概率講義-2024屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之概率

一.隨機事件與概率

【知識梳理】

1、我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，常用字母E表示.

2、我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗

E的樣本空間.一般地，我們用Q表示樣本空間，用0表示樣本點.

3、一般地，隨機試驗中的每個隨機時間都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表

示.我們將樣本空間Q的子集稱為隨機事件，并把只包含了一個樣本點的事件稱為基本

事件.

4、隨機時間一般用大寫字母A,B,C,…表示，在每次試驗中，當且僅當A中某個樣

本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

5、。作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所

以。總會發(fā)生，我們稱Q為必然事件.而空集0不包含任何樣本點，在每次試驗中都

不會發(fā)生，我們稱。為不可能事件.

6、一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件

A包含于事件B）,記作3衛(wèi)A（或特別地，如果事件B包含事件A,事件

A也包含事件B,即33A且A衛(wèi)3,則稱事件A與事件B相等，記作4=6.

7、一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件

A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），

記作AB（或A+3）.

8、一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也

在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作

AB（或AB）.

9、一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A8是一個不可能事件，

即AB=0,則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.

10、一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即

AB=O,且AB=0,那么稱事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為

A.

11、事件的關(guān)系或運算

事件的關(guān)系或運算含義符號表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A^B

并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A8或A+3

交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A8或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生AB=0

互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A3=0且AB=0

12、對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P

(A)表示.

13、我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模

型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

14、一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Q包含幾個樣本點，事件A包含其中的

上個樣本點，則定義事件A的概率尸(4)=±=匹”，

nn(Q)

其中77(A)和“(Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點個數(shù).

15、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對于任意的事件A,都有P(A)K).

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能的事件概率為0.

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=LP(A),P(A)=LP

(B).

性質(zhì)5如果ACB,那么P(A)<P(B).

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(AAB).

16、一般地，隨著試驗次數(shù)九的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的

頻率力(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的

穩(wěn)定性.

【針對性訓(xùn)練】

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的

兩個數(shù)作為點尸的坐標，則事件“點尸落在x軸上”包含的樣本點共有()

A.7個B.8個C.9個D.10個

2.已知集合A是集合3的真子集，下列關(guān)于非空集合A,8的四個命題，正確的是(

)

A.若任取xeA,則xeB是必然事件

B.若任取x定A,則xeB是不可能事件

C.若任取則xeA是隨機事件

D.若任取十e3,則xeA是必然事件

3.從1,2,3,4這4個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個.

(1)寫出試驗的樣本空間；

(2)用集合表示A="取出的兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍”.

4.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，向上面都是正面為事件拉，向上面至少有一枚是正面

為事件N,則有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

5.某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件4=“只訂甲報”，B=“至少訂一

種報紙”，C=”至多訂一種報紙”，D="一種報紙也不訂”.判斷下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件.

(1)A與C；

(2)B與D；

(3)B與C；

(4)A與￡).

6.下列是古典概型的是（）

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點時

B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時

C.從甲地到乙地共〃條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.從袋子中的3個紅球和2個白球中任取2個小球，計算所取的兩個小球都是白球的概

率

7.從甲、乙、丙三人中任選2人作代表，則甲被選中的概率為（）

8.現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求:

（1）所取的2道題都是甲類題的概率；

（2）所取的2道題不是同一類題的概率.

9.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為工，從中取出2粒

7

都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）

10.袋中有除顏色外其他完全相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，從袋中任意取出2

個球，求下列事件的概率：

（1）A="取出的2個球都是白球”；

（2）B="取出的2個球中有1個白球、1個紅球”；

（3）C="取出的2個球中至少有1個白球”.

二.隨機事件的獨立性

【知識梳理】

對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件

B相互獨立.

【針對性訓(xùn)練】

11.一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，用A表示第一次摸得白球，A

表示第二次摸得白球，則事件A與可是()

A.相互獨立事件B.不相互獨立事件

C.互斥事件D.對立事件

12.若事件E與E相互獨立，且P(E)=P(F)=1,則P(EB)的值等于()

13.某商場推出抽獎活動，購買一定價值的商品，可以分別參加兩次抽獎活動，如果兩次

抽獎活動的中獎概率都是0.05,求以下事件的概率：

(1)兩次都中獎；

(2)恰有一次中獎；

(3)至少有一次中獎.

