高三數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第八章36空間點線面的位置關(guān)系

【課時訓(xùn)練】空間點、線、面的位置關(guān)系一、選擇題1．(2018佛山模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，a?α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若a?α，b⊥β，α∥β，則由α∥β，b⊥β?b⊥α，又a?α，所以a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β，則b⊥α或b∥α，此時α∥β或α與β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.2．(2018福州質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與直線A1B1、EF、BCA．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數(shù)條【答案】D【解析】在EF上任意取一點M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點N，當(dāng)M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點P，M，N，如圖，故有無數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交．3．(2018南昌二模)對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線【答案】C【解析】不論l∥α，l?α，還是l與α相交，α內(nèi)都有直線m，使得m⊥l.4．(2018廣州模擬)在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上【答案】A【解析】由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，HG?平面ACD，所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點．而這兩個平面的交線為AC，所以點M一定在直線AC上．故選A.5．(2018余姚模擬)下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D．若直線a∥平面α，點P∈α，則平面α內(nèi)經(jīng)過點P且與直線a平行的直線有且只有一條【答案】D【解析】對于A，當(dāng)α∥β，a，b分別為第三個平面γ與α，β的交線時，由面面平行的性質(zhì)可知a∥b，故A錯誤．對于B，設(shè)a，b確定的平面為α，顯然a?α，故B錯誤．對于C，當(dāng)a?α?xí)r，直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故C錯誤．易知D正確．故選D.6．(2018江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面【答案】D【解析】依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．7．(2018合肥質(zhì)檢)已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α【答案】C【解析】m，n可能的位置關(guān)系為平行，相交，異面，故A錯誤；根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知B錯誤；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確；若m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯誤，故選C.8．(2018江西六校聯(lián)考)四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)【答案】B【解析】因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5)，故選B.二、填空題9．(2018福建六校聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間中不重合的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號)．【答案】①【解析】由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯．10．(2018南昌高三期末)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________．【答案】5eq\r(2)【解析】連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時展平形成一個平面四邊形A1BCC1，則此時對角線CP＋PA1＝A1C達(dá)到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝eq\r(2)，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有CP＋PA1＝A1C＝eq\r(2＋36－12\r(2)cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).11．(2018深圳調(diào)研)如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．【答案】②③④【解析】把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.12．(2018鄭州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，①BM是定值；②點M在某個球面上運動；③存在某個位置，使DE⊥A1C④存在某個位置，使MB∥平面A1DE.【答案】③【解析】取DC的中點F，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確．三、解答題13．(2018長春一模)已知幾何體A－BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，求異面直線DE與AB所成角的余弦值．【解】如圖，取EC的中點F，連接BF，AF，則BF∥DE，∴∠FBA為異面直線DE與AB所成的角或其補(bǔ)角．在△BAF中，AB＝4eq\r(2)，BF＝AF＝2eq\r(5)，則cos∠FBA＝eq\f(\r(10),5)，∴異面直線DE與AB所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5).14．(2018江西宜春模擬)如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點．(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值．(1)【證明】假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE.∴P∈平面ABE.這與P?平面ABE矛盾，∴AE與PB是異面直線．(2)【解】如圖，取BC的中點F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF(或其補(bǔ)角)就是