數(shù)學(xué)歸納法證明不等式導(dǎo)學(xué)案二

學(xué)案§4.1.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(2)姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;2.會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.?知識(shí)情景：關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：10.驗(yàn)證n取時(shí)命題(即n＝時(shí)命題成立)(歸納奠基）；20.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題(歸納遞推）.30.由10、20知，對(duì)于一切n≥的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）要訣:遞推基礎(chǔ),歸納假設(shè),結(jié)論寫(xiě)明.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：例1.求證：，其中，且．例2已知數(shù)列的各項(xiàng)為正，且.（1）證明;（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例3(06湖南）已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:(ⅰ);(ⅱ).例4（09山東）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記證明：對(duì)任意的，不等式成立練習(xí)§4.1.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（2）姓名1、正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，試證明：an+cn＞2bn.2、正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，試證明：an+cn＞2bn.3、若n為大于1的自然數(shù)，求證：.4、（05遼寧）已知函數(shù),設(shè)數(shù)列滿足，滿足（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）證明.5、（05湖北）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足證明:6、(09廣東）已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率的切線，切點(diǎn)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.參考答案:1.關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：10.驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立(即n＝時(shí)命題成立)(歸納奠基）；20.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.30.由10、20知，對(duì)于一切n≥的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）要訣:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.例1.求證：，其中，且．分析：此題是20XX年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21題的適當(dāng)變形，有兩種證法證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)m=2時(shí)，，不等式成立．（2）假設(shè)時(shí)，有，則，∵，∴，即．從而，即時(shí)，亦有．由（1）和（2）知，對(duì)都成立．證法二：作差、放縮，然后利用二項(xiàng)展開(kāi)式和放縮法證明．∴當(dāng)，且時(shí)，．例2（20XX年江西第21題第（1）小題，本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.分析：近年來(lái)高考對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的考查，加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查。對(duì)數(shù)列進(jìn)行了考查，和數(shù)學(xué)歸納法一起，成為壓軸題。解：（1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，∴，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有則而又∴時(shí)命題也正確.由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切．（2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以則又bn=－1，所以．本題也可先求出第（2）問(wèn)，即數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性，來(lái)證明第（1）問(wèn)的不等式．但若這樣做，則無(wú)形當(dāng)中加大了第（1）問(wèn)的難度，顯然不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)得簡(jiǎn)捷．例3（06年湖南卷.理.19本小題滿分14分）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ);(ⅱ).證明:（I）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明，ｎ＝1,2,3,…(=1\*romani).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立.(=2\*romanii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即.因?yàn)?<x<1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在[0,1]上連續(xù),從而.故n=k+1時(shí),結(jié)論成立.由(=1\*romani)、(=2\*romanii)可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立.又因?yàn)闀r(shí)，，所以，綜上所述．（II）．設(shè)函數(shù)，．由（I）知，當(dāng)時(shí)，，從而所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù).又g(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)=0,所以當(dāng)時(shí)，g(x)>0成立.于是．故．點(diǎn)評(píng)：不等式的問(wèn)題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯，綜合考查運(yùn)用不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊(yùn)藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn).需要靈活運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)知識(shí).例4解(1):因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，,則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.練習(xí):1、試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查的知識(shí)包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.2.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②設(shè)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1根據(jù)①、②可知不等式對(duì)n＞1,n∈N*都成立．3、若n為大于1的自然數(shù)，求證：.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即所以：對(duì)于n∈N*，且n>1時(shí)，有4、（05年遼寧卷.19本小題滿分12分）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，滿足（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）證明分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問(wèn)題的能力（Ⅰ）證明：當(dāng)因?yàn)閍1=1，所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即那么所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立。（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以故對(duì)任意）5、（05年湖北卷.理22.本小題滿分14分） 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.（Ⅰ）證法1：當(dāng)即于是有所有不等式兩邊相加可得由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，∵證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（i）當(dāng)n=3時(shí)，由知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有極限，且（Ⅲ）∵則有故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有6、解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去），即，∴（2）證明：∵∴由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即.7、已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2(2)證明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測(cè)：(1+1)(