2025屆北師大實驗中學高一下數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆北師大實驗中學高一下數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若滿足條件的三角形ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．在中，設角，，的對邊分別是，，，若，，，則其面積等于（）A． B． C． D．3．直線的斜率是（）A． B．13 C．0 D．4．過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．5．圓的半徑是，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A． B． C． D．6．某學校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．7．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．某文體局為了解“跑團”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結論正確的是（）A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應的里程數(shù)B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)9．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)10．在中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為________12．函數(shù)的最小正周期是________.13．若，則________.14．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則角_______.15．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．16．已知，，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的值域.18．已知夾角為，且，，求：（1）；（2）與的夾角．19．已知數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列，求數(shù)列的前項和.20．某銷售公司通過市場調(diào)查，得到某種商品的廣告費（萬元）與銷售收入（萬元）之間的數(shù)據(jù)如下：廣告費（萬元）1245銷售收入（萬元）10224048（1）求銷售收入關于廣告費的線性回歸方程；（2）若該商品的成本（除廣告費之外的其他費用）為萬元，利用（1）中的回歸方程求該商品利潤的最大值（利潤=銷售收入－成本－廣告費）.參考公式：，.21．設是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，結合C的取值范圍，可知；根據(jù)存在兩個三角形的條件，即可求得a的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)正弦定理可知，代入可求得因為，所以若滿足有兩個三角形ABC則所以所以選C【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡單應用，判斷三角形的個數(shù)情況，屬于基礎題。2、C【解析】

直接利用三角形的面積的公式求出結果．【詳解】解：中，角，，的對邊邊長分別為，，，若，，，則，故選：．【點睛】本題考查的知識要點：三角形面積公式的應用及相關的運算問題，屬于基礎題．3、A【解析】

由題得即得直線的斜率得解.【詳解】由題得，所以直線的斜率為.故選：A【點睛】本題主要考查直線的斜率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4、C【解析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【點睛】本題主要考查互相垂直直線的性質，考查直線方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、C【解析】

先將化為弧度數(shù)，再利用扇形面積計算公式即可得出．【詳解】所以扇形的面積為：故選：C【點睛】題考查了扇形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6、A【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應選A．7、A【解析】

取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．8、D【解析】

根據(jù)折線圖中11個月的數(shù)據(jù)分布，數(shù)據(jù)從小到大排列中間的數(shù)可得中位數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的增長趨勢可判斷BCD.【詳解】由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C錯.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查了識別折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的減區(qū)間，即為的增區(qū)間，且，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的減區(qū)間，即的增區(qū)間，且，則，得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質的應用，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的性質，以及三角函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性進行判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

利用余弦定理、三角形面積公式、正弦定理，求得和，通過等式消去，求得的兩個值，再判斷三角形的形狀.【詳解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【點睛】本題在求解過程中對存在兩組解，要注意解答的完整性與嚴謹性，綜合兩種情況，再對的形狀作出判斷.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內(nèi)切關系，可以得到一個等式，結合這個等式，可以求出的最小值.【詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓是內(nèi)切關系，即，于是有（當且僅當取等號），因此的最小值為9.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，考查了基本不等式的應用，考查了數(shù)學運算能力.12、【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期公式計算即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是.故答案為【點睛】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應用，屬于基礎題．13、【解析】

觀察式子特征，直接寫出，即可求出。【詳解】觀察的式子特征，明確各項關系，以及首末兩項，即可寫出，所以，相比，增加了后兩項，少了第一項，故。【點睛】本題主要考查學生的數(shù)學抽象能力，正確弄清式子特征是解題關鍵。14、【解析】

根據(jù)三角形面積公式和余弦定理可得，從而求得；由角的范圍可確定角的取值.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式的應用問題，關鍵是能夠配湊出符合余弦定理的形式，進而得到所求角的三角函數(shù)值.15、【解析】

根據(jù)圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，再根據(jù)勾股定理可得求的半徑．【詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，設球心為，球的半徑為，則，圓，因為,所以，所以，，則有.解得，則.【點睛】本題主要考查了幾何體的外接球，關鍵是會找到球心求出半徑，通常結合勾股定理求．屬于難題．16、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當且僅當時取等號．故答案為1．【點睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來求得最小值了.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)遞增區(qū)間為，（2）【解析】

（1）化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．（2）根據(jù)（1）的結果，再根據(jù)求出的范圍結合圖像即可．【詳解】解：（1）由，則函數(shù)遞增區(qū)間為，（2）由，得則則，即值域為【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質，常考三角函數(shù)的性質有：對稱軸、單調(diào)性、最值、對稱中心．屬于中等題．18、（1）（2）【解析】試題分析：（1）先求模的平方將問題轉化為向量的數(shù)量積問題．（2）根據(jù)數(shù)量積公式即可求得兩向量的夾角．（1），，所以．（2）設與的夾角為．則，因為，所以．考點：1向量的數(shù)量積；2向量的模長．19、（1），（2）【解析】

（1）把點帶入即可（2）根據(jù)（1）的結果利用錯位相減即可?！驹斀狻浚?）把點帶入得，則時，時，經(jīng)驗證，也滿足，所以（2）由（1）得，所以則①②①②得【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項的求法，以及數(shù)列前項和的方法。求數(shù)列通項常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等。求數(shù)列前項和常用的方法有：錯位相減、裂項相消、公式法、分組求和等。屬于中等題。20、（1）；（2）19.44（萬無）【解析】

（1）先求出，然后求出回歸系數(shù)，得回歸方程；（2）由回歸方程得估計銷售收入，減去成本得利潤，由二次函數(shù)知識得最大值．【詳解】（1）由題意，，所以，，所以回歸方程為；（2）由（1），所以（萬元）時，利潤最大且最大值為19.44（萬元）．【點