2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)市聯(lián)考高考數(shù)學(xué)(理)仿真模擬試題(二模)含解析

2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)市聯(lián)考高考數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題

（二模）

一、單選題

1.已知全集111,集合A滿足土L?1,則（）

A.WB.2GAC.3^AD.4eA

【正確答案】D

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合A,再判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤?{x|0<x<5},且①4={x[l<x<3},

所以T4=1X|0<x<1或3<x<5},

所以IE4,2eZ,3EA,4eA.

故選：D

..2?2023

2.已知i為虛數(shù)單位，z=1+1+'"+1—，則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求出i+i?+…+[2。23,再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)?4&+1+14&+2+14/+3+[4"+4=1—1—1+1=（）,

i+i2+---+i2023-1-（1+i）11.

則2=一=一=H=（iT（i+i）=-5一A

所以Z=—，+』i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.

22I22J

故選：B.

3.已知向量〃二（3,4）》=（8,加），且卜+4=卜一耳,則B卜（）

A.6B.8C.10D.12

【正確答案】C

【分析】由口+斗=卜-4,可得￡4=0，即可得答案.

詳解因|o+S|=|a-S|所以

一一|2|一一|2一2-2一一一2一2一一一一

a+b\=\a-b\=>a+b+2a-b=a+b—2a?bna?b=0，

卜|=42+卜6)=10.

即24+4m=0=>m=-6=>

故選：C

4.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想

再出來(lái)，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫(xiě)出該數(shù)字串中偶

數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫(xiě)成一個(gè)新的數(shù)字串.重復(fù)

以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字串

設(shè)為a,則COS

V3

B.D.

22

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個(gè)數(shù)字串，確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公

式計(jì)算，可得答案.

【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021,經(jīng)過(guò)第一步之后為314,

經(jīng)過(guò)第二步之后為123,再變?yōu)?23,再變?yōu)?23,所以“數(shù)字黑洞”為123,即a=123,

則

(an2TI^(123兀2兀、(.,2兀、(2兀、2兀n1

U3J(33)I3)L3J332

故選:C.

5.已知拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)在圓/+/=4上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

為()

A.1B.2C.4D.8

【正確答案】C

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解p=4,由P的幾何意義即可求解.

【詳解】由于拋物線V=28(p>0)的焦點(diǎn)為x正半軸上，/+/=4與x正半軸的交點(diǎn)為

(2,0),故拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),所以5=2n夕=4,

因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為夕=4,

故選：c

1

6.如圖是求2+二1的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2+-

D.

2+AA1+2/

【正確答案】A

【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問(wèn)題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式

子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

11

【詳解】執(zhí)行第1次，Z=—,左=1<2是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算01=——,k=k+l=2,

22+]2+A

1

循環(huán)，執(zhí)行第2次，k=2<2,是,因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算2+k=k+l=3,

2+12+N

2

k=3<2,否，輸出，故循環(huán)體為/=-----,故選A.

2+A

秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為/=——

2+A

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體各個(gè)面中，面積最大的面的面積為（)

C.476D.8

【正確答案】A

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體各個(gè)面的面積即可得出答

案.

【詳解】如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，C為棱的中點(diǎn)，三棱錐N-5CD即為該幾何體.

其中△ZBD為直角三角形，AB=4A/2，AD=4,48_LB。,所以其面積為一義4義4血=8萬(wàn)；

2

ABCD為等腰三角形,BC=CD,BD=4，點(diǎn)C到邊3。的距離為4,所以其面積為-x4x4=8；

2

48c為等腰三角形，BC=AC=2^，AB=46，所以點(diǎn)。到邊的距離為26，

所以其面積為-X2V3X4V2=4A/6；

2

ZCD為等腰三角形，AC=CD=2亞,所以點(diǎn)C到邊4D的距離為20，

所以其面積為」x2行x46=4幾.

2

綜上，該幾何體各個(gè)面中面積最大的面為△4&D,其面積為80.

故選：A.

8.已知為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若里什1=2%—2,邑=10,則｛%｝的通項(xiàng)公式為（）

H2

A.an=3—4B.an=2"+2C.an=n+nD.

a?=3/-1

【正確答案】B

d—2

【分析】先由題設(shè)求出％,再通過(guò)構(gòu)造得」『『=2,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

??-2

【詳解】令〃=1可得%=2%-2,又5=q+%=1。，解得4=4,又

。“+1-2=2《-4=2（4-2）,

a—2

則％—2=2,,,+1_=2,即｛4—2｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，貝!|

%-2=2.2-a〃=2"+2.

