第12講 冪函數 2024-2025年新高一暑假自學課（教師版）

第12講冪函數1.理解冪函數的概念；2.會畫常見冪函數的圖象，并理解它們的圖象變化規(guī)律和性質；3.能解決與冪函數有關的復合函數問題.1冪函數的定義一般地，形如y=xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，注(1)注意冪函數中xα的系數是1，底數是變量x，指數α2正數的分數指數冪的意義(1)正數的正分數指數冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內母外”(根號內的m作分子，根號外的n作為分母)(2)正數的負分數指數冪的意義：a?(3)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.3冪函數圖像及其性質(1)冪函數y=x,y=x(2)冪函數y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶奇函數單調性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1(3)性質①所有的冪函數在(0,+∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；②α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0<α<1時，冪函數變化慢，圖象上凸.③α<0時，冪函數的圖象在(0,+∞)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．

【題型一】冪函數的概念相關知識點講解一般地，形如y=xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，注(1)注意冪函數中xα的系數是1，底數是變量x，指數α【典題1】下列函數中冪函數的是(

)A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【答案】D【分析】根據冪函數的定義直接得出結果.【詳解】A：函數y=3x為一次函數，故A不符合題意；B：函數y=xC：函數y=(x+1)D：函數y=x故選：D【典題2】若冪函數y=fx的圖象經過點2,2，則A．2 B．2 C．4 D．1【答案】C【分析】利用已知條件求得冪函數解析式，然后代入求解即可.【詳解】設冪函數y=fx=xα，因為fx的圖象經過點2,所以fx=x故選：C變式練習1.(多選)下列哪些函數是冪函數(

)A．y=2x B．y=x?2 C．【答案】BD【分析】由冪函數的定義對比選項即可求解.【詳解】由冪函數的標準形式y=xα，對比選項可知y=x故選：BD.2.已知fx=k2+2k+2A．3 B．23 C．6 D．【答案】D【分析】由冪函數的定義得出結果即可.【詳解】由題知k2+2k+2=1，解得k=?1，且m?3=0，解得故選：D3.若函數fx是冪函數，且滿足f8?f12【答案】16【分析】設fx=【詳解】設fx=xa，由f8故fx=x故答案為：16【題型二】冪函數的定義域相關知識點講解正數的分數指數冪的意義(1)正數的正分數指數冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內母外”(根號內的m作分子，根號外的n作為分母)(2)正數的負分數指數冪的意義：a?(3)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.【典題1】下列函數中定義域為R的是(

)A．y=x12B．y=x54【答案】C【分析】將分數指數冪化為根式，再根據冪函數的圖像與性質即可得到答案.【詳解】y=x12y=x54y=x23y=x?1故選：C.變式練習1.函數fx=xA．?∞,+∞C．0,+∞ D．【答案】D【分析】化簡函數解析式，根據函數解析式有意義可得出關于x的不等式組，由此可解得原函數的定義域.【詳解】因為fx=x?1+故函數fx的定義域為0,+故選：D.2.給出5個冪函數：①y=x?2；②y=x45；③y=x14；④y=A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根據冪函數的定義域求得正確答案.【詳解】①y=x?2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x?4所以符合的是②④.故選：C【題型三】冪函數的圖象的判斷相關知識點講解冪函數y=x,y=x【典題1】已知函數fx=x?2,x<0,A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】結合冪函數知識，畫出y=fx的圖象，將該圖象沿x【詳解】結合題意可得：當x<0時，易知fx=x當x≥0時，易知fx=x故函數fx要得到y=?fx，只需將y=fx的圖象沿故選：C.變式練習1.(2024·四川南充·二模)已知函數fx的圖象如圖所示，則fx的解析式可能是(A．y=x12 B．y=x?1【答案】D【分析】根據冪函數的性質一一判斷即可.【詳解】對于A：函數y=x12對于B：函數y=x?1對于C：函數y=x3的定義域為R，又y=x3為奇函數，又對于D：函數y=x13=3x的定義域為R，又故選：D2.冪函數y=x2，y=x?1，y=x

