函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 學(xué)生版-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

彳睢JL備率哪質(zhì)的罐合怠用

m【考試提醒】

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合圖

象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.

B【核心題型】

題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)

(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為了(g(c))>/仇(⑼),利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)了”脫掉，得到

具體的不等式(組).

(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而

利用其單調(diào)性比較大小.

011(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(乃=|3-3一,|,則不等式"2c—1)—/(,)>0的解集為

()

A.(-co,y)U(1,+co)B.(-CO,/)

c.(y,l)D.(l,+oo)

【變式訓(xùn)練】

題目Q(2024?遼寧大連?一模)設(shè)函數(shù)/(，)=sinn+e^^-e3-31-^+3則滿足加)+/(3—20<4的2

的取值范圍是()

A.(3,+8)B.(—oo,3)C.(l,+oo)D.(—oo,1)

題目團(tuán)(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)加),其導(dǎo)函數(shù)為了'(/若/⑸=/(—/)—

2sinrc,且當(dāng)①>0時(shí)，有/(X)+cosc>0成立，則不等式/(①+>/(c)+simr—cosc的解集為()

A.(-B.管，+句C.(-。年)D.(-f)+oo)

題目區(qū)(2024?全國(guó)?模器噂測(cè))已知定義在(-oo.O)U(0,+?)上的函數(shù)/⑸，對(duì)于定義域內(nèi)任意的°,y,

I-I-1

都有/(怎/)=/3)+/(切，且/(2)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則不等式〃，)<1。82與^的解集為.

題型二函數(shù)的奇偈性與周期性

周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)

化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.

網(wǎng)］1(2024?內(nèi)米古侏峰--?)已知〃為是定義在R上的偶函數(shù),且周期T=6.若當(dāng)2C［—3,0］時(shí)，/⑸

=4一”,則/(2024)=()

A.4B.16C.±D.士

164

【變式訓(xùn)練】

［題目|1］(多匐(2024?重慶?模擬演瀏)己知定義在R上的奇函數(shù)/(為滿足：/(2+2)=/(為?+/M(—1),則

A./(l)=0B./(〃)+/管)=0C"Q+4)=—/⑸D./(,))/(4)

題目囪(多匐(2024?湖南餌旭?二O已知函數(shù)/(,)在R上可導(dǎo)，且〃,)的導(dǎo)函數(shù)為g(’).若/(,)=4

—/(，+2)，9(2劣—1)為奇函數(shù),則下列說法正確的有()

2024

A.g(l)=0Bj2)=0C./(2)=/(8)D.￡/(i)=4048

i=l

題目包(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/⑸對(duì)任意,4CR均有：/(2+夕)+

f{x—y)=2Kx)f(y)且/(為不恒為零.則下列結(jié)論正確的是.①/(0)=0；②〃0)=1；③〃0)=0

或/(0)=1；④函數(shù)/(c)為偶函數(shù);⑤若存在實(shí)數(shù)aW0使/(a)=0,則/(2)為周期函數(shù)且2a為其一個(gè)周

期.

題型三函數(shù)的奇偈性與對(duì)稱性

由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.

血］1(23-24三下?上陣?階段練習(xí))己知函數(shù)/(，)及其導(dǎo)函數(shù)((，)的定義域均為凡記g(x)=/'Q).

若/已―2c),g(2+c)均為偶函數(shù)，則()

A.?=0B.g(—十)=0C./(-2)=f(l)D.g(—l)=g(2)

【變式訓(xùn)練】

［題目］1］(多選)(2024高三?全國(guó)?專慝練習(xí))關(guān)于函數(shù)/(2)=如|+p/+q,下列命題正確的是()

A.當(dāng)q=0時(shí)，/(力)為奇函數(shù)

B.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,q)對(duì)稱

C.當(dāng)p=0,q>0時(shí),方程/Q)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.方程/(力)=0至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

［題目|2］(多選)(23?24高三下?重慶?階段練習(xí))函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,且滿足/(二+妨+八.―夕)=

2/(2)/(y)，/(4)=—1,則下列結(jié)論正確的有()

A./(0)=0Bj2)=0

C./Q)為偶函數(shù)D./Q)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

題目區(qū)(2024?河前?一模)已知函數(shù)/(c)及其導(dǎo)函數(shù)/(c)的定義域均為R,記g(,)=/(,).且

_2024

/(I-3rr)+/(3/-1)=0,g(l+6)+g(l—6)=0,當(dāng)力6(0,1］,于(x)=sin與r，則..i)|=______.(用數(shù)

2i=i

字作答)

題型四函數(shù)的周期性與對(duì)稱性

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時(shí)，往

往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解

決相關(guān)問題.