故選：B.

9.中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁

復(fù)，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把

玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.

今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部

又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正

四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（）

A.476B.4GC.2A/6D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球?yàn)樗笳拿骟w的外接球，根據(jù)正四

面體的性質(zhì)，可求得棱長(zhǎng).

【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大,

則該球半徑/=6,如圖：

可知￡為外接球球心，EP=EB=r,P。，平面45C,。為底面等邊45C的中心,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為d,則BD=3x皂d=^d,=&，

323yv33

在RtEDB中,則EB2=ED2+DB2,即，=舟了+(爭(zhēng)-療,

解得］=亞廠，即d=4a-

3

故選：A

10.甲乙兩位游客慕名來(lái)到贛州旅游，準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍

南九連山和安遠(yuǎn)三百山5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)，記事件/：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，

事件2：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率？(4/)=()

1299

A-B.-C.—D.—

.552520

【正確答案】B

【分析】先利用古典概率公式求出。(/)和尸(48)的概率，再利用條件概率公式即可求出

結(jié)果.

A24C1A18

【詳解】由題知，P(4)=不而=三，P(^)=-^=—,所以

8

P(4B)__2

P(8|Z)=2s

P⑷45

5

故選：B.

ii.已知橢圓4與雙曲線G共焦點(diǎn)，雙曲線G實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓G的長(zhǎng)軸三等分，兩曲

線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為()

【正確答案】c

22

【分析】設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+二=1(%>々>0),雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

4仄

22

a=1(%>0,8>0)，設(shè)橢圓G與雙曲線G的公共焦點(diǎn)為片、F2,且用、匕為兩

曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓￡與雙曲線G在第一象限的交點(diǎn)為尸，在第三象限的交點(diǎn)為。,

由已知條件可得出外=$1，利用橢圓和雙曲線的定義可求得|助|、|即|，分析出49

為直角，利用勾股定理可求得橢圓G的離心率.

22

［詳解】設(shè)橢圓q的標(biāo)準(zhǔn)方程為0+右=1(%>4>0),

%

22

雙曲線。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為三—2=1(%>0也>0)，設(shè)閨工I=2c(c>0),

CL?。2

2

因?yàn)殡p曲線G實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓￡的長(zhǎng)軸三等分，貝！12%=§《，

設(shè)橢圓G與雙曲線G的公共焦點(diǎn)為片、F2,且片、片為兩曲線的左、右焦點(diǎn),

設(shè)橢圓G與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為尸，在第三象限的交點(diǎn)為。,

4

|P7^|=%+4=

平+*=2q鏟

則《r<>

PF】-PF^\=2a'

22

|叫=q-a2=§/

由對(duì)稱性可知尸。、片用的中點(diǎn)均為原點(diǎn)0,所以，四邊形阿。鳥(niǎo)為平行四邊形,

因?yàn)镻、片、。、用四點(diǎn)共圓，則有<

/FIPFL/FQF?，12-21

2|2=(2C)2,即半=府,

由勾股定理可得歸=|月月『，即4%2al

V

即撞a=2c，故橢圓G的離心率為,=￡=拽*!=也

3q323

故選：C.

、幾1ln36-ln27

12.設(shè)夕=一應(yīng)=——,r=-----——，則nI（z

e3e

A.P>q>rB.P>r>q

C.r>p>qD.r>q>p

【正確答案】A

【分析】令/卜)=則，求得/'(x)=L?,得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再由當(dāng)

JCX

2

/(再)=/(%)且再時(shí)，設(shè)/—=/(%0)且//2，求得

I"3

/(3)>/(3)=，^,即可求解.

,1Ineln36-ln27

【詳解】解：由P=—=——,q=——，=---2——'

ee3e

令函數(shù)/(x)=7,可得/'(x)=T/，

當(dāng)xe(O,e),可得歡M>°，/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+oo),可得/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)％=e,函數(shù)/(x)取得極大值，即為最大值/(x)=L

e

函數(shù)>=/(x)的圖形，如圖所示，

2

對(duì)于函數(shù)/(x)=!竺，當(dāng)/(再)=/(工2)且工產(chǎn)乙時(shí)，xtx2>e.

