甘肅省武威市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

~2024學(xué)年度第二學(xué)期第二次月考高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。5．本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第二冊(cè)第一章~第四章4.4。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若是純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．32．（）A． B． C． D．3．若直線平面，則下列說法正確的是（）A．l僅垂直平面內(nèi)的一條直線 B．l僅垂直平面內(nèi)與l相交的直線C．l僅垂直平面內(nèi)的兩條直線 D．l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直4．已知正六邊形ABCDEF，則（）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則外接圓的面積為（）A． B． C． D．6．如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高AB，小胡同學(xué)先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后從點(diǎn)C處沿南偏東方向前進(jìn)140米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則鐵塔AB的高度是（）A．70米 B．80米 C．90米 D．100米7．已知，則（）A． B． C． D．8．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點(diǎn)，且，P點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則P點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則（）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．為實(shí)數(shù) D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10．已知，是兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中是真命題的是（）A．如果，，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等11．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A．若，則B．若，，，則只有一解C．若，則為直角三角形D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則的值為________．13．設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且，若，則________．14．如圖，在正三棱柱中，，，則直線與直線所成角的正切值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知，．（1）求，的值；（2）求的值．16．（本小題滿分15分）根據(jù)要求完成下列問題：（1）設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線，如果，，，證明A，B，D三點(diǎn)共線；（2）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，，已知，，，若恒成立，求k的值．17．（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，F(xiàn)分別為棱CD，的中點(diǎn)，G是棱上的一點(diǎn)，，H是棱AB上的一點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面．18．（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若為銳角三角形，，D是線段AC的中點(diǎn)，求BD的長的取值范圍．19．（本小題滿分17分）在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正切值．2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期第二次月考·高一數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．A本題考查純虛數(shù)．，∵是純虛數(shù)，∴．2．C，故選C．3．D若直線平面，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直．4．B在正六邊形ABCDEF中，．故選B．5．B設(shè)外接圓的半徑為R，，解得，外接圓的面積為．故選B．6．A設(shè)塔AB的高度為h，在中，因?yàn)椋?；在中，因?yàn)?，所以；在中，，，，根?jù)余弦定理可得，即，解得或（舍去）．故選A．7．D，則，則，故選D．8．C如圖所示，作交于點(diǎn)G，作交于點(diǎn)H，連接HG，∵，，，∴平面平面，又∵P點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)P在線段HG上，即軌跡．9．BD因?yàn)榈墓曹棌?fù)數(shù)為，所以A不正確；因?yàn)?，，所以B正確；因?yàn)椋訡不正確；因?yàn)?，點(diǎn)的坐標(biāo)在第一象限，所以D正確．10．BCD對(duì)于A，可運(yùn)用長方體舉反例證明其錯(cuò)誤，如圖，不妨設(shè)為直線m，CD為直線n，四邊形ABCD所在的平面為，四邊形所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立；B正確，證明如下：設(shè)過直線n的某平面與平面相交于直線l，則，由知，從而；由平面與平面平行的定義知，如果，，那么，C正確；由平行的傳遞性及線面角的定義知，如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等，D正確．故選BCD．11．AD對(duì)于A選項(xiàng)，由，有，由正弦定理可得，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可知有兩解，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，有，可得或，可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若為銳角三角形或直角三角形，有；若為鈍角三角形，不妨設(shè)C為鈍角，有，，，有，可知D選項(xiàng)正確．故選AD．12．∵，∴，∴．13．由于，則，即，由于，則，因此，．14．連接交于O點(diǎn)，作F點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接OF，則與所成的角等于OF與所成的角，在中，，，，，．15．解：（1）因?yàn)椋裕?分所以，6分．9分（2）．13分16．（1）證明：∵，，∴，3分又∵，，∴，6分又∵，有公共點(diǎn)，∴A，B，D三點(diǎn)共線；7分（2）解：，9分又，若，則，即恒成立，13分∴，∴解得．15分17．證明：（1）分別取AB，的中點(diǎn)M，N，連接ME，，，NA，如圖所示．因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，易得四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)镚是棱上的一點(diǎn)，，H是棱AB上的一點(diǎn)，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面．3分因?yàn)镹是的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，易得四邊形是平行四邊形，所以．又G是棱上的一點(diǎn)，，所以G是的中點(diǎn)，又F是的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面，所以平面，6分又，平面HGF，所以平面平面；8分（2）連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，，所以是等邊三角形，又E是CD的中點(diǎn)，所以，10分因?yàn)橹彼睦庵?，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，12分又，平面，所以平面，14分又平面，所以平面平面．15分18．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以?分由余弦定理得，5分又，所以；6分（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)镈是線段AC的中點(diǎn)，所以，所以，9分由正弦定理得，所以，，所以，12分又為銳角三角形，所以，解得，所以，15分所以，所以，所以，即BD的長的取值范圍是．17分19．（1）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，如圖所示．因?yàn)槭堑冗吶切危現(xiàn)是PA的中點(diǎn)，所以．2分因?yàn)镕是PA的中點(diǎn)，E是棱PD的中點(diǎn)，所以．又四邊形ABCD是矩形，所以，所以，又，所以,4分又,平面PAB，所以平面PAB，6分又C平面PAB，所以，7分又，平面BEF，所以平面BEF，8分又平面BE