血］1(2024?河北滄州?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(,)滿足：/(c)+/(2—乃=2,/(0一/(4—2)=0,

?M

2024

且"0)=2.若iCN*,則?用)=()

1=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【變式訓(xùn)練】

［題目|1］(23-24京三下?重慶?階盤練習(xí))已知函數(shù)/⑺的定義域是R,于*+-x),f(x)+

/(6—,)=0,當(dāng)■時(shí),f(x)=4x—2x2,則/(2024)=.

,題目區(qū)(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)/(，)的解析式.

①/(①)=—/(rc+2)；

②/0+1)=/(l-c)；

③f⑸的導(dǎo)數(shù)為了'(，)且/'(，)=/'(—，).

(題目［3］(23-24方三下?陜西?開學(xué)者和已知定義在R上的函數(shù)/(2+1)為奇函數(shù)，/(2+2)為偶函數(shù),

當(dāng)cC［0,1］時(shí)，/(0=3"—3c,則方程力>)=—1在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

H【課后強(qiáng)化】

基礎(chǔ)保分練

一、單54H

題目Q(2023?河南信陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/⑺=log2(c+A/^+T)+1——一,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a+b

/IJ.

>0是/(a)+/(b)>0()

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.不充分且不必要條件

、題目區(qū)(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(,)=「叫則使得/(2a)</(a—1)成立的正實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(y,+℃)B.［看,+8)C.(0,1)D.(。()

、題目0(23-24方三上?遼寧遼陽(yáng)?期末)已知/Q+1)是偶函數(shù),/(0在［1,+8)上單調(diào)遞增，/(0)=0,

則不等式(，+1)/(0>0的解集為()

A.(1,+8)B.(2,+co)C.(—2,0)U(0,2)D.(—1,0)U(2,+8)

題目@(2024?山東濟(jì)寧?一模)設(shè)函數(shù)/㈤定義域?yàn)镽,/⑵—1)為奇函數(shù)，/(2一2)為偶函數(shù)，當(dāng)。e

［0,1］時(shí)，/(力=>一1,則/(2023)-/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、多選題

〔題目〔5〕(23-24玄三下?海俞省直林縣級(jí)畢位?開學(xué)者和已知定義域?yàn)镽的函數(shù)人,)對(duì)任意實(shí)數(shù)工，夕都

有/(工)+/(妨=/(丁)/(7)，且/(0)豐OJ(l)=1,則下列說法正確的是()

A./(0)=3B./(2)=/(一立)

?M

C.函數(shù)/㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)傳,0）對(duì)稱D./⑴+/⑵+…+/（2024）=0

題目回（2024?廣東?一模）已知偶函數(shù)/㈤的定義域?yàn)镽,/（/r+l）為奇函數(shù)，且/㈤在［0」］上單調(diào)

遞增，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（-y）<0C./（3）<0D"（午）>0

〔題目〔7〕（23-24■三下?重慶?階段練習(xí)）己知函數(shù)/⑺=|sint—cosc|+sin2c,則下列選項(xiàng)正確的是

（）

A.兀是函數(shù)/⑸的一個(gè)周期B.x=—號(hào)是函數(shù)/⑺的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)/⑸的最大值為?最小值為四—1D.函數(shù)/⑸在苧,料上單調(diào)遞減

【題目⑻（23?24商三下?遼寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)沙=/（力）是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意;rCR,都有

/3+4）=/3）+/（2）成立，當(dāng)力e［0,2）時(shí)/Q）K2'-L,則下列結(jié)論中正確的是（）

A."0）=0B.函數(shù)u=/（rc）在［―6,—2］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)?/=/（,）在［—6,6］上有3個(gè)零點(diǎn)D.點(diǎn)（4,0）是函數(shù)“=/（,）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

三、填空題

題自回（2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè)）定義在五上的可導(dǎo)函數(shù)/（2）滿足/（,）<3,若/（2m）—/（館―1）>

3ni+3，則機(jī)的取值范圍為.