A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C．C3，C2，C1，C4 D．C1，【答案】D【分析】根據冪函數的性質即可求解.【詳解】根據冪函數y=xn的性質可知，在第一象限內的圖像，當且n越大，圖像遞增速度越快，由此可判斷C1是曲線y=x2，C當n<0時，圖像遞減，且n越大，圖像越陡，由此可判斷C3是曲線y=C4是曲線y=x?1；綜上所述冪函數y=x2，y=在第一象限內的圖象依次是如圖中的曲線C1，C4，C2故選：D.3.已知冪函數y=xp3(p∈Z)的圖象關于A．p為奇數，且p>0 B．p為奇數，且p<0 C．p為偶數，且p>0 D．p為偶數，且p<0【答案】D【分析】從圖象的奇偶性與在第一象限的單調性判斷解析式的特征【詳解】因為函數y=xp3所以函數y=xp3又函數y=xp3且在(0,+∞)上單調遞減，則有p3所以p<0．故選：D．【題型四】冪函數的性質相關知識點講解1冪函數y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶奇函數單調性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,12性質①所有的冪函數在(0,+∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；②α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數變化快，圖象下凹；當0<α<1時，冪函數變化慢，圖象上凸.Egy=x12圖象上凸，y=③α<0時，冪函數的圖象在(0,+∞)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．Egy=x【典題1】已知冪函數y=f(x)的圖象過點2,24，則下列關于f(x)說法正確的是(A．奇函數 B．偶函數C．在(0,+∞)單調遞減 【答案】C【分析】設冪函數的解析式，根據圖象的點求得解析式，由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調性判斷C.【詳解】設冪函數y=f(x)=x由題意得：2α故y=f(x)=x?3定義域不關于原點對稱，y=f(x)為非奇非偶函數，A，B錯誤；由于?32<0，故y=f(x)=故選：C【典題2】已知冪函數fx=xm2+2m?3m∈Z是偶函數，且A．?2 B．?1 C．0 D．3【答案】B【分析】由函數fx是偶函數且在?∞,0上是增函數，可知函數fx在0,+∞上單調遞減，由冪函數的性質可得m2+2m?3<0，結合m∈Z，即可解出m=?2或【詳解】因為函數fx是偶函數且在?所以函數fx在0,+所以m2+2m?3<0，即(m?1)(m+3)<0，解得又因為m∈Z，所以m=?2或m=?1或m=0當m=0或m=?2時，fx=x當m=?1時，fx=x所以m=?1.故選：B變式練習1.下列函數中，既是奇函數，又是在區(qū)間0,+∞上單調遞減的函數為(

A．y=x?2 C．y=x2 【答案】B【分析】根據基本初等函數的奇偶性和單調性進行判斷即可.【詳解】對于A，y=x對于B，y=x?1為奇函數，且在區(qū)間對于C，y=x對于D，y=x3為奇函數，且在區(qū)間故選：B．2.已知冪函數f(x)的圖象經過點2,14，則f(x)(A．為偶函數且在區(qū)間(0,+∞B．為偶函數且在區(qū)間(0,+∞C．為奇函數且在區(qū)間(0,+∞D．為奇函數且在區(qū)間(0,+∞【答案】B【分析】根據已知條件，結合冪函數的定義和性質即可求解.【詳解】設冪函數為f(x)=x因為冪函數f(x)的圖象經過點2,1所以2α=1故f(x)=x?2，定義域為f(?x)=?x?2=又因為?2<0，所以f(x)在區(qū)間(0,+∞故選：B.3.已知函數fx=xA．α=?2時，fx是偶函數 B．α=12時，C．fx的圖象恒過定點0,0和1,1 D．0<α<1時，f【答案】A【分析】根據冪函數的性質一一判斷即可.【詳解】對于A，當α=?2時fx=x且f?x=1對于B，當α=12時，fx=x對于C，當α=?2時，fx=x?2=對于D，當0<α<1時，fx=x故選：A4.冪函數y=xa2?2a?3是奇函數，且在0，+∞是減函數，則整數A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2【答案】B【分析】由題得a2?2a?3<0，且a2?2a?3是奇數，且【詳解】由于冪函數y=xa2故a2?2a?3<0，且a2∴?1<a<3，a∈Z，當a=0時，a2當a=1時，a2當a=2時，a2故a=0或2．故答選：B5.(多選)關于冪函數fx=xA．當a=2024時，fx在?B．當a=2023時，fx在?C．當a=20232024時，D．當a=20242023時，【答案】AD【分析】由函數奇偶性的定義結合冪函數的單調性逐一判斷每一選項即可得解.【詳解】對于A，當a=2024>0時，fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于B，當a=2023>0時，fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于C，當a=20232024時，fx對于D，當a=20242023時，fx且f?x=2023故選：AD.6.(多選)已知冪函數f(x)的圖像經過點8,4，則下列命題正確的有(