X

(2、2

設(shè)/Y=/(%)且

則Xo，］>e2,可得%>3,所以/(%)<八3),所以/⑶〉/(1)=6—二27,

所以夕>q〉L

二、填空題

13.為了響應(yīng)全國(guó)創(chuàng)文明城活動(dòng)，某單位計(jì)劃安排五名員工分別去三個(gè)小區(qū)4民。參加志

愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)A,則不同

的安排方法種數(shù)共有種.

【正確答案】100

r2xC2

【分析】根據(jù)題意有3+1+1和2+2+1兩種情況，共有C：xA；+53xA；=150種情

A?

況，再根據(jù)員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同，得到答案.

【詳解】五名員工分別去三個(gè)小區(qū)HB,C參加志愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每

個(gè)小區(qū)至少安排1人，

r2xC2

則有3+1+1和2+2+1兩種情況，共有C；xA；+53「A；=150種情況，

員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同，所以共有150x[-；]=100種情況.

故100

14.直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2,-3),與圓C:x2+/+2x+2y-14=0相交截得的弦長(zhǎng)為2行，

則直線/的方程為.

【正確答案】5x—12y—46=0或x=2

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距

離，分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.

【詳解】圓+>2+2x+2y—14=0,即(x+l『+(y+l)2=16,圓心為C(—1,—1),

半徑廠=4,

因?yàn)橹本€與圓相交截得的弦長(zhǎng)為2J7，

所以圓心到直線的距離d=(⑺2=3，

若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為x=2,滿足圓心。(-1,-1)到直線x=2的距離為3,

符合題意；

若直線的斜率存在，設(shè)斜率為左，則直線方程為>+3=k(x—2),即依-y-2k-3=0,

=3,解得后=卷，所以直線方程為y+3=^(x—2),即

5x-12j/-46=0,

綜上可得直線方程為5、-12y—46=0或、=2.

故5、一12)；—46=0或1=2

卬/、J3sinox2冗

15.定義運(yùn)算：2=4%-a2a3,將函數(shù)/x=的圖像向左平移e個(gè)

。3%1COS53

單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則G的最小正值是.

【正確答案】-##1.25

4

【分析】化函數(shù)/(x)為余弦函數(shù)，寫(xiě)出圖像平移后的解析式，由偶函數(shù)求出。的最小正值.

sins

【詳解】/(x)=二百coscox-sins

COS5

、

1.1=2cosa)x+—\,

二2——coscox——sins6

22JI)

向左平移”2兀個(gè)單位后得到丁=2cos(COX+^CD+y

3k36

因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)是偶函數(shù),

27171

所以一o+—=E,keZ,

36

13

則g=-—+—k,k€Z,

所以當(dāng)左=1時(shí)，口取得最小正值，此時(shí)@=2.

4

故一

4

16.若函數(shù)人x)=gax2—￡?"+1在x=xi和x=X2兩處取到極值，且;22,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是

【正確答案】-——,+°0

In2

【分析】對(duì)〃x)求導(dǎo)后令/'(X)=0，再根據(jù)X”/是導(dǎo)函數(shù)的兩根數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求

解.

1,

【詳解】函數(shù)/(刈=5依2—/+1,所以/，(x)=G—

1,

若函數(shù)f(x)=-ax一，+1在》=再和x=%2兩處取到極值，則*=玉和x=%2是函數(shù)

/'(X)=G—，的兩個(gè)零點(diǎn)，

即是方程ax-ex=Q,,^a=—的兩個(gè)根，

X

所以函數(shù)g(x)=弓的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為再,馬,

由于g，(x)=(x—?e',所以當(dāng)x<?；騩<x<i時(shí)，g'(x)<0；

當(dāng)x〉l時(shí)，g'(x)>0；故g(x)的減區(qū)間有(-8,0)和(0,1)，增區(qū)間有(1,+8),

且當(dāng)x=1時(shí),g-(x)=8⑴=e，作出g(x)的草圖：

由圖可知：再,%>0,且a>e,

因?yàn)槿?2,即9之2匹,?。?2再,并令Xj=t,(t>0)，則x2=It,

x\

J/ItIn2

所以=J,解得/=山2，此時(shí)6/=—2

t2tIn2ln2

22

故—，即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是—,+co

ln2Lln2

:贊專人「21

故答案為：~一-，+00

ln2J

本題主要考查了函數(shù)的極值問(wèn)題，包括數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)與范圍分析的問(wèn)題，需要根據(jù)題

意參變分離畫(huà)出圖像分析極值點(diǎn)之間的關(guān)系，并找到臨界條件進(jìn)行分析.屬于中等題型.

