第12講 冪函數(shù) 2024-2025年新高一暑假自學課（教師版）

第12講冪函數(shù)1.理解冪函數(shù)的概念；2.會畫常見冪函數(shù)的圖象，并理解它們的圖象變化規(guī)律和性質(zhì)；3.能解決與冪函數(shù)有關的復合函數(shù)問題.1冪函數(shù)的定義一般地，形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，注(1)注意冪函數(shù)中xα的系數(shù)是1，底數(shù)是變量x，指數(shù)α2正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子，根號外的n作為分母)(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：a?(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3冪函數(shù)圖像及其性質(zhì)(1)冪函數(shù)y=x,y=x(2)冪函數(shù)y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1(3)性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；②α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在[0,+∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)變化快，圖象下凹；當0<α<1時，冪函數(shù)變化慢，圖象上凸.③α<0時，冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．

【題型一】冪函數(shù)的概念相關知識點講解一般地，形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，注(1)注意冪函數(shù)中xα的系數(shù)是1，底數(shù)是變量x，指數(shù)α【典題1】下列函數(shù)中冪函數(shù)的是(

)A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義直接得出結果.【詳解】A：函數(shù)y=3x為一次函數(shù)，故A不符合題意；B：函數(shù)y=xC：函數(shù)y=(x+1)D：函數(shù)y=x故選：D【典題2】若冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過點2,2，則A．2 B．2 C．4 D．1【答案】C【分析】利用已知條件求得冪函數(shù)解析式，然后代入求解即可.【詳解】設冪函數(shù)y=fx=xα，因為fx的圖象經(jīng)過點2,所以fx=x故選：C變式練習1.(多選)下列哪些函數(shù)是冪函數(shù)(

)A．y=2x B．y=x?2 C．【答案】BD【分析】由冪函數(shù)的定義對比選項即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的標準形式y(tǒng)=xα，對比選項可知y=x故選：BD.2.已知fx=k2+2k+2A．3 B．23 C．6 D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的定義得出結果即可.【詳解】由題知k2+2k+2=1，解得k=?1，且m?3=0，解得故選：D3.若函數(shù)fx是冪函數(shù)，且滿足f8?f12【答案】16【分析】設fx=【詳解】設fx=xa，由f8故fx=x故答案為：16【題型二】冪函數(shù)的定義域相關知識點講解正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內(nèi)母外”(根號內(nèi)的m作分子，根號外的n作為分母)(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：a?(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【典題1】下列函數(shù)中定義域為R的是(

)A．y=x12B．y=x54【答案】C【分析】將分數(shù)指數(shù)冪化為根式，再根據(jù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到答案.【詳解】y=x12y=x54y=x23y=x?1故選：C.變式練習1.函數(shù)fx=xA．?∞,+∞C．0,+∞ D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關于x的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】因為fx=x?1+故函數(shù)fx的定義域為0,+故選：D.2.給出5個冪函數(shù)：①y=x?2；②y=x45；③y=x14；④y=A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域求得正確答案.【詳解】①y=x?2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x?4所以符合的是②④.故選：C【題型三】冪函數(shù)的圖象的判斷相關知識點講解冪函數(shù)y=x,y=x【典題1】已知函數(shù)fx=x?2,x<0,A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】結合冪函數(shù)知識，畫出y=fx的圖象，將該圖象沿x【詳解】結合題意可得：當x<0時，易知fx=x當x≥0時，易知fx=x故函數(shù)fx要得到y(tǒng)=?fx，只需將y=fx的圖象沿故選：C.變式練習1.(2024·四川南充·二模)已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，則fx的解析式可能是(A．y=x12 B．y=x?1【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A：函數(shù)y=x12對于B：函數(shù)y=x?1對于C：函數(shù)y=x3的定義域為R，又y=x3為奇函數(shù)，又對于D：函數(shù)y=x13=3x的定義域為R，又故選：D2.冪函數(shù)y=x2，y=x?1，y=x