)A．函數f(x)為增函數B．函數f(x)為偶函數C．若x>1，則f(x)>1D．若0<x1【答案】BCD【分析】根據已知條件求出函數解析式，根據解析式即可判斷函數的單調性判斷A選項；利用f?x=fx判斷函數為偶函數判斷B選項；根據函數單調性判斷C選項，根據f(【詳解】設冪函數f(x)=xα(α∈R)，函數f(x)的圖像經過點8,4，則83α=2，α=23，所以f(x)=x由f?x=3分析函數解析式可知：x>0時，隨著x的增大，x2也增大，3所以x>0時，fx又f(x)為偶函數，所以x<0時，fxx>1時，fx單調遞增，又f1=1，所以x>1大致畫出函數圖像如下，f(x1)+f(x2f(x1+觀察圖象可知選項D正確.故選：BCD7.已知冪函數f(x)=(m(1)求函數f(x)的解析式；(2)若f(2x?3)<f(1?x)，求x的取值范圍；(3)若g(x)=x2?ax+1，對任意x1∈?1,2，都存在唯一【答案】(1)f(x)=(2)4(3)?【分析】(1)利用冪函數的特點和偶函數的性質求解；(2)判斷函數f(x)的單調性，利用函數的單調性解不等式；(3)先求函數fx的值域，再利用題中條件判斷gx與【詳解】(1)冪函數f(x)=(m所以m2?3m+3=1，解得m=1或所以f(x)=x或f(x)=x因為f(x)是偶函數，所以f(x)=x(2)f(x)=x4圖象關于y軸對稱，且在則f(2x?3)<f(1?x)可化為2x?3<1?x，平方得，化簡得，3x2?10x+8<0所以x的取值范圍是43(3)因為f(x)=x4，所以對任意x1因為存在唯一x2∈?2,4，使得f(x1)=gx2，則因為g(x)=x2?ax+1①當a2≥4，即a≥8時，gx滿足g?2解得，a≥112，和a≥8取交集得②當a2≤?2，即a≤?4時，gx滿足g?2=4+2a+1≤0g4=16?4a+1≥16，解得，a≤?綜上所述，實數a的取值范圍是?∞【題型五】冪函數的應用【典題1】已知a=243A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【答案】C【分析】利用冪函數的單調性判定即可．【詳解】由y=x則可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故選：C．變式練習1.已知a<b<0，那么()A．a2<b2 B．a<b 【答案】D【分析】對A，B，C選項采用特殊值驗證方法判斷，對D選項利用冪函數y=a【詳解】因為a<b<0，當a=?2,b=?1時，a2=4，b2=1，a=2此時a2>b2，由冪函數y=a3在R上單調遞增可知，a<b<0時，故選：D.2.已知a=252425，b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】B【詳解】∵a=2524252524≈1.041，1.022函數y=x25在(0,+∞)故選：B．3.已知f(x)為奇函數，當0≤x≤2時，f(x)=2x?x2，當x>2時，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【答案】A【分析】利用題給條件求得fx在1,3上單調性，利用f(x)為奇函數求得?f?26,f(1)的大小關系，再利用冪函數性質比較【詳解】因為當0≤x≤2時，fx則fx在0,1上單調遞增，在1,2當x>2時，fx則fx在2,3上單調遞減，在3,+且f2=0=2?3?1，所以在1,3上單調遞減，在3,+∞因為?f?26=f則f所以?f?