14.小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概

率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響.求：

(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；

(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.

15.設(shè)兩個相互獨立的事件A,3都不發(fā)生的概率為l，只有A發(fā)生的概率等于只有3發(fā)

9

生的概率，則事件A發(fā)生的概率尸(A)=.

16.甲騎自行車從A地到3地，途中要經(jīng)過4個十字路口，已知甲在每個十字路口遇到紅

燈的概率都是工，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有

3

遇到紅燈，直到第3個路口才首次遇到紅燈的概率是（）

17.某自助銀行設(shè)有兩臺ATM機.在某一時刻這兩臺A770機被占用的概率分別為L

3

則客戶此刻到達需要等待的概率為

2------

18.事件A,B,C相互獨立，如果尸(AB)=LP(BQ=~,P(ABC)=~,那么尸(B)

P(AB)=

19.在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a,b,c閉合與斷開的概率都是工，且是相互獨立

2

的，則燈亮的概率是.

20.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為工，學(xué)生3解出的概率為』，學(xué)生C解出的概

23

率為:，若A,B,C三人獨立去解答此題，則恰有一人解出的概率為（）

17

A.1B.—cD.

24A24

三.隨機事件的條件概率

【知識梳理】

1、一般地，設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱

P(AB)

P(B\A)=

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2、一般地，P(B|A)與P(B)不一定相等.如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件

A與B應(yīng)滿足相互獨立.

3、由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)

P(B|A).我們稱它為概率的乘法公式.

4、求條件概率由兩種方法：一種是基于樣本空間Q,先計算P(A)和P(AB),再

利用條件概率公式求P(B|A)；另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”

的條件后，樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率.

5、條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).如果P(A)>

0,則

(1)P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)設(shè)5和B互為對立事件，則尸(。設(shè)=1—尸

6、一般地，設(shè)%，?..,4是一組兩兩互斥的事件，AU&=Q，且

P(A)>0,i=l,2,n,則對任意的事件有

P(B)=^P(A)P(BIA)■我們把它稱為全概率公式.

1=1

7、貝葉斯公式：設(shè)A，4，…，A”是一組兩兩互斥的事件，

AAA=Q，且P(4)〉0，i=h2,n,則對任意的事件5三0,P

(B)>0,有

p（A）p（RA）_P（A）P（B1A）

P(Ai\B)=

P(B)

＞（4）尸（例4）

【針對性訓(xùn)練】

21.在射擊訓(xùn)練中，某射擊運動員一次射擊命中的概率是0.8,連續(xù)兩次射擊均命中的概率

是0.6,已知該射手第一次命中，則他第二次也命中的概率是（）

22.某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功

的概率是（）

41L

23.在7張卡片上分別寫有―，7i,2+i,In-,z4,0,cosl,其中i為虛數(shù)單位.從

32

這7張卡片中隨機抽取一張，記“抽到的卡片上的數(shù)是正實數(shù)”為事件A,“抽到的卡片

上的數(shù)是無理數(shù)”為事件3,則下列結(jié)果正確的是（）

34203

A.P（A）=-B.P（B）=-C.P（AB）=—D.P（B|A）=-

24.某地一農(nóng)業(yè)科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為

0.8,出芽后的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子

能成長為幼苗的概率為（）

A.0.02B.0.08C.0.72D.0.18

25.已知袋子內(nèi)有7朵大小相同的小花，其中4朵紅花，3朵黃花，從中不放回地抽取2

次，每次抽取1朵花，那么在已知第一次抽到紅花的條件下，第二次也抽到紅花的概率是（

)

26.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A：“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事

件B：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則尸（例A）=（）

27.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、

乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為工，,

101520

現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）

A.0.08B.0.1C.0.15

28.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假設(shè)男人女人各占一半，現(xiàn)隨機地挑選一

人，則此人恰是色盲的概率為（）

A.0.01245B.0.05786C.0.028650.02625

29.有三個同樣的箱子，甲箱中有2只紅球，6只白球，乙箱中有6只紅球，4只白球，丙

箱中有3只紅球，5只白球.

