廣東省深中、華附、廣雅、省實(shí)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年高二（下）華附、深中、省實(shí)、廣雅聯(lián)考模擬卷數(shù)學(xué)提醒：本試卷共19題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題（共8題，每題5分，40分）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）．A． B． C． D．3．多項(xiàng)選擇題是新高考數(shù)學(xué)試卷中增加的新題型，四個(gè)選項(xiàng)A，B，C，D中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，并規(guī)定：如果選擇錯(cuò)誤了選項(xiàng)就不得分．若某題的正確答案是ABC，某考生隨機(jī)選擇了2個(gè)選項(xiàng)，則其能得分的概率是（）．A． B． C． D．4．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)、滿足，則該的表面積為（）A． B． C． D．5．已知四邊形滿足，點(diǎn)滿足，若，則（）A．3 B． C．2 D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，且，則的離心率為（）．A． B．2 C． D．57．已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（）．A． B．C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）．A．1 B．3 C．5 D．7二、多項(xiàng)選擇題（共3題，每題6分，部分選對得部分分，18分）9.已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合（其中）求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為．觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)：除了數(shù)據(jù)點(diǎn)和明顯偏離橫軸，其余各點(diǎn)均密集均勻分布，剔除這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后重新求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為．則下列結(jié)論中正確的是（）。A．變量與正相關(guān) B．記，則C． D．10．設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）．A．B．可能大于0C．若點(diǎn)，則D．若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于），使得，則11．如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為，梯形內(nèi)接于下底面圓，是直徑，，過點(diǎn)向上底面作垂線，垂足分別為，點(diǎn)，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上底面圓內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則（）A．若平面交線段于點(diǎn)，則B．若平面過點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)C．的周長為定值D．當(dāng)點(diǎn)在上底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記直線與下底面所成角分別為，則的取值范圍是三、填空題（共3題，每題5分，15分）12．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍______．13．設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且為邊上的中點(diǎn)，且，則______．14．若數(shù)集的子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集的超子集．已知集合，記，記的超子集的個(gè)數(shù)為，當(dāng)?shù)某蛹瘋€(gè)數(shù)為221個(gè)時(shí)，______．四、解答題（共5題，77分）15．（13分）智能體溫計(jì)由于測溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計(jì)應(yīng)用于日常體溫檢測．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果與人體的真實(shí)體溫基本一致，而使用智能體溫計(jì)測量體溫可能會(huì)產(chǎn)生誤差．對同一人而言，如果用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫失誤”．現(xiàn)在某社區(qū)隨機(jī)抽取了20人用兩種體溫計(jì)進(jìn)行體溫檢測，數(shù)據(jù)如表．用頻率估計(jì)概率，解答下列問題：序號12345678910智能體溫計(jì)測溫36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3水銀體溫計(jì)測溫36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4序號11121314151617181920智能體溫計(jì)測溫36.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7水銀體溫計(jì)測溫36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7（1）從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計(jì)測量體溫，設(shè)隨機(jī)變量X為使用智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（2）醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫不低于37.3℃且不高于38℃時(shí)處于“低熱”狀態(tài)．該社區(qū)某一天用智能體溫計(jì)測溫的結(jié)果顯示，有3人的體溫都是37.3℃，能否由上表中的數(shù)據(jù)來認(rèn)定這3個(gè)人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)？說明理由．16．（15分）四邊形是平行四邊形，，四邊形是梯形，，且，，平面平面．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線，它們分別與拋物線交于點(diǎn)和．已知，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．18．（17分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）解關(guān)于的不等式：；（3）若，求證：數(shù)列前項(xiàng)和小于．19．（17分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線過原點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．2023-2024學(xué)年高二（下）華附、深中、省實(shí)、廣雅聯(lián)考模擬卷數(shù)學(xué)答案及詳解一、二、三、選擇填空題（73分）1234567891011CDCABCCBABDACDAB12．