故選：A【A組基礎題】1.下列函數定義域為R的是()A．y=x?12 B．y=x?1【答案】C【詳解】化分數指數冪為根式，分別求出四個選項中函數的定義域得答案．【解答】y=x?1y=x?1=y=x13y=x12故選：C．2.下列函數在0,+∞遞減，且圖像關于y軸對稱的是(

A．y=x13C．y=x3 【答案】D【分析】根據冪函數性質，逐一判斷即可.【詳解】根據冪函數性質，知函數y=x13、y=x2而y=x?2在0,+∞故選：D3.若冪函數y=xa,y=xb在同一坐標系中的部分圖象如圖所示，則aA．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a【答案】A【分析】根據冪函數的性質以及圖象的特點即可得a?b的大小關系，進而可得正確選項.【詳解】y=xa和y=xb在0,+∞當x>1時，y=xa圖象在y=x上方，所以當x>1時，y=xb圖象在y=x下方，所以所以a>1>b，故選：A.4.已知冪函數fx=xA．定義域為{x|x≠0} B．值域為RC．偶函數 D．減函數【答案】A【分析】結合冪函數性質逐項判斷即可得.【詳解】因為冪函數fx=xα的圖象過點所以α=?1，所以fx對A、B：因為fx=x?1=故A正確、B錯誤；對C：f?x=1?x=?f對D：fx=1x在區(qū)間由f?2=?1故選：A.5.(多選)已知冪函數y=fx，恒過點2,14A．y=fx的定義域是0,+∞ B．C．y=fx在定義域上單調遞增 D．y=f【答案】BD【分析】根據待定系數法求解冪函數的表達式，即可由冪函數的性質結合選項逐一求解.【詳解】設fx=xα，恒過點即fx=x?2=1xfx=x?2=故選:BD.6.寫出一個定義域為0,+∞，且單調遞增的冪函數：fx【答案】x(答案不唯一)【分析】根據冪函數的知識寫出一個即可.【詳解】fx=x故答案為：x(答案不唯一)7.已知冪函數y=xp2?2p?3(p∈N?)的圖象關于y軸對稱，且在(0,+∞)上是減函數，實數a【答案】[1,4]【詳解】∵冪函數y=xp∴p2?2∵p∈N?，當p=1時，y當p=2時，y則不等式等價為(a2?1∵y=x13∴a2?1<3a+3<08.已知冪函數y=fx的圖象過點4,1(1)求此函數的解析式．(2)根據單調性的定義，證明函數fx在0,+(3)判斷函數fx【答案】(1)f(2)證明見解析(3)非奇非偶函數，理由見解析【分析】(1)根據冪函數的定義求解即可；(2)根據單調性的定義證明即可；(3)判斷出函數的定義域，結合奇偶性的定義求解即可．【詳解】(1)由題意，設fx=xa，則所以fx(2)設任意x1,x則fx而x2?x1<0故fx1?f函數fx在0,+(3)函數fx的定義域為0,+則函數fx9.已知函數fx(1)求m的值，并確定fx(2)令g(x)=f(x)?2x+1，求y=g(x)在x∈【答案】(1)m的值為0，函數fx的解析式為(2)?1,1【分析】(1)根據冪函數的定義及性質即可求解；(2)由(1)，得gx=x?2x+1，令t=t∈0【詳解】(1)因為函數fx所以m2?5m+1=1，解得m=0或當m=0時，函數fx當m=5時，函數fx綜上所述，m的值為0，函數fx的解析式為f(2)由(1)知，fx所以gx令t=2x+1，則x=∵x∈?所以?t=在0，1上單調遞減，在所以?t?3=3所以函數gx在?12【B組提高題】1.已知函數fx=2a2?7a+4xa是冪函數.若對于?xA．2 B．8