三、解答題

(-)必做題

17.記80為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知％=1,且滿足=(〃+l)a“+1.

(1)證明：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)——-——COSZ27C,求數(shù)列也｝的前2〃一1項(xiàng)和

'n

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵三一1=一，一2

【分析】(1)方法1：由=("+1)4+1可得得一，=〃(,+]),由累加法求出｛%｝,

再證明數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；方法2：由〃%+1=(“+1)。”+1可得也+,=@+1，

72+172+1nn

可證得｛—+;｝為常數(shù)數(shù)列，求出｛4｝，再證明數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；方法3：由

nan+l=(〃+1)4+1可得%+1=(〃+1)%+1,兩式相減可明數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)由⑴知8“=/,所以〃=(—1)"(〃+2),方法1：由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列也｝的

前2〃-1項(xiàng)和&_]；方法2：由錯(cuò)位相減求和求出數(shù)列｛4｝的前2〃-1項(xiàng)和心…

【小問(wèn)1詳解】

方法1：

叫用=("+1)%+1，也=%+J、

72+1n+

冊(cè)二%?1

時(shí),

nn-\〃(〃一1)

田工/口凡6112n-l

累加得：—+1――二-----，

n1nn

/.an=2〃-1,〃=1時(shí)也成立，c1n=2n—l.

?！ā?T=2,「.｛%｝是等差數(shù)列

方法2：

=("+1”〃+1，二著葉+用看,

???nan+x

.4+i,1_a11

〃+172+1nn

：.1%+!］為常數(shù)數(shù)列，...”+工=色+1=2,

\nn\nn1

：.4-a“_i=2,{a〃}是等差數(shù)列.

方法3：

當(dāng)〃22時(shí)，(〃一l)a“=〃a“T+1①，

nan+l=(〃+l)a“+1②’

，②-①可得：〃4+1一(“一1""=(n+l)an-nan_x

2%=+%+1,

.-?{??}是等差數(shù)列，因?yàn)閝=1,<72=3,:.an=2n-l.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知S"="2,所以"=(-!)"(〃+2),

方法1：并項(xiàng)求和

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

bn+加=(-1)"("+2)+(-1嚴(yán)(〃+3)=-1,

：Z"T=4+(、2+4)+…+色-2+Hl)=-3+(〃T)x(T)=_〃_2

方法2：錯(cuò)位相減求和

耳T=-3+4-5+6+……+(-產(chǎn)(2〃+1)①

(T)%=3-4+5-6+……+(-1產(chǎn)(2〃+1)②

①-②：2氏_]=-3+1-1+1-1+……+1+(-1)-(2〃+1)=—4-2〃

.?.Jt=-〃-2

18.如圖，在四棱錐尸—48CQ中，平面尸CD,平面48CD,四邊形48CD是梯形,

AB//CD,AB±AD,E,尸分別是棱8C,R4的中點(diǎn).

(1)證明：EEP平面PCD.

(2)若PC=CPD=V3CD=CAD=26AB，求直線EF與平面PAD所成角的正弦

值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵等

【分析】(1)構(gòu)造面面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行即可；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線EE的方向向量與平面

R4D的法向量，即可得線面夾角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：取40的中點(diǎn)“，連接EH,FH.

因?yàn)镋，X分別是棱R4,/￡?的中點(diǎn)，所以HFPD.

因?yàn)镻Qu平面尸CD,HE<Z平面0CD,所以〃平面PCD.

因?yàn)镋,〃分別是棱BC,2。的中點(diǎn)，所以HF〃CD.

因?yàn)镃Du平面「CD,HEu平面PCD，所以“E〃平面PCD.

因?yàn)镠E,HFu平面HEF，且HECHF=H,所以平面HEE〃平面PCD.

因?yàn)镋Eu平面/ffi下，所以E戶P平面0CD.

【小問(wèn)2詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以刀，反的方向?yàn)閤,V軸的正方向，垂直平面48c。向上的方

向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)28=1,則ND=C￡>=P￡>=2,PC=273.

4+4-121

由余弦定理可得cos/PDC=-----------=——,則ZPDC=120°,

2x2x22

c

從而4（2,0,0）,r＞（0,0,0）,P（0,-l,V3）,，F(xiàn)1,

2'2

故百=（2,0,0）,DP=（0,-l,V3）,EF=0,-2,-y

設(shè)平面尸4D的法向量為〃=（x,y,z）,

n-DA=0j2x=0

則《，令y=6，得萬(wàn)=（0,G,l）.