A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C．C3，C2，C1，C4 D．C1，【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì)可知，在第一象限內(nèi)的圖像，當且n越大，圖像遞增速度越快，由此可判斷C1是曲線y=x2，C當n<0時，圖像遞減，且n越大，圖像越陡，由此可判斷C3是曲線y=C4是曲線y=x?1；綜上所述冪函數(shù)y=x2，y=在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線C1，C4，C2故選：D.3.已知冪函數(shù)y=xp3(p∈Z)的圖象關于A．p為奇數(shù)，且p>0 B．p為奇數(shù)，且p<0 C．p為偶數(shù)，且p>0 D．p為偶數(shù)，且p<0【答案】D【分析】從圖象的奇偶性與在第一象限的單調(diào)性判斷解析式的特征【詳解】因為函數(shù)y=xp3所以函數(shù)y=xp3又函數(shù)y=xp3且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則有p3所以p<0．故選：D．【題型四】冪函數(shù)的性質(zhì)相關知識點講解1冪函數(shù)y=x,y=xy=xy=y=y=y=圖象X|X|K]定義域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在R上遞增在(?∞,0]上遞減在(0,+∞)上遞增在R上遞增在0,+∞上遞增在(?∞,0)上遞減在(0,+∞)上遞減特殊點(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,12性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；②α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在[0,+∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)變化快，圖象下凹；當0<α<1時，冪函數(shù)變化慢，圖象上凸.Egy=x12圖象上凸，y=③α<0時，冪函數(shù)的圖象在(0,+∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．Egy=x【典題1】已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點2,24，則下列關于f(x)說法正確的是(A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在(0,+∞)單調(diào)遞減 【答案】C【分析】設冪函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象的點求得解析式，由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調(diào)性判斷C.【詳解】設冪函數(shù)y=f(x)=x由題意得：2α故y=f(x)=x?3定義域不關于原點對稱，y=f(x)為非奇非偶函數(shù)，A，B錯誤；由于?32<0，故y=f(x)=故選：C【典題2】已知冪函數(shù)fx=xm2+2m?3m∈Z是偶函數(shù)，且A．?2 B．?1 C．0 D．3【答案】B【分析】由函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?∞,0上是增函數(shù)，可知函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得m2+2m?3<0，結合m∈Z，即可解出m=?2或【詳解】因為函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?所以函數(shù)fx在0,+所以m2+2m?3<0，即(m?1)(m+3)<0，解得又因為m∈Z，所以m=?2或m=?1或m=0當m=0或m=?2時，fx=x當m=?1時，fx=x所以m=?1.故選：B變式練習1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的函數(shù)為(

A．y=x?2 C．y=x2 【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】對于A，y=x對于B，y=x?1為奇函數(shù)，且在區(qū)間對于C，y=x對于D，y=x3為奇函數(shù)，且在區(qū)間故選：B．2.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點2,14，則f(x)(A．為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞B．為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞C．為奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞D(zhuǎn)．為奇函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結合冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】設冪函數(shù)為f(x)=x因為冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點2,1所以2α=1故f(x)=x?2，定義域為f(?x)=?x?2=又因為?2<0，所以f(x)在區(qū)間(0,+∞故選：B.3.已知函數(shù)fx=xA．α=?2時，fx是偶函數(shù) B．α=12時，C．fx的圖象恒過定點0,0和1,1 D．0<α<1時，f【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A，當α=?2時fx=x且f?x=1對于B，當α=12時，fx=x對于C，當α=?2時，fx=x?2=對于D，當0<α<1時，fx=x故選：A4.冪函數(shù)y=xa2?2a?3是奇函數(shù)，且在0，+∞是減函數(shù)，則整數(shù)A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2【答案】B【分析】由題得a2?2a?3<0，且a2?2a?3是奇數(shù)，且【詳解】由于冪函數(shù)y=xa2故a2?2a?3<0，且a2∴?1<a<3，a∈Z，當a=0時，a2當a=1時，a2當a=2時，a2故a=0或2．故答選：B5.(多選)關于冪函數(shù)fx=xA．當a=2024時，fx在?B．當a=2023時，fx在?C．當a=20232024時，D．當a=20242023時，【答案】AD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結合冪函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷每一選項即可得解.【詳解】對于A，當a=2024>0時，fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于B，當a=2023>0時，fx=x且注意到f?x=?x所以fx在?對于C，當a=20232024時，fx對于D，當a=20242023時，fx且f?x=2023故選：AD.6.(多選)已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點8,4，則下列命題正確的有(

)A．函數(shù)f(x)為增函數(shù)B．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C．若x>1，則f(x)>1D．若0<x1【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項；利用f?x=fx判斷函數(shù)為偶函數(shù)判斷B選項；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷C選項，根據(jù)f(【詳解】設冪函數(shù)f(x)=xα(α∈R)，函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點8,4，則83α=2，α=23，所以f(x)=x由f?x=3分析函數(shù)解析式可知：x>0時，隨著x的增大，x2也增大，3所以x>0時，fx又f(x)為偶函數(shù)，所以x<0時，fxx>1時，fx單調(diào)遞增，又f1=1，所以x>1大致畫出函數(shù)圖像如下，f(x1)+f(x2f(x1+觀察圖象可知選項D正確.故選：BCD7.已知冪函數(shù)f(x)=(m(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(2x?3)<f(1?x)，求x的取值范圍；(3)若g(x)=x2?ax+1，對任意x1∈?1,2，都存在唯一【答案】(1)f(x)=(2)4(3)?【分析】(1)利用冪函數(shù)的特點和偶函數(shù)的性質(zhì)求解；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；(3)先求函數(shù)fx的值域，再利用題中條件判斷gx與【詳解】(1)冪函數(shù)f(x)=(m所以m2?3m+3=1，解得m=1或所以f(x)=x或f(x)=x因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=x(2)f(x)=x4圖象關于y軸對稱，且在則f(2x?3)<f(1?x)可化為2x?3<1?x，平方得，化簡得，3x2?10x+8<0所以x的取值范圍是43(3)因為f(x)=x4，所以對任意x1因為存在唯一x2∈?2,4，使得f(x1)=gx2，則因為g(x)=x2?ax+1①當a2≥4，即a≥8時，gx滿足g?2解得，a≥112，和a≥8取交集得②當a2≤?2，即a≤?4時，gx滿足g?2=4+2a+1≤0g4=16?4a+1≥16，解得，a≤?綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是?∞【題型五】冪函數(shù)的應用【典題1】已知a=243A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【答案】C【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可．【詳解】由y=x則可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故選：C．變式練習1.已知a<b<0，那么()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)<b 【答案】D【分析】對A，B，C選項采用特殊值驗證方法判斷，對D選項利用冪函數(shù)y=a【詳解】因為a<b<0，當a=?2,b=?1時，a2=4，b2=1，a=2此時a2>b2，由冪函數(shù)y=a3在R上單調(diào)遞增可知，a<b<0時，故選：D.2.已知a=252425，b=A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】B【詳解】∵a=2524252524≈1.041，1.022函數(shù)y=x25在(0,+∞)故選：B．3.已知f(x)為奇函數(shù)，當0≤x≤2時，f(x)=2x?x2，當x>2時，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【答案】A【分析】利用題給條件求得fx在1,3上單調(diào)性，利用f(x)為奇函數(shù)求得?f?26,f(1)的大小關系，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較【詳解】因為當0≤x≤2時，fx則fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,2當x>2時，fx則fx在2,3上單調(diào)遞減，在3,+且f2=0=2?3?1，所以在1,3上單調(diào)遞減，在3,+∞因為?f?26=f則f所以?f?

