b=?1時,a2=4,b2=1,a=2此時a2>b2,由冪函數(shù)y=a3在R上單調(diào)遞增可知,a<b<0時,故選:D.2.已知a=252425,b=A.a(chǎn)<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c【答案】B【詳解】∵a=2524252524≈1.041,1.022函數(shù)y=x25在(0,+∞)故選:B.3.已知f(x)為奇函數(shù),當0≤x≤2時,f(x)=2x?x2,當x>2時,f(x)=x?3A.?f?26>fC.?f?26>f【答案】A【分析】利用題給條件求得fx在1,3上單調(diào)性,利用f(x)為奇函數(shù)求得?f?26,f(1)的大小關系,再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較【詳解】因為當0≤x≤2時,fx則fx在0,1上單調(diào)遞增,在1,2當x>2時,fx則fx在2,3上單調(diào)遞減,在3,+且f2=0=2?3?1,所以在1,3上單調(diào)遞減,在3,+∞因為?f?26=f則f所以?f?

故選:A【A組基礎題】1.下列函數(shù)定義域為R的是()A.y=x?12 B.y=x?1【答案】C【詳解】化分數(shù)指數(shù)冪為根式,分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案.【解答】y=x?1y=x?1=y=x13y=x12故選:C.2.下列函數(shù)在0,+∞遞減,且圖像關于y軸對稱的是(

A.y=x13C.y=x3 【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì),逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì),知函數(shù)y=x13、y=x2而y=x?2在0,+∞故選:D3.若冪函數(shù)y=xa,y=xb在同一坐標系中的部分圖象如圖所示,則aA.a(chǎn)>1>b B.b>1>a C.0>a>b D.0>b>a【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點即可得a?b的大小關系,進而可得正確選項.【詳解】y=xa和y=xb在0,+∞當x>1時,y=xa圖象在y=x上方,所以當x>1時,y=xb圖象在y=x下方,所以所以a>1>b,故選:A.4.已知冪函數(shù)fx=xA.定義域為{x|x≠0} B.值域為RC.偶函數(shù) D.減函數(shù)【答案】A【分析】結合冪函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】因為冪函數(shù)fx=xα的圖象過點所以α=?1,所以fx對A、B:因為fx=x?1=故A正確、B錯誤;對C:f?x=1?x=?f對D:fx=1x在區(qū)間由f?2=?1故選:A.5.(多選)已知冪函數(shù)y=fx,恒過點2,14A.y=fx的定義域是0,+∞ B.C.y=fx在定義域上單調(diào)遞增 D.y=f【答案】BD【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解冪函數(shù)的表達式,即可由冪函數(shù)的性質(zhì)結合選項逐一求解.【詳解】設fx=xα,恒過點即fx=x?2=1xfx=x?2=故選:BD.6.寫出一個定義域為0,+∞,且單調(diào)遞增的冪函數(shù):fx【答案】x(答案不唯一)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識寫出一個即可.【詳解】fx=x故答案為:x(答案不唯一)7.已知冪函數(shù)y=xp2?2p?3(p∈N?)的圖象關于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),實數(shù)a【答案】[1,4]【詳解】∵冪函數(shù)y=xp∴p2?2∵p∈N?,當p=1時,y當p=2時,y則不等式等價為(a2?1∵y=x13∴a2?1<3a+3<08.已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點4,1(1)求此函數(shù)的解析式.(2)根據(jù)單調(diào)性的定義,證明函數(shù)fx在0,+(3)判斷函數(shù)fx【答案】(1)f(2)證明見解析(3)非奇非偶函數(shù),理由見解析【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可;(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)判斷出函數(shù)的定義域,結合奇偶性的定義求解即可.【詳解】(1)由題意,設fx=xa,則所以fx(2)設任意x1,x則fx而x2?x1<0故fx1?f函數(shù)fx在0,+(3)函數(shù)fx的定義域為0,+則函數(shù)fx9.已知函數(shù)fx(1)求m的值,并確定fx(2)令g(x)=f(x)?2x+1,求y=g(x)在x∈【答案】(1)m的值為0,函數(shù)fx的解析式為(2)?1,1【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解;(2)由(1),得gx=x?2x+1,令t=t∈0【詳解】(1)因為函數(shù)fx所以m2?5m+1=1,解得m=0或當m=0時,函數(shù)fx當m=5時,函數(shù)fx綜上所述,m的值為0,函數(shù)fx的解析式為f(2)由(1)知,fx所以gx令t=2x+1,則x=∵x∈?所以?t=在0,1上單調(diào)遞減,在所以?t?3=3所以函數(shù)gx在?12【B組提高題】1.已知函數(shù)fx=2a2?7a+4xa是冪函數(shù).若對于?xA.2 B.8

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