5.1.1任意角（3種題型分類(lèi)基礎(chǔ)練+能力提升練）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)5.1.1任意角（3種題型分類(lèi)基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：角的有關(guān)概念的判斷1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B∪C?C【答案】D【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．2．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以這四個(gè)命題都是正確的．3.給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．【答案】①【解析】①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.[解]作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．題型二：終邊相同的角的表示及應(yīng)用5．下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′【答案】B【解析】與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.6.將－885°化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．【答案】(－3)×360°＋195°【解析】－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.7．在－360°～360°之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限．①790°；②－20°.[解]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是70°和－290°，它們都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是－20°和340°，它們都是第四象限的角．8.寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．[解]與α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.題型三：任意角終邊位置的確定和表示9.若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【解析】因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因?yàn)椋璭q\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以－eq\f(α,2)是第二、四象限角．]10.已知，如圖所示．①分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．【能力提升】一、單選題1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由象限角的知識(shí)結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)是第四象限角時(shí)，，則，即是第二或第四象限角.當(dāng)為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．故選：A2．若是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根據(jù)題意求出的范圍即可判斷.【詳解】由題意知，，，則，所以，．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第四象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.3．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考慮中角的終邊的位置，再考慮中角的終邊的位置，從而可得兩個(gè)集合的關(guān)系.【詳解】.表示終邊在直線(xiàn)上的角，表示終邊在直線(xiàn)上的角，而表示終邊在四條射線(xiàn)上的角，

四條射線(xiàn)分別是射線(xiàn)，

它們構(gòu)成直線(xiàn)、直線(xiàn)，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，注意的終邊與的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，而的終邊與的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)或相互垂直，本題屬于中檔題.4.終邊在直線(xiàn)上的角的集合為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出終邊在上的度數(shù)，即可得到結(jié)論．【詳解】在[0，2π]內(nèi)終邊在直線(xiàn)上的角為和，則終邊在直線(xiàn)y＝x上的角的集合為{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，即{α|α＝kπ，k∈Z}，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同角的表示，熟記特殊角是關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．5．若是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：由題意逐一考查所給選項(xiàng)即可求得最終結(jié)果.詳解：若是第一象限角，則：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查象限角的概念，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和概念熟練程度.二、多選題6．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【分析】先寫(xiě)出角的范圍，再除以，從而求出角的范圍，分析即得解【詳解】是第三象限的角，則，，所以，；當(dāng)，，在第一象限；當(dāng)，，在第三象限；當(dāng)，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD7．下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則【答案】BC【分析】根據(jù)角的終邊位置判斷A，根據(jù)角的定義判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)集合間的包含關(guān)系判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角在第二和第四象限的角平分線(xiàn)上，故角的集合是，正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將表的分針撥快10分鐘，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)圓周角的六分之一，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，不是第一象限角，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：而表示的奇數(shù)倍，，而表示的整數(shù)倍，所以，正確．故選：BC8．若是第二象限的角，則的終邊所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【分析】用不等式表示的范圍，求得的范圍后確定其所在象限．【詳解】是第二象限的角，則，，，，當(dāng)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)時(shí)，是第二象限角，當(dāng)時(shí)，是第四象限角，故選：ABD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查象限觚判斷，掌握各象限角的表示是解題關(guān)鍵．第一象限角：，，第二象限角：，，第三象限角：，，第四象限角：，．另外還有非象限角，即終邊在坐標(biāo)軸的軸線(xiàn)角．三、填空題9．（1）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為_(kāi)______，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為_(kāi)_________．（2）如圖，射線(xiàn)繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則_________．【答案】

【解析】（1）計(jì)算出指針單位時(shí)間內(nèi)走過(guò)的度數(shù)→乘以時(shí)間．（2）→→【詳解】（1）從時(shí)針和分針每小時(shí)或每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)切入，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)、時(shí)針、分針都按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)都是負(fù)的，3小時(shí)20分即小時(shí)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為；分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為．（2）由角的定義可得．故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的概念，注意角的正負(fù)與順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的規(guī)定．10．已知點(diǎn)P位于x軸正半軸上,射線(xiàn)OP在1秒內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為,經(jīng)過(guò)2秒到達(dá)第三象限,若經(jīng)過(guò)14秒后又恰好回到出發(fā)點(diǎn),則________.【答案】或【解析】根據(jù)2秒到達(dá)第三象限，可確定，結(jié)合得范圍，經(jīng)過(guò)14秒后又恰好回到出發(fā)點(diǎn)可得，聯(lián)立條件即可求出.【詳解】且,必有,.又,,,即,或5.故或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的旋轉(zhuǎn)，象限角，終邊相同的角，屬于中檔題.四、解答題11．如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時(shí)針?lè)较虻人傺貑挝粓A周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2s達(dá)到第三象限，經(jīng)過(guò)14s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ.【答案】或.【分析】由題得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解.【詳解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z，則一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝，從而90°<<135°，∴<n<，∴n＝4或5.當(dāng)n＝4時(shí)，θ＝；當(dāng)n＝5時(shí)，θ＝.所以或.12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由圖①可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，由此可求出陰影部分內(nèi)的角的集合；由圖②可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，由陰影部分內(nèi)的角的集合為.【詳解】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為；如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為或.13.若是第一象限角，問(wèn)，，是第幾象限角？【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或終邊在軸的非負(fù)半軸上；是第一、二或第三象限角．【分析】根據(jù)已知寫(xiě)出角的取值集合，再分別求出，，集合即可得到答案．【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以，所以，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第四象限角；，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第一、二象限角或終邊在軸的非負(fù)半軸上；．當(dāng)時(shí)，，所以是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第三象限角．綜上可知：是第一、二或第三象限角．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若已知角是第幾象限角，判斷等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，考察角的終邊的位置．14.（1）如果角的終邊在第二象限，討論的終邊所在的位置；（2）由此可否得出在其他幾個(gè)象限的結(jié)論？請(qǐng)畫(huà)出的終邊在第一?二?三?四象限時(shí)，的終邊所在的位置；（3）類(lèi)似地討論的位置(可設(shè)在第一象限，討論終邊的位置，并寫(xiě)出其他幾個(gè)象限的情形).【答案】（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，圖像見(jiàn)解析；（3）的終邊在第一象限，的終邊在第一或第二或第三象限；的終邊在第二象限，的終邊在第一或第二或第四象限；的終邊在第三象限，的終邊在第一或第三或第四象限；的終邊在第四象限，的終邊在第二或第三或第四象限；【分析】（1）當(dāng)角的終邊在第二象限，得，則，分k是奇數(shù)和是偶數(shù)進(jìn)行討論；（2）確定的終邊在第一、二、三、四象限時(shí)，得出的范圍，進(jìn)而確定的終邊所在的位置，結(jié)合象限，畫(huà)出圖形即可；（3）同理（1）（2），討論的終邊位置.【詳解】（1）由角的終邊在第二象限，得，則，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第三象限，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第一象限.（2）由（1）可得，當(dāng)?shù)慕K邊在第一、二、三、四象限時(shí)，的終邊分別在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如圖：終邊在第一象限

終邊在第二象限

終邊在第三象限

終邊在第四象限（3）當(dāng)?shù)慕K邊在第一象限時(shí)，即，，則，當(dāng)時(shí)，的終邊在第一象限；當(dāng)時(shí)，的終邊在第二象限；當(dāng)時(shí)，的終邊在第三象限；的終邊在第一或第二或第三象限，推廣可知：當(dāng)?shù)慕K邊在第二象限時(shí)，的終邊在第一