題目區(qū)（2024?寧夏銀川?一模）已知八,+1）是偶函數(shù),/（,）在［1,+8）上單調(diào)遞增，/（0）=0,則不等

式（2+l）/（a;）>0的解集為.

四、解答題

南里￡（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（力）=三產(chǎn)是奇函數(shù).

2+a

⑴求實(shí)數(shù)a,b的值；

（2）求證:函數(shù)/（⑼在（-00,+8）上是單調(diào)遞減函數(shù)；

（3）若對(duì)任意的tGR,不等式/（》一2力+/（2t2-fc）<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

?M

綜合提升練

一、單

題目①(2024?陜西西安?一模)已知定義在R上的奇函數(shù)/(為滿足/(,)=/(，+2),則以下說法錯(cuò)誤的

是()

A./(0)=0B./(c)是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期

C./(2025)=lD/3)=*4)+A5)

題目@(2024?廣西前寧?一模)已知函數(shù)/(,)的定義域?yàn)镽,以①+n)f@—y)=f?")—產(chǎn)，且當(dāng)，〉

0時(shí),/(,)>0,則()

A./(0)=1B./(c)是偶函數(shù)C./Q)是增函數(shù)D./(,)是周期函數(shù)

題目區(qū)(2024?云南貴州?二若函數(shù)/(①)的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于g軸對(duì)稱，在［0,+?)上是增函數(shù),

且/(—3)=0,則不等式/(,)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+oo)C.(—393)D.(-8,-3)U(3,+8)

遒直區(qū)(2024?廣東?一模)已知/(0=2閨+/,若/(/<3,則()

A.aG(l,+oo)B.a￡(-1,1)C.aC(—co,l)D.aG(0,1)

題目回(2024?四川成都?二O已知函數(shù)/⑸=ln@+衣亙)--，且/(0)+/3)+2V0,則

/I1

()

A./i+力2VoB.?i+/2>0C.力1+力2>—2D.劣1+N2<—2

I超月回(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)V=/(:L2)的圖象關(guān)于直線，=2對(duì)稱，對(duì)任意的cCR,都有

f(x+3)=f(x—1)成立，且當(dāng)x€［—2,0］時(shí)，f(x)=—2,若在區(qū)間(—2,10)內(nèi)方程/(①)一log/rc+2)=0

有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(2,2/)B.(2,2V2］C.(22,2遍)D.(272,273］

［題目⑺(23-24高三上?四川?階段練習(xí))已知函數(shù)/(7)及其導(dǎo)函數(shù)/'(功的定義域均為R,且/(工—1)為

27

奇函數(shù)，/'(2—，)+/'(,)=-2,/(7)=―2,則X/'⑵-1)=()

i=l

A.—28B.-26C.-24D.—22

［題目⑻(23-24%三下?北京西城?開學(xué)者和函數(shù)/(工)及其導(dǎo)數(shù)廣⑶的定義域均為R,記9(為=/'⑺,

若/(I—①)和gQ+2)都是偶函數(shù)，則()

A.于⑸是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)C.g(x)是奇函數(shù)D.g⑸是偶函數(shù)

二、多選題

蜃亙］9(2024高三?全國(guó)?專慝練習(xí))(多選)已知函數(shù)/(。)=2/一2一工+1,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(0是奇函數(shù)B.函數(shù)/Q)是偶函數(shù)

C.函數(shù)/(⑼在R上是增函數(shù)D.函數(shù)/(⑶的圖象的對(duì)稱中心是(0,1)

【題目I10〕(2024?海南看直林縣級(jí)單位?一模)己知定義在R上的奇函數(shù)/⑺，滿足/(2c-l)=/(3-2c),

當(dāng)ce［0,1］時(shí)，"2)=必,則下列結(jié)論正確的是()?M

A.函數(shù)/(c)的最小正周期為6B.函數(shù)/(,)在[2024,2025]上遞增

22

C.2y(fc)=1D.方程/(力)=log5|a:|有4個(gè)根

A；=I

藏目①(2024?安微池州?二W已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)榉?(2+1)是奇函數(shù)，且\/，€凡恒有

/(/(①))=2,當(dāng)①e[a,l]時(shí)(其中0<a<1),/(2)=alogo(rc+b).若/(0)+/仟)="|■，則下列說法正確

的是()

A./(2)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱B.f⑸圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱

C.4a+6=1D./(—)=2

三、填空題

【題目應(yīng)(2023,廣東?二*)設(shè)奇函數(shù)/(，)的定義域?yàn)镽，且/(，+1)是偶函數(shù)，若/(I)=7,則”2023)

+/(2024)=.

