復(fù)數(shù)的三角形式學(xué)案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

復(fù)數(shù)第5課時復(fù)數(shù)的三角形式（1）【教學(xué)目標(biāo)】1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示；.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系；.3.了解輻角、輻角主值等概念；.4.了解復(fù)數(shù)乘法、乘方運算的三角表示及其幾何意義.【問題情境】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，（1）寫出Z的坐標(biāo)，并在圖中描出點Z的位置，作出向量；（2）記r為向量的模，是以x軸正半軸為始邊，射線為終邊的一個角，求r得值，并寫出的任意一個值，探討與的實部、虛部之間的關(guān)系.【知識要點】1.輻角：一般地，如果非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點，且為向量的模，是以x軸正半軸為始邊，射線OZ為終邊的一個角，則根據(jù)任意角余弦、正弦地定義可知：，從而稱為非零復(fù)數(shù)的三角形式（對應(yīng)的稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式），其中稱為的輻角.顯然，任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍.2.輻角的主值在［0，2π）內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.3.求復(fù)數(shù)的三角形式方法：(1)為了求出一個非零復(fù)數(shù)的三角形式，只要求出這個復(fù)數(shù)的模，然后再找出復(fù)數(shù)的一個輻角（比如輻角主值）即可.(2)因為0＝0（cosθ+isinθ），其中θ可以為任意值，所以我們也稱上式為復(fù)數(shù)0的三角形式.這樣一來，任意復(fù)數(shù)都可以寫成三角形式了.【典型例題】例1．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式改寫成三角形式（1）（2）（3）（4）變式訓(xùn)練1.復(fù)數(shù)的三角形式為；2.復(fù)數(shù)化為三角形式；3.（1）輻角主值為（2）輻角主值為4.將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式。例2.計算×推廣：1.我們可得到復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝注：等于的模（簡記：模相乘），是z1z2的輻角（簡記：輻角相加）2.如果，則例3.計算（1）5cosπ6+isinπ6.例4.已知復(fù)數(shù)【拓展提升】如圖所示，已知平面內(nèi)并列的三個相等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明：.【回顧反思】【鞏固訓(xùn)練】1．已知i為虛數(shù)單位，，，則（）A． B．C． D．2．計算的結(jié)果是（）A．-9 B．9 C．-1 D．13．復(fù)數(shù)1＋eq\r(3)i改寫成三角形式，正確的是()A．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) B．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))C．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,3)＋isin\f(5π,3))) D．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11π,6)＋isin\f(11π,6)))2．復(fù)數(shù)z＝－sin100°＋icos100°的輻角主值是()A．80° B．100°C．190° D．260°3．已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋isin\f(π,12)))，z2＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，則z1z2的代數(shù)形式是()A．eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4))) B．eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋isin\f(π,12)))C．eq\r(3)－eq\r(3)i D．eq\r(3)＋eq\r(3)i4．設(shè)3＋4i的輻角主值為θ，則(3＋4i)·i的輻角主值是()A．eq\f(π,2)＋θB．eq\f(π,2)－θC．θ－eq\f(π,2)D．eq\f(3π,2)－θ5.eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,12)＋isin\f(5π,12)))×eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))＝________.(用代數(shù)形式表示)6.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是_____________.（用代數(shù)形式表示）.7.設(shè)z為復(fù)數(shù)，且z的輻角主值為，z-2的輻角主值為，則復(fù)數(shù)z為8．如圖，復(fù)平面內(nèi)的是△ABC等邊三角形，它的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為，求點C的坐標(biāo).9.計算下列各式：（1）（cos36°+isin36°）-5；（2）.10.設(shè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，已知的對應(yīng)點在虛軸的負(fù)半軸，且求的代數(shù)形式.11．把下列復(fù)數(shù)改寫成三角形式(1)－1－i；(2)ai(a<0)；(3)－eq\r(3)(sinθ－icosθ).12.計算：(1)eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))×eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2