故選：A【A組基礎題】1.下列函數(shù)定義域為R的是()A．y=x?12 B．y=x?1【答案】C【詳解】化分數(shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案．【解答】y=x?1y=x?1=y=x13y=x12故選：C．2.下列函數(shù)在0,+∞遞減，且圖像關于y軸對稱的是(

A．y=x13C．y=x3 【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)y=x13、y=x2而y=x?2在0,+∞故選：D3.若冪函數(shù)y=xa,y=xb在同一坐標系中的部分圖象如圖所示，則aA．a(chǎn)>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點即可得a?b的大小關系，進而可得正確選項.【詳解】y=xa和y=xb在0,+∞當x>1時，y=xa圖象在y=x上方，所以當x>1時，y=xb圖象在y=x下方，所以所以a>1>b，故選：A.4.已知冪函數(shù)fx=xA．定義域為{x|x≠0} B．值域為RC．偶函數(shù) D．減函數(shù)【答案】A【分析】結合冪函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】因為冪函數(shù)fx=xα的圖象過點所以α=?1，所以fx對A、B：因為fx=x?1=故A正確、B錯誤；對C：f?x=1?x=?f對D：fx=1x在區(qū)間由f?2=?1故選：A.5.(多選)已知冪函數(shù)y=fx，恒過點2,14A．y=fx的定義域是0,+∞ B．C．y=fx在定義域上單調(diào)遞增 D．y=f【答案】BD【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解冪函數(shù)的表達式，即可由冪函數(shù)的性質(zhì)結合選項逐一求解.【詳解】設fx=xα，恒過點即fx=x?2=1xfx=x?2=故選:BD.6.寫出一個定義域為0,+∞，且單調(diào)遞增的冪函數(shù)：fx【答案】x(答案不唯一)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識寫出一個即可.【詳解】fx=x故答案為：x(答案不唯一)7.已知冪函數(shù)y=xp2?2p?3(p∈N?)的圖象關于y軸對稱，且在(0,+∞)上是減函數(shù)，實數(shù)a【答案】[1,4]【詳解】∵冪函數(shù)y=xp∴p2?2∵p∈N?，當p=1時，y當p=2時，y則不等式等價為(a2?1∵y=x13∴a2?1<3a+3<08.已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點4,1(1)求此函數(shù)的解析式．(2)根據(jù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)fx在0,+(3)判斷函數(shù)fx【答案】(1)f(2)證明見解析(3)非奇非偶函數(shù)，理由見解析【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可；(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；(3)判斷出函數(shù)的定義域，結合奇偶性的定義求解即可．【詳解】(1)由題意，設fx=xa，則所以fx(2)設任意x1,x則fx而x2?x1<0故fx1?f函數(shù)fx在0,+(3)函數(shù)fx的定義域為0,+則函數(shù)fx9.已知函數(shù)fx(1)求m的值，并確定fx(2)令g(x)=f(x)?2x+1，求y=g(x)在x∈【答案】(1)m的值為0，函數(shù)fx的解析式為(2)?1,1【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解；(2)由(1)，得gx=x?2x+1，令t=t∈0【詳解】(1)因為函數(shù)fx所以m2?5m+1=1，解得m=0或當m=0時，函數(shù)fx當m=5時，函數(shù)fx綜上所述，m的值為0，函數(shù)fx的解析式為f(2)由(1)知，fx所以gx令t=2x+1，則x=∵x∈?所以?t=在0，1上單調(diào)遞減，在所以?t?3=3所以函數(shù)gx在?12【B組提高題】1.已知函數(shù)fx=2a2?7a+4xa是冪函數(shù).若對于?xA．2 B．8