題目包(23-24英三下?安徽?階&練習(xí))若函數(shù)/(，+2)為偶函數(shù)，v=g(x+l)—5是奇函數(shù)，且

/(2—劣)+g(x)=2,則/(2023)=.

(題目〔14](2024方一?金圖?*題練習(xí))定義R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對(duì)任意1CR,若2力+

/(2t2-fc)<0恒成立，求％的范圍.

四、解答題

題目553⑵74■三上?河南周口?期和已知函數(shù)/⑸=儂土與是定義在(一1,1)上的函數(shù)，/(一,)=

1+6

一/(立)恒成立，且/(])=看.

(1)確定函數(shù)/(2)的解析式,并用定義研究/(，)在(-1,1)上的單調(diào)性；

(2)解不等式/(2-1)+f(x)<0.

?M

(題目|16](23-24iU三上?山西看中?開學(xué)者武)設(shè)/(①)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)。，恒有

f(x+2)=—/(工)，當(dāng)TC[0,2]時(shí)，于(x)=2x—x2.

(1)求證：/(乃是周期函數(shù)；

⑵當(dāng)龍C[2,4]時(shí)，求/Q)的解析式;

(3)計(jì)算/(0)+/(1)+/(2)+-+/(2023).

(題目|⑺(23-24d5三上?甘肅天水?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(為對(duì)任意多、夕eR,都有/(①+切=/(力)+

/(y)，且rc>0時(shí),于⑺<0.

(1)證明：/(c)為奇函數(shù)；

(2)證明：/(為在R上為減函數(shù).

?M

畫目［叵（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)？/=/&）是定義在五上的周期函數(shù)，周期T=5,函數(shù)“=

/㈤（一LW,41）是奇函數(shù).又已知y=/（2）在［0,1］上是一次函數(shù)，在［1,4］上是二次函數(shù)，且在立=2時(shí)

函數(shù)取得最小值一5.

⑴證明：/⑴+*4）=0;

（2）求e［1,4］的解析式；

（3）求y=/3）在［4,9］上的解析式.

（題目|19］（2023方三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)f⑸是定義在五上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線t=1對(duì)稱，對(duì)任

意電,電e［0,J］,都有/Qi+g）=/3i）"（奧），且AD=a>0.

⑴求/竹），，（抒

（2）證明A0是周期函數(shù)；

（3）記an=f（2n+?），求an.

拓展沖刺練

一、單

題目①(2024?陜西西安?一模)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(,),滿足/(為魂0<0,且〃c)+/(—,)=

0.若則滿足I/O—1)|W1的，的取值范圍是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,2]D.[-1,2]

題目囪(2024?四川瀘州?二梯已知/(，)，9(乃都是定義在冗上的函數(shù),對(duì)任意2,夕滿足/(2-切=

/(2)9(切一9(，)/(9)，且/(—2)=/(1)片。，則下列說法正確的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,則W?S)=2024

n=l

C.函數(shù)/(2c—1)的圖象關(guān)于直線7=/對(duì)稱D.ff(l)+g(—1)=—1

題目回(2023?安徽非湖?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(,)在A上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為廣配),若/(0滿足：

(①一/(x)]>0,/(2—,)=/Q)e2-2"則下列判斷正確的是()

A.f(l)>ef(0)B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0)D./(4)<e4/(0)

二、多選題

]題目@(2024?遼寧大連?一模)已知函數(shù)/(0是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若/(2+夕)=/3)+/(沙)+

3M①+沙)，且/(0)=-3,則()

A./(2)是奇函數(shù)B./(c)是減函數(shù)

C./(V3)=0