[-y+yfiz=0

n-DP=0

設(shè)直線EF與平面PAD所成的角為，,

3炳

則sin。=cos萬(wàn),￡尸二

H-M38

即直線EF與平面PAD所成角的正弦值為之巨.

38

19.質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),

由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖:

頻率頻率

（甲）（乙）

（1）寫(xiě)出頻率分布直方圖（甲）中。的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方

差分別為s；,s；,試比較為國(guó)的大小（只要求寫(xiě)出答案）;

（2）佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另一

個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率;

（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布"（〃，筋）.其

中〃近似為樣本平均數(shù)亍，*近似為樣本方差s；,設(shè)X表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10

桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55,38.45）的桶數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得％=,142.75/11.95：

②若Z—N(〃Q2),則P(〃—b<Z<4+6)=0.6826,

尸(〃-2b<Z<〃+2b)=0.9544.

【正確答案】(1)a=0.015,s；>s；；

(2)0.42；

(3)6.826.

【分析】(1)由頻率分布直方圖的矩形面積和為1可得。，再由分布的離散程度即可比較方

差大??；

(2)根據(jù)互斥事件的概率和及對(duì)立事件的概率求解即可；

(3)求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

得到X~3(10,06826),求出E(X)即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，(0.010+0.020+0.030+4+0.025)x10=1,解得。=0.015,

由甲、乙的頻率分布直方圖可以看出，甲的指標(biāo)的波動(dòng)大，乙的比較平均，波動(dòng)較小，

故s；>s；；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事件A：在甲公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20,

事件B：在乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20,

事件C：在甲、乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽各取1桶，恰有一桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另一個(gè)不

大于20,

則P(A)=0.20+0.10=0.3,P(S)=0.10+0.20=0.3,

P(C)=P(A)P(B)+P(J)P(5)=(l-0.3)x0.3+0.3x(1-0.3)=0.42；

【小問(wèn)3詳解】

x=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5,

由條件得Z?N(26.5142.75)

從而P14.55<Z<38.45)=P-1.95<Z<26.5+11,95)=0.6826,

.??從乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

依題意得X?8(10,0.6826),

E(X)=10x0.6826=6.826.

r2

20.己知雙曲線￡：---j?=i與直線/：歹=6—3相交于N、8兩點(diǎn)，M為線段的中

4.

點(diǎn).

（1）當(dāng)《變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）若/與雙曲線￡的兩條漸近線分別相交于。、。兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)左，使得4、

8是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出左的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）x2=4y2+12y,其中y<—3或y〉；

3

（2）存在，k=+—

2

【分析】（1）設(shè)/（和必），B（x2,y2）,〃（%，九），聯(lián)立直線/與雙曲線E的方程，消

去y,得（1—4左2）/+24區(qū)—40=0,根據(jù)已知直線/與雙曲線E相交于N、8兩點(diǎn)，得

51-24k

A二160—64左之〉0且1—4k之w0,即左之<一且左2。由韋達(dá)定理,得再+/—------y,

241—4左2

則X。=二T7T，y0==77T，聯(lián)立消去k,得X；=4就+12%,再根據(jù)左的范圍得出了的

1-4左1-44

范圍，即可得出答案；

（2）設(shè)。（&,%），根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線/的方程聯(lián)立即可得出

6」一，則忍乜=二^竺=%,即線段的中點(diǎn)M也是線段CA

2k—T2k+l21—4左2°

的中點(diǎn)，若/,8為線段。的兩個(gè)三等分點(diǎn)，貝U|CD|=3|48],結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得

|x3-x4|=31^-xd,即可化簡(jiǎn)代入得出1~~+I'。2,即可解出答

111/悔2_"壯1-412J1—4k2

案.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)/（七,為），5（X2，%）,〃（才0，九），

y=Ax-3

聯(lián)立直線/與雙曲線E的方程，得<2,2”，

消去y,M（l-4F）x2+24Ax-40=0.

由A=160—64左2〉0且1—4左2w0,得左之<：且/

-24k

由韋達(dá)定理，得X]+%2-----------T-

12

1—4左2

所以＞自3=^C—3=^^

21—4左2為°1?4/1—4公

—12k

%=匚充22

由<消去左，得X；=4就+12%.