13．14．111．解：，則，故，解得，所以，故．故選：C．2．，，的虛部為．故選：D．3．四個(gè)選項(xiàng)A，B，C，D中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，并規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．某題的正確答案是ABC，某考生隨機(jī)選了兩項(xiàng)，基本事件總數(shù)，其中其能得分包含的基本事件個(gè)數(shù)，其能得分的概率為．故選：C．4．因?yàn)?，所以可以把四點(diǎn)放到長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，“鞠”的半徑為，則．因?yàn)椋?，所以．故選：A5．四邊形滿足，點(diǎn)滿足，，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，．又，故．故選：B6．由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)，由作該漸近線的垂線，則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：，，由可得：，可得，則離心率．故選：C．7．A．由題得，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，①，②①+②得，故B誤，C．，所以該選項(xiàng)正確．D．由前面得，所以，也適合，所以．設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，，，…，，所以，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．8．由實(shí)數(shù)滿足，可化為，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，可以得到，從而，構(gòu)造函數(shù)，，令可以得到，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，取最小值，即有最小值故選：B．9．由回歸直線方程，且可得變量與正相關(guān)，故A正確；，且樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上，，故B正確；當(dāng)剔除兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后其余各點(diǎn)均密集均勻分布，說明用回歸直線方程擬合效果更好，則殘差平方和變小，相關(guān)指數(shù)變大，有，故C錯(cuò)誤；剔除兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后的樣本點(diǎn)的中心坐標(biāo)沒變，，故D正確．故選：ABD．10．A選項(xiàng)，，所以直線過焦點(diǎn)，所以，A選項(xiàng)說法正確．設(shè)，聯(lián)立，得，所以，所以B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，從而，C選項(xiàng)說法正確．D選項(xiàng)，設(shè)，由，有，即，代入韋達(dá)定理，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)唯一，且異于兩點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．由，解得，故D選項(xiàng)說法正確．故選：ACD．11．A：由題可得面面，故面；又面面，故面；面，故面面；又面，故面；又面，面面，故可得，故A正確：B：根據(jù)題意，共面，又分別為上的動(dòng)點(diǎn)，故直線面；不妨設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，若要滿足與共面，則直線必過點(diǎn)，又為定點(diǎn)，故B正確：C：設(shè)的周長為，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時(shí)，連接：此時(shí)；顯然周長不為定值，故C錯(cuò)誤；D：過作底面垂線，垂足為，且在下底面圓周上，即面，連接，則分別是直線與下底面所成的角，，則，則，，底面圓半徑為，若在對應(yīng)優(yōu)弧上時(shí)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，若在對應(yīng)劣弧上時(shí)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，綜上，故，故D錯(cuò)誤故選：AB12．3實(shí)根，在，極小值，極大值．13．中，由，可得，則，則，整理得，即，又，則．中，是邊上的中點(diǎn)，且，則，則有，解之得則．14．集合的超子集可以分為兩類：第一類中不含有，這類子集有個(gè)，第二類子集中含有，這類子集為的超子集與的并集，共有個(gè)，，，，故答案為：11四、解答題（77分）15．解：（1）表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同的序號是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12種情況，估計(jì)所求的概率為，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，用智能體溫計(jì)測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率為，，，故的分布列為：0124．（2）設(shè)這三人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)為事件，表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)的測溫結(jié)果，高于其真實(shí)體溫的序號為02，05，11，17，共計(jì)4種情況，由此估計(jì)從社區(qū)任意抽取1人，用智能體溫計(jì)的測溫結(jié)果高于其真實(shí)體溫的概率為，由此估計(jì)，這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)的概率為，結(jié)論1：，接近于1，由此認(rèn)定這三人中至少有人處于“低熱”狀態(tài)，結(jié)論2：，有可能這三人都不處于“低熱”狀態(tài)．16．（1）證明：因?yàn)?，由余弦定理，所以，則，所以，即又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，直線的方程，由，得，設(shè)，所以，所以，所以，且所以，所以拋物線的方程為．（2）存在，使得為定值，由題意可得直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，所以，，所以，設(shè)，同理可得，所以，由，得，即，而，所以，所以存在，使得為定值0．18．解：（1）由知當(dāng)，有，二式相減得，即，又，解得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）結(jié)合（1）知原式，由于隨著的增大而增大，且，所以正整數(shù)最大可取6，即原不等式的解集為．（3）易得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由累加法得：．符合上式，故，此時(shí)可以得出：【法一，放縮法】：．【法二，裂項(xiàng)相消】：從第3項(xiàng)看起，可以得到：由前二項(xiàng)會(huì)得到這樣我們可重新加括號得顯然故得證．易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)．綜上19．解：（1），則，