（1）隨機從甲、乙、丙三個箱子中各取一球，求三球都為紅球的概率；

(2)從甲，乙、丙中隨機取一箱，再從該箱中任取一球，求該球為紅球的概率.

30.某商店收進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢

品率為0.06,乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05,求：

(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；

(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取■個為廢品的概率.

四.離散型隨機變量及其分布列

【知識梳理】

1、一般地，對于隨機試驗樣本空間Q中的每個樣本點①，都有唯一的實數(shù)X(o)與之

對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.其中，可以取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我

們稱為離散型隨機變量.通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X,Y,Z；用小寫

英文字母表示隨機變量的取值，例如x,y,z.

2、一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為玉，3，…，%，我們稱X取每一個

值七的概率

P(X=X])=Pt,z=1,2,n

為X的概率分布列，簡稱分布列.

3、根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質(zhì)：

(1)/?,.>0,i=l,2,n；

⑵B+2+…+p“=l.

4、對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，入表示“失敗”，定義

]A發(fā)生_

X=\5_，如果P(A)=p,則P(?=1-P，那么X的分布列如表：

0,A發(fā)生

X01

P1-PP

我們稱X服從兩點分布或0—1分布.

5、一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表,

X再X2Xn

PPlPlPn

則稱

n

E(x)=+x2p,++xnpn=￡xiPi

i=l

為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取

值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值

的平均水平.

6、一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么

E(x)=0x(l-s)+lxp-p.

7、如果X是一個離散型隨機變量，將X進行平移或伸縮后，均值有如下變化：

E(aX)=aE(X),

E(X+b)=E(X)+b,

E(aX+b)=aE(X)+b.

8、設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表：

XX]X2Xn

pPlPlPn

我們稱

D(X)=&-E(x))2p1+(0-E(x))22++g-E(x))2p.&-E(X))2R

Z=1

為隨機變量X的方差，有時也記為如r(X),并稱j￡>(X)為隨機變量X的標準差,記

為<T(X).

9、隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨

機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越

大，隨機變量的取值越分散.

10、離散型隨機變量X加上一個常數(shù)Zj,僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其

均值的離散程度，方差保持不變，即。(X+b)=D(X).而離散型隨機變量X乘以一個

常數(shù)。，其方差變?yōu)樵讲畹?倍，即。(aX)=/D(X).一般地，可以證明

D(aX+b)=a2D(X)成立.

11、我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.我們將一個伯努利試驗獨立地

重復(fù)進行〃次所組成的隨機試驗稱為〃重伯努利試驗.顯然，九重伯努利試驗具有如下

共同特征：

(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做〃次，“重復(fù)”意味著各次試驗成功的概率相同；

(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.

12、一般地，在九重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為(0<p<l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=Z)=CpF-p)一,左=0,1,

2,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分

布，記作X?5(n,p).

13、由二項式定理，容易得到

之p(x=k)生C：/(I-0…=[°+(1-如"=1.

k=0k=0

14、一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：

(1)明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；

(2)確定重復(fù)試驗的次數(shù)〃，并判斷各次試驗的獨立性;

(3)設(shè)X為九次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X?5(九，p).

15、一般地，可以證明：如果X~3(〃，p),那么石(X)=〃p,D(X)=np(l—p).

16、一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取”件

(不放回)，用X表示抽取的九件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)="N-M,k=m,m+1,m+2,…，r.

C'N

其中〃，N,MeN*,M<N,n<N,m—max{O,n-N+M},r=min{〃,Af}.如

果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

17、設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，

不放回地隨機抽取〃件產(chǎn)品中的次品數(shù).令夕=絲，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而工

Nn

是抽取的九件產(chǎn)品的次品率，可以得到E(工)=p,即E(X)="p.

n

【針對性訓(xùn)練】

31.已知8件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機變量，用J表示,

那么4的取值為()

A.0,1B.1,2C.0,1,2D.0,1,2,3

32.下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是()

A.

X-2024

P0.50.20.30

B.

X012

P0.70.150.15

C.

X123

Pj_2

~323

D.