為=1-4左2

由左2<萬(wàn)且上2片“得先W-3或%>§.

所以，點(diǎn)M的軌跡方程為x2=4/+12y,其中y<—3或y〉；.

【小問(wèn)2詳解】

雙曲線￡的漸近線方程為y=±gx.

'_j_

設(shè)C(&,%)，°(%,%),聯(lián)立卜"一5》得w'f—,同理可得超6

7c2k-12k+1

因?yàn)閹r-12k

所以，線段的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn).

若/,2為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，貝4.

即Jl+k~I/—%|=3dl+k~I—%21,1*^3-%|=3|再—-^21,

/-244丫160

也-4*+l-4k2

6612

2k-12k+l-|4^-1|,

12If-24kY1603

所以,|4A;2-1|-111-40+1—4讓解得左=±—，

2

3

所以左=±—,存在實(shí)數(shù)，使得/、3是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn).

2

21.關(guān)于x的函數(shù)/(x)=lnx+N-al.

(I)若/(x)為單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(II)討論/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

,匯4)

【正確答案】（1）-oo?0]u--,+GO（2）見(jiàn)解析

.3J

【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)參數(shù)a討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變號(hào)的條件：時(shí),

恒為正，?！?時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖像確定判別式為非正，解得實(shí)數(shù)。的取值范圍；（2）根

據(jù)函數(shù)單調(diào)性討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：由于/（1）=0,所以函數(shù)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)不單

調(diào)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：（I）/（X）的定義域?yàn)椋?,+8）,

1Q0+X—6Z

/(x)=----；—lax=--------

v7XX2X2

①a<0時(shí)，r(x)>0恒成立，故/(X)為單調(diào)遞增函數(shù).

②a〉0時(shí)，令g(x)=-2依3+x-q(x>0),

當(dāng)0<x<I—時(shí),g'(x)>0,

76a

1

當(dāng)x〉I--時(shí),g〈x)<0.

76a

(1、

.??g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

.?"=7=為8（力的極大值點(diǎn)，也是（0，+s）上的最大值點(diǎn).

76a

?3浮時(shí)‘g（"'則/'（%，"（X）在（…）上單調(diào)遞減

綜上，若/（X）為單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)0的取值范圍是（-叫0］。

.3J

（II）由題設(shè)知，/⑴=0,

①由（I）知，。＜0或事時(shí)，/（x）單調(diào)，故/（x）只一個(gè)零點(diǎn).

②若廣(x)=0得g⑴=_3a+l=0得a

1+VT

則83=_3工3+工_1=_3(2工3_3工+1)=_5(工_1)X+

F-

7

當(dāng)0<x<—l；C或x〉l時(shí)g(x)<0,即/'(x)<0,

當(dāng)匚三5<x<l時(shí)g(x)>0.即/'(x)>0.

/(x)在[o,T+勿

和。,+8)上單調(diào)遞減，在———,1上單調(diào)遞增,

2)I2J

；?/(x)的極小值點(diǎn)x=T丁,極大值點(diǎn)x=l.

「1+5

又/</(1)=0,

-2-

\7

根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，X-0時(shí)/(X)->+8,》—+00時(shí)/(%)-?-00,

_]+VT

???/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間0,

2-，另一個(gè)為X=l.

7

③0<4<,或!<。<—時(shí)，有g(shù)>0.

333

C1)

又g(x)在上單調(diào)遞增，在-/=,+℃上單調(diào)遞減,

、76Q)

且g(0)=—a<0,x—+co時(shí)g(x)=-2or3+x-a—>-co,

故必存在不為1的再，x2,使得g(xJ=g(X2)=0，

故xe(0,xju(x2，+oo)時(shí)，g(x)<0,則/'(x)<0；時(shí)，g(x)>0,則

rW>o.

二/(X)在(O,xJ和(%2，+00)上單調(diào)遞減，在(國(guó),工2)上單調(diào)遞增.

1)0<4<；時(shí)，g(l)=-3(2+1>0,故0<再<1<》2，由/(石)</(1)=0</(%2)及

X.0時(shí)/(x)->+8,》->+8時(shí)/(%)3—00知，/(X)有三個(gè)零點(diǎn).

2)1<。<些時(shí)，

)33

g(l)=-3?+l<-3x1+l=0,即/'(l)<0,

必有0<西<々<1且/(石)<0,/(x2)>/(1)=0,

故/（x）有三個(gè)零點(diǎn).

綜上，4＜0或讓，