X123

PIgllg2嗟

33.已知隨機變量X的分布列為

X123

p256

131313

則E(X)的值為()

,25-27-30

A.——B.2C.——D.——

131313

34.已知某一隨機變量X的分布列如下表所示，且E(X)=6.3,貝！I()

X4a9

P0.50.1b

A.a=7B.Z?=0.4C.E(aX)=44.1D.E(bX+a)=2.62

35.己知隨機變量X的分布列如下表所示，則P(X=3)=.

X1234

P1]_J.1

6363

36.某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項活動.

(1)求選出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；

(2)用X表示選出的2人中男生的個數(shù)，求X的分布列.

37.設(shè)隨機變量X服從，則尸(X=3)的值是()

35

A.B.—D.

16168

(多選)38.下列說法正確的是()

A.設(shè)X為九重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則XT?(〃,p)

B.在“重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響

C.對于w重伯努利試驗，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同

D.如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是0,那么在“重伯努利試驗中，這個事件恰好

發(fā)生4次的概率P(X=k)(1-P)〃F，笈=。，1，2,…，n

39.在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球.設(shè)取出的

4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=旦B.隨機變量X服從二項分布

21

C.隨機變量X服從超幾何分布D.召(X)=|

40.下列隨機變量中，服從超幾何分布的有()

A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，取到的次品數(shù)X

B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)X

C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，此學(xué)生遇到紅燈的次數(shù)X

D.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生的人數(shù)X

五.正態(tài)分布

【知識梳理】

1、除了離散型隨機變量，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往

充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機

變量.

2、我們稱=(XGR,其中〃eR,。>0為參數(shù))為正態(tài)密度函

數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.顯然對于任意的xeH,/(x)>0,

它的圖象在x軸的上方.x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.

3、若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為

X?N(〃，(r2).特別地，當〃=0,cr=l時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

4、正態(tài)曲線的特點：

(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線尤=〃對稱；

(2)曲線在x=處達到峰值

"2乃

(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.

5、函數(shù)y=/(x-〃)的圖像可由y=/(x)的圖像平移得到.在參數(shù)b取固定值時，正

態(tài)曲線的位置由〃確定，且隨著〃的變化而沿X軸平移.當〃取定值時，因為曲線的峰

值一4與。成反比，而且對任意的b>0,曲線與X軸圍成的面積總為1.因此，當

（7,2乃

b較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當b較大時，峰

值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散.

6、若X?N（〃，/）,則有E（X）=〃，D（X）=CT2.

7、假設(shè)X?N（〃，cr2）,可以證明：對于給定的左eN*,P（〃一hrWX?〃+左cr）

是一個只與人有關(guān)的定值.特別地，

P（/j-（y<X<ju+（7）?0.6827,

P（//-2CT<X</j+2a）?0.9545,

P（〃-3crWXW〃+3cr）?0.9973.

由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是（-8,+8）,但在一次試驗中，X的取

值幾乎總是落在區(qū)間［〃-3b,〃+3b］內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有

0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布

（〃，/）的隨機變量x只?。邸ā?b,〃+3cr］中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3?原則.

【針對性訓(xùn)練】

41.設(shè)兩個正態(tài)分布N3,of）。>0）和N3，畸依>0）的密度曲線如圖所示，則有（

B.C.A>例，ai<a2D.4>〃2，ai>a2

42.已知隨機變量X?N(0.4,b；),F?陽0.8,無)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列說法錯

A.P(X?.4)=P(Y0.8)

B.尸(XH))=P(y0)

c.x的取值比y的取值更集中于平均值

D.兩支正態(tài)曲線與無軸之間的面積均為1

43.若隨機變量X?N(2,l),且尸(X>l)=0.8413,則P(X>3)等于()

A.0.1587B.0.3174C.0.3413D.0.6826

44.已知隨機變量X?N(2,cr2)如圖所示，若P(X<a)=0.32，則

P(薇4—a)=.

45.下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有()

A.曲線在x軸上方，且與無軸不相交

B.當〃時，曲線下降，當〃時，曲線上升

C.當〃一定時，。越小，總體分布越分散，b越大，總體分布越集中

D.曲線關(guān)于直線x=〃對稱，且當x=〃時，位于最高點

46.設(shè)隨機變量X?N(Lb?),且P(X”一1)=。，貝i」P(X..l)=

47.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(202),且PC<4)=0.8,則尸(0<4<2)等于()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

48.設(shè)隨機變量自服從正態(tài)分布N(4,3),若PC<a-5)=PC>a+l),則實數(shù)。=

49.某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：加加)服從正態(tài)分布

X?N(100,l).現(xiàn)加工10個螺栓的尺寸(單位：加利)如下：

101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.

X?N(〃Q2)有P(〃-2b<X<〃+2b)=0.954,P(〃一3cr<X<〃+3b)=0.997.根據(jù)行

業(yè)標準，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交于質(zhì)檢員檢驗，則質(zhì)檢

員認為設(shè)備需檢修的概率為()

50.假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下包裝出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500,

52）（單位：g）,該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于

515g?

（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于515g的概率.

（2）檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷

是否合理？請說明理由.

附：若X?則P（〃一3通度//+3o-）~0.997.

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之概率

參考答案與試題解析

一.隨機事件與概率

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的

兩個數(shù)作為點尸的坐標，則事件“點尸落在x軸上”包含的樣本點共有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

【答案】C

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；排列組合；邏輯推理

【分析】根據(jù)“點P落在x軸上“包含的樣本點的特征，即可求解.

【解答】解：“點尸落在x軸上“包含的樣本點的特征是縱坐標為0,橫坐標不為0,因集

合A中有9個非零數(shù).

故選：C.

【點評】本題考查了計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A是集合3的真子集，下列關(guān)于非空集合A,3的四個命題，正確的是（

）

A.若任取xeA,則xe3是必然事件

B.若任取x任A,則xe3是不可能事件

C.若任取xeB,則xeA是隨機事件

D.若任取xeB,則x走A是必然事件

【答案】ACD

【考點】隨機事件

【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；直觀想象

【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件，不可能事件的定義判斷即可.

【解答】解：集合A是集合3的真子集，.'A中的任意一個元素都是3中的元素，而3中

至少有一個元素不在A中，因此A正確，3錯誤，C正確，￡＞正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了必然事件，隨機事件和不可能事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.從1,2,3,4這4個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個.

(1)寫出試驗的樣本空間；

(2)用集合表示A="取出的兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍”.

【答案】(1)樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,4)，(41),(4,2),(4,3)}；

(2)A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【考點】樣本點與樣本空間

【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；概率與統(tǒng)計

【分析】(1)用(尤,y)表示取出的兩個數(shù)，x,y=1,2,3,4,且xwy,從而寫出試驗的

樣本空間；

(2)根據(jù)題意寫出集合A即可.

【解答】解：(1)用(x,y)表示取出的兩個數(shù)，x,y=l,2,3,4,且xwy,

所以樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),

(41)，(4,2),(4,3)}；

(2)因為兩個數(shù)成2倍關(guān)系的有1和2,2和4,

所以A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【點評】本題主要考查了樣本空間和樣本點的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，向上面都是正面為事件拉，向上面至少有一枚是正面

為事件N,則有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

【答案】A

【考點】隨機事件；互斥事件與對立事件

【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；對應(yīng)思想；分析法

【分析】根據(jù)事件的概念，判斷即可.

【解答】解：因為向上一面都是正面的為事件向上一面至少有一枚是正面的為事件

N,

則事件M發(fā)生，事件N一定發(fā)生，故事件N包含事件即M=

故選：A.

【點評】本題考查了事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

5.某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A="只訂甲報”，B=“至少訂一

種報紙”，C=”至多訂一種報紙”，D="一種報紙也不訂”.判斷下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件.

(1)A與C；

(2)B與D；

(3)3與C；

(4)A與。.

【答案】(1)A與C不是互斥事件，也不是對立事件；

(2)3與。是互斥事件，也是對立事件；

(3)3與C不是互斥事件，也不是對立事件；

(4)A與。是互斥事件，但不是對立事件.

【考點】互斥事件與對立事件

【專題】概率與統(tǒng)計；綜合法；整體思想

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念即可判斷.

【解答】解：事件A為“只訂甲報紙”，事件3為“至少訂一種報紙”，包含為訂甲報

紙，訂乙報紙，訂甲乙兩種報紙，

事件C為“至多訂一種報紙”包含訂甲報紙或訂乙報紙，事件。為“一種報紙也不訂”.

(1)A與C不是互斥事件，也不是對立事件；

(2)3與。是互斥事件，也是對立事件；

(3)3與C不是互斥事件，也不是對立事件；

(4)A與。是互斥事件，但不是對立事件.

【點評】本題主要考查了互斥事件和獨立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.下列是古典概型的是()

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點時

B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時

C.從甲地到乙地共九條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.從袋子中的3個紅球和2個白球中任取2個小球，計算所取的兩個小球都是白球的概

率

【答案】CD

【考點】古典概型及其概率計算公式

【專題】應(yīng)用題；對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理

【分析】根據(jù)古典概型基本事件的有限性和發(fā)生的等可能性入手，A中基本事件的發(fā)生的

可能性不相等，不滿足條件；3中基本事件的個數(shù)無限多，不滿足條件；。中基本事件數(shù)

能確定，每種的可能性相等，進而可確定答案.

【解答】解：古典概型的基本事件是等可能事件，A中的點數(shù)之和出現(xiàn)的概率不相等，故

A不正確；

3中的基本事件數(shù)有無數(shù)多個，與古典概型的基本事件的總數(shù)應(yīng)有有限個不相符，故3不

正確；

C符合古典概型的要求；故C正確；

。中基本事件數(shù)有C；種，每種出現(xiàn)的可能性相等，故。正確.

故選：CD.

【點評】本題主要考查古典概型的定義和性質(zhì).考查對基礎(chǔ)知識的掌握程度.

7.從甲、乙、丙三人中任選2人作代表，則甲被選中的概率為()

112

A.-B.-C.-D.1

233

【答案】C

【考點】古典概型及其概率計算公式

【專題】概率與統(tǒng)計

【分析】根據(jù)排列組合知識求解甲被選中的個數(shù)，從甲、乙、丙三人中任選2人作代表的事

件個數(shù)，再運用公式求解.

【解答】解：從甲、乙、丙三人中任選2人作代表

，總的事件為C；=3,

甲被選中的個數(shù)為C；=2,

.?.甲被選中的概率為三，

3

故選：C.

【點評】本題考查了古典概率的求解，屬于容易題.

8.現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：

(1)所取的2道題都是甲類題的概率；

(2)所取的2道題不是同一類題的概率.

【考點】古典概型及其概率計算公式

【專題】計算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計

【分析】(1)先求出基本事件總數(shù)〃=C：=15,再求出所取的2道題都是甲類題包含的基本

事件個數(shù)根=C；=6,由此能求出所取的2道題都是甲類題的概率.

(2)所取的2道題不是同一類題包含的基本事件個數(shù)加=C；C；=8,由此能求出所取的2

道題不是同一類題的概率.

【解答】解：(1)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解

答，

基本事件總數(shù)w=C；=15,

所取的2道題都是甲類題包含的基本事件個數(shù)==6,

所取的2道題都是甲類題的概率0='=色=2.

n155

(2)所取的2道題不是同一類題包含的基本事件個數(shù)m'==8,

所取的2道題不是同一類題的概率弘.

n15

【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

9.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為工，從中取出2粒

7

都是白子的概率是￡.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()

A.-B.—C.—D.1

73535

【考點】CB-.古典概型及其概率計算公式

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5/：概率與統(tǒng)計；65：數(shù)學(xué)運算

【分析】設(shè)事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是白子”，事件C

表示“取出2粒都是白子"，則。=虱8,又A,8互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式

P(C)=P(A[B)=P(A)+P(B),

【解答】解：依題意，設(shè)事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是

白子”，事件C表示“取出2粒都是白子”，

則。=418，又A，3互斥，

1io17

根據(jù)互斥事件的概率加法公式P(C)=P(AlB)=P(A)+P(B)

73535

故選：B.

【點評】本題考查了事件的關(guān)系，互斥事件的概率加法，屬于基礎(chǔ)題.

10.袋中有除顏色外其他完全相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，從袋中任意取出2

個球，求下列事件的概率：

(1)A=”取出的2個球都是白球